學生版高考與阿基米德三角形-可與圓錐曲線結合!

1、高考與阿基米德三角形一、主要概念及性質1、定義：圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性質有：2、主要性質：性質1阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。證明：設A(o y) Bd, y2), M為弦AB中點，則過A的切線方程為yy p(x x1)，過B的切線方程為：y2y p(x X2),聯(lián)立方程組得：VN P(x X)y2 y p(x x2)2Vi2 pxiV222 px2解得兩切線交點 Q Y四，Y_2 ,進而可知QM Px軸。2p 2性質2：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點 C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線。證明：設Q(x,

2、y),由性質1, x Yyy %y2 ,所以有y1y2 2px。由2p 2A, B,C 三點共線知 一y一y22- -y2-y0-江江江 Vxo2p 2p 2p22即 y1y1y2 yxo 討。y1 2py0將 y y1 2 y2 , y1 y2 2px 代入得 yoy p(x x)即為Q點的軌跡方程。性質3:拋物線以C點為中點的弦平行于 Q點的軌跡。性質4：若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點。證明：設l方程為ax by c 0 ,且A(x1，y。B%, y?),弦AB過點C(x, y),由性質2可知Q點的軌跡方程為yoy p(x xo),該方程與 ax

3、by c 0表示同一條直線，對照可得% c, yo殂，即弦AB過定點C ,也。a aa a性質5：底邊長為a的阿基米德三角形的面積的最大值為8P證明：AB a ,設Q到AB的距離為d ,由性質1知222d QMXi X2 YiY2 yi y2 2yy2 (y1122 2p 4P 4P 4P設直線AB的方程為x my n,則a J(1 m2)(y2 y1)2 ,所以(yi y2)2 a22d 4ps Tad3ao8p性質6：若阿基米德三角形的底邊過焦點,則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小彳1為p2。證明：由性質2,若底邊過焦點，則x0 -,y0 0, Q點的軌跡方程是x 上，即為

4、準線；易22驗證kQA kQB 1 ,即QA QB ,故阿基米德三角形為直角三角形，且Q為直角頂點。所以22八2X1X2pyy2p2y1y2pQM - - -p22 4p 2 4p 2 1 2而 SVQAB 2 QM (y1 y2) QM y y1 y2p性質7 :在阿基米德三角形中，QFA QFB 。證明：如圖，作 AA 準線,BB準線，連接 AQ ,QB ,QF,AF,BF ,則 kFA顯然KfakQA1 ,所以FAQA ,又因為AAAF ,由三角形全等可得QAAQAFVQAAVQAFQAQF ,QAAQFA同理可得QB所以 QAA性質8： AF證明:AFQF ,QBBQFBQAQBQAB

5、QBAQA B900QB A900QB BQFAQFBBFBFQFX1X2X1X2 衛(wèi)(X1 X2)2222YiY2yiy22p 422而 QF 2 立 Ey1y22p 2 2p2yiy22p2p- AF BF4性質9 QM的中點P在拋物線上，且P點處的切線與AB平行。證明：由性質1知Q &,_y一y2 ,M 一x2,*y2 ,可得P點坐標為 2P 2P22(y1 y2) ,y-y2，此點顯然在拋物線上；過 P點的切線斜率為8p 2P-2p kAB ,結論得證。% 丫2 yi y2 2二、例題解析1. (2008年江西卷理科第21題)21.(本小題滿分12分)設點P(xo, yo)在直線x m

6、(ym,0 m 1)上，過點P作雙曲線x2 y21的兩條切線1 -PA、PB,切點為 A、B,定點 M(,0). m(1)求證：三點A、M、B共線。(2)過點A作直線x y 0的垂線，垂足為 N，試求 AMN的重心G所在曲線方程2. (2008年山東卷理科第 22題)如圖，設拋物線方程為 x2 2py(p 0) , M為直線y2P上任意一點，過 M引拋物線的切線，切點分別為 A B.(I)求證： A M , B三點的橫坐標成等差數(shù)歹U;(n)已知當 M點的坐標為(2, 2p)時,AB 4所.求此時拋物線的方程;(m)是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x2 2py(p 0)上，

7、其中,uuu uuu 點C滿足OC OAuuuOB (O為坐標原點).若存在，求出所有適合題意的點 M的坐標；若不存在，請說明理由.3. (2007年江蘇卷理科19題)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，過y軸正方向上一點C(0, c)任作一直線，與拋物線 y x2相交于AB兩點，一條垂直于 x軸的直線，分別與線段 AB和直線l : y c交于P,Q ,uur uuui(1)若OAOB 2,求c的值；(5分)(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；(5分)(3)試問(2)的逆命題是否成立？說明理由。(4分)4 ( 2005 年江西卷理科 22 題)如圖，設拋物線 C: y x2的

8、焦點為F,動點P在直線l :x y線 C 的兩條切線PA、 PB ，且與拋物線C 分別相切于A 、 B 兩點 .(1)求 APB的重心 G的軌跡方程.(2)證明/ PFA=/ PFB.5 ( 2006 年 全國卷 2 理科第 21 題 )2uuur已知拋物線x24y 的焦點為 F， A、 B 是熱線上的兩動點，且AFuuuur uuur分別作拋物線的切線，設其交點為M。(I)證明FM .AB為定值；(II)2 0 上運動，過P 作拋物uuurFB(0).過 A、 B 兩點設 ABM的面積為S,寫出 S f ( ) 的表達式，并求S 的最小值。廣東模考試題19.(本小題滿分14分)2010屆廣州

9、二模24 已知拋物線C：x 2py p 0的焦點為F,A、B是拋物線C上異于坐標原點 。的不同兩點，拋物線 C在點A、B處的切線分別為li、12,且li I2, li與I2相交于點D.(1)求點D的縱坐標；(2)證明：A、B、F三點共線；_3(3)假設點D的坐標為 一，1 ,問是否存在經(jīng)過 A、B兩點且與11、12都相切的圓，2若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由18.(本題滿分13分)2009韶關一模已知動圓過定點 N(0,2),且與定直線 L:y 2相切.(I)求動圓圓心的軌跡C的方程；uuuruuir(II )若A、B是軌跡C上的兩不同動點，且 AN NB .分別以A、B為切點作軌跡 C的切線，設其交點 Q證明NQ AB為定值.20.(本小題滿分14分)2010年深圳市高三年級第二次調研考試數(shù)學已知拋物線C : x2 4y的焦點為F ,過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E 的中心在原點，焦點在 x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率 e 包.2(1)求橢圓E的方程;