大學(xué)高等數(shù)學(xué)下考試題庫附答案

1、.選擇題（3分黑10）1 .點 Mi (2,3,1 )到點 M 2(2,7,4)的距離 M1M2 =().A.3B.4C.5D.62 .向量 5=+ 2j + k,b =21+ j-,則有().a. a/b b. a b C. (a,b)=( d. (a,=?2 213 .函數(shù)y = %;2x y + =的定義域是().x2y2 -1a.x, y x2 + y2 2 b. x, y1 x2 + y2 2IC. t x, y 1 ： x2 y2 _ 2 d x, y 1 _ x2 y2 二 2) II4 .兩個向量a與b垂直的充要條件是().a. ab=0 b. a b=0 C. ab=0 d.

2、 a b=0一一335 .函數(shù)z = x + y -3xy的極小值是（）A.2 B. -2C.1 D. -1；z6 .設(shè) z = xsin y ,則 :y2、2A.B. -D. - . 27 .若p級數(shù) 1收斂，則（）n nA. P 1 B. p -1 C. p 1 D. p - 1：- n一 x8 .募級數(shù)Z 的收斂域為().n 1 nA. 1-1,1 1 B -1,1 C. 1-1,1 D. -1,1 1).1D.2。x).9 .募級數(shù)Z - I在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（ n2；A. B.上 C.21 x 2 x1 x10.微分方程xy - y In y = 0的通解為（xxxcxa. y 二

3、ce b. y 二 e c. y 二cxe d. y 二 e二.填空題(4分黑5)1 .一平面過點A(0,0,3)且垂直于直線 AB,其中點B(2,1,1),則此平面方程為 2 .函數(shù) z =sin(xy )的全微分是 .二273 23Z3 .設(shè) z =x y -3xy -xy +1,則=；:x.:y4 .的麥克勞林級數(shù)是 .2 x5.微分方程 y +4y + 4y = 0的通解為三.計算題(5分M6)、r UZ ；：Z1 .設(shè) z=e sinv,而口=乂丫,丫 = 乂 + 丫，求,.；:x ；:y2 22Z , Z2 .已知隱函數(shù)z =z(x, y油萬程x -2y +z 4x + 2z5 =

4、 0確定，求 ,. ；x ：:y3 .計算 JJsin xx + y2d。，其中 D :n 2 E x2 + y2 4n 2.D4 .如圖，求兩個半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積(R為半徑).5 .求微分方程y3y =e2x在y x =0條件下的特解.四.應(yīng)用題(10分父2)31.要用鐵板做一個體積為 2 m的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最?。縭 12.曲線y = f x讓任何一點的切線斜率等于自原點到該切點的連線斜率的2倍，且曲線過點1- 求此曲 3)線方程試卷1參考答案一.選擇題 CBCAD ACCBD二.填空題1. 2x -y -2z 6=0.2. co

5、s xy ydx xdy .J- -1n n4. -x .n5. y = Ci C?x e ?x三.計算題Z xy .r1. 一 二elysin x ycosx y 1=exy Xsin x ycos x y 1.-y；z 2 - xjz2 y2.=,=：:xz 1 ：:y z 13.sin P FdP =-6n 2.4竺R333x2 x5. y = e - e .四.應(yīng)用題1 .長、寬、高均為3/2m時，用料最省2 . y =-x . 3高數(shù)試卷2 (下).選擇題（3分M10）1 .點 M1(4,3,1 ), M2 (7,1,2 )的距離 M1M2 =()A. 12 B. . 13 C. .

6、14 D. . 152 .設(shè)兩平面方程分別為 x2y+2z+1=0和x+y + 5 = 0 ,則兩平面的夾角為（）JJJTJEA. B. -C. D.3 .函數(shù)z =arcsin(x2 +y2 )的定義域為().a. 1x, y 0 Mx2 y2 V2 n122 nC.(x, y 0 M x +y M b. 1x, y 0 ： x2y2 ： 1 ：d. “x, y )0y24.點P(1,2,1例平面x+2y2z5=0的距離為（A.6B.7C.8D.9A.3B.4C.5D.62-25 .函數(shù)z=2xy3x -2y的極大值為()A.0B.1C. -1D. 12、一2 ,人2-殳/、6 .設(shè) z =

7、 x +3xy + y ,則一6 2 =().,，7 .若幾何級數(shù)ar ar n是收斂的，則（）.n 0a. r 1 c. r| 1 d. r 0）所圍的幾何體的體積4 .應(yīng)用題（10分父2）1 .試用二重積分計算由y = Jx, y =2vx和x = 4所圍圖形的面積.試卷2參考答案一.選擇題 CBABA CCDBA.二.填空題x 2 y 2 z 11. =.1 122. exy ydx xdy .3. 8x 8y z =4.n 2n4. - 1 x .-35. y = x .三.計算題1.8i -3j 2k.2. z = 3x2 sin ycosy cosy - sin y，z = -2x

8、3 sin y cosy sin y cosy x3 sin3 y cos3 y ；x；y一 xz2 .xy z二 z - yz二z3. =2 , 一；xxy z 二 y32 34. a二 2-2 3四.應(yīng)用題161.3、選擇題（本題共1、二階行列式A、10B、 202、高等數(shù)學(xué)試卷10小題，每題3分，共30分）-3C、的值為（24D、22設(shè) a=i+2j-k,b=2j+3ka與b的向量積為（A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k3、點 P (-1、-2、1）到平面 x+2y-2z-5=0的距離為（A、2 B、3 C、 4 D、 54、函數(shù)z=xsiny在點3

9、11,-）處的兩個偏導(dǎo)數(shù)分別為（.2A、B、C、.2.2(下)D、5、設(shè) x2+y2+z2=2Rx,z 二 z,分別為（x 二 yA、B、C、D、x-R2226、設(shè)圓心在原點，半徑為R,面密度為 X = x +y的薄板的質(zhì)量為（）（面積A=nR ）22212-A、R2AB、2R2AC、3R2AD、一 R A2二二n7、級數(shù)Z (1)n x的收斂半徑為()n 4nA、2 B、1C、1 D、328、cosx的麥克勞林級數(shù)為（）A、oO“ ()nn衛(wèi)2n x 鬲B、 (-1)nn 42n X 麗C、v (-1)nn =02n X (2n!D、QO (-1)nn=02n JX(2n -1)!9、微分方

10、程（y）4+（y）5+y+2=0的階數(shù)是（）A、一階 B、二階 C、三階 D、四階10、微分方程y+3y+2y=0的特征根為（）A、-2, -1 B、2, 1 C、-2, 1 D、1 , -2 二、填空題（本題共 5小題，每題4分，共20分）1、直線L1： x=y=z與直線L2： 1 =3 =2的夾角為。2-1直線L3： -1 =y2 = z與平面3x +2y 6z =0之間的夾角為2-123、二重積分 0d%D :x2 +y2 M1的值為 oD 二二二二 n4、募級數(shù)Z n!xn的收斂半徑為 , Z工的收斂半徑為 。n =0n =0 n!三、計算題（本題共 6小題，每小題5分，共30分）1、

11、用行列式解方程組f3x+2y-8z=172x-5y+3z=3二 x+7y-5z=22、求曲線x=t,y=t 2,z=t3在點（1, 1, 1）處的切線及法平面方程.3、計算口xyd仃，其中D由直線y =1,x =2及y = x圍成.D二 n 1 4、問級數(shù)Z （T）nsin1收斂嗎？右收斂，則是條件收斂還是絕對收斂？n 1n5、將函數(shù)f（x尸e3x展成麥克勞林級數(shù)6、用特征根法求 y+3y+2y=0的一般解1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰M成正比，(已知比例系數(shù)為k)已知t=0變。由原子物理

12、學(xué)知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量時，鈾的含量為M0,求在衰變過程中鈾含量 M (t)隨時間t變化的規(guī)律。參考答案、選擇題1、 D 2、 C3、C4、5、B 6、D7、C8、A 9、B10,A二、填空題1、2 ar cos,18.8,arcsin -212、0.96, 0.173653、ji、0, +ox25、y =ce萬 cx=1 y三、計算題1、-3 2-8解： =2 -57 -517 2-8(-3)-5-2-5-5(-8)-5 =-138 x=-53 =17-5-2(-8) X3 -5 =-138同理: y=所以,7 -517 -83 =276 ,2 -5方程組的解為x 二-5

13、-5 z= 414x-1.2,z2、解：因為 x=t,y=t 2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t 2,所以 xt| t=1 =1, y t|t=1=2, z 111=1 =3故切線方程為： 二y 1z -1法平面方程為：(x-1 ) +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因為 D由直線y=1,x=2,y=x 圍成,所以D:y故:22xyd - - xydxdy =D2 y31i(2y4)dy=.4、解：這是交錯級數(shù)，因為Vn=sin1：0,所以，Vn + lVn,且limsin1 = 0,所以該級數(shù)為萊布尼茲型級數(shù)，故收斂。nn181sin81發(fā)

14、散，從而工Sin發(fā)散。又、sin 1當x趨于0時 ,sin x x, 所以，lim n=1,又級數(shù) n以門sin1以取。5、n4 nT 1n4n所以，原級數(shù)條件收斂。解：因為w1213e =1x x x2!3!x (-二，二)-xn n!用2x代x,得：6、解：特征方程為r2+4r+4=0所以，(r+2) 2=0得重根1=2=-2,其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)解為y1=e 2x,y2=xe 2x所以，方程的一般解為y=(C1+C2x)e-2x四、應(yīng)用題1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x, y, z則 2 (xy+yz+zx ) =a2構(gòu)造輔助函數(shù)2、F (x,y,z) =xyz+ /-(2xy+2 yz

15、 + 2zx - a )求其對x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為 0,得：?z+2 入(y+z)=0x xz+2 入(x+z)=0kxy+2 K (x+y)=0與2(xy+yz+zx)-a 2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零可彳導(dǎo)x=y=z 代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z=-6 、6a3所以，表面積為 a2而體積最大的長方體的體積為V = xyz = 士史一362、解：據(jù)題意高數(shù)試卷4 (下)一.選擇題：3%10=301 .下列平面中過點(1 , 1 ,1)的平面是 .(A) x+y+z = O (B) x+y+z = l (C) x = l (D) x = 32 .在空間

16、直角坐標系中，方程x2 +y2 =2表示.(A)圓 (B)圓域 (C)球面 (D)圓柱面3 .二元函數(shù) z =(1 -x)2 +(1 -y)2的駐點是 .(A) (0 ,0)(B) (0 ,1)(C) (1 ,0)(D) (1 ,1)4 .二重積分的積分區(qū)域 D是1 Ex2 +y2 E4 ,則ffdxdy =.D(A)兀(B) 4n (c) 3n (d) 1E5 .交換積分次序后 dx 0 f (x,y)dy =(A)0cly /”中(B)1dy0f(x,y)dx 1dyjyf(X,y)dx向yj f(x, y)dx6 . n階行列式中所有元素都是1 ,其值是 (A) n (B) 0(C) n

17、! (D) 18 .下列級數(shù)收斂的是 .:-:cn(A) 尸2(B) 等(C)巨n1n 1n32nTn(D)cdzn 11-. nVn，則.QOQO若Z Vn收斂，則 Un收斂n 1n 1QOco若2 Un收斂，則vn發(fā)散n 1n 11 -x2 x4 -cQoq9 .正項級數(shù)Un和zn滿足關(guān)系式Unn 1 n 1QOoo(A)若Z Un收斂，則ZVn收斂 (B)n 1njiQOoO(C)若Zvn發(fā)散，則Zun發(fā)散 (D) n 1n 11-一, 1 10.已知：=1 +x +x2 +，則7；的募級數(shù)展開式為 .1 -x1 x2(A) 1+x2 +x4 + (B) 1+x2-x4 + (C) -1

18、-x2-x4- (D).填空題：4&5 = 20數(shù) z =“2 +y2 _1 +ln(2 x2 y2)的定義域為 .若 f(x,y)=xy,則 f(?,1)=x已知（沏，丫0）是 f （x,y）的駐點，若 晨（刈,丫0）=3, fyy（x0,y0）=12, fxy（x0,y0）=a 則 時，（x, y0） 一定是極小點.級數(shù) fun收斂的必要條件是 . n 4,計算題（一）：6&5=30.已知：z=xy,求：,.；-xy.計算二重積分 qj4 _x2dcr ,其中 D =（ x,y） | 0 My M J4 _x2 ,0 Ex M2.D n.求募級數(shù) 工（-1）n 1 的收斂區(qū)間. n 1n1

19、23當51245四1四2.3.4當5四求f （x） =e的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間） ,計算題（二）：10*2=202 1.求平面x 2 y + z= 2和2 x + y z = 4的交線的標準方程.參考答案.1 . C ; 2 . D; 3 . D; 4 . D; 5 . A;B；x, y) |1 x2 +y2 22 .x3 . -6 a 64.27lim un =0n_):：.1 .解：烏=yxy,2=xylnyx y解:JJ” -x2dcr = jdx 0 J 74 -x2dy二02(4 一x2)dx = 4x3 x -316解:B-2R=1,當 |x| 3, C3濡，下列可運算的

20、式子是（A AC B CBC ABC D)AB - AC9、在一秩為r的矩陣中，任r階子式（A 必等于零）B 必不等于零C 可以等于零，也可以不等于零D 不會都不等于零Un EVn,貝U (10、正項級數(shù)Z Un和 Vn滿足關(guān)系式n 1n 4oOcoA若Z un收斂，則 vn收斂n 1n 4QOoOB若Z vn收斂，則un un收斂nJn 4oOooC 若Z Vn發(fā)散，則Z Un發(fā)散ngn昌QOooD若Z Un收斂，則Z Vn發(fā)散nWnJ填空題(4分/題) 1、空間點p (-1, 2,-3)到xoy平面的距離為 2 .22、函數(shù)f(x,y) = x +4y 6x+8y+2在點 處取得極小值，極小值為 3、