直角三角形等腰直角三角形斜邊直線專題(韓)

1、直角三角形、斜邊中線、等腰直角三角形專題、直角三角形的性質(zhì)1 . 一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖，/1+/2= 度.2 .如圖， ABC 中，/ BAC=90° , AD ± BC, / ABC 的平分線 BE 交 AD 于點(diǎn)F, AG 平分/DAC,求證：/ BAD=/C;/AEF=/AFE;AGLEF.B D G3 .如圖所示，在 ABC中，CD, BE是兩條高，那么圖中與/ A相等的角有4 .如圖，已知 ABC中，AB>AC, BE、CF者B是 ABC的高，P是BE上點(diǎn)且BP=AC, Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 CQ=AB,連接AP、AQ、QP,、含300角的

2、直角三角形的性質(zhì)5 .在RtABC中，/ ACB=60° , DE是斜邊AC的中垂線，分別交 AB、AC于D、E兩點(diǎn).若BD=2 ,求AD的長(zhǎng)ED6 .如圖，/AOP= / BOP=15° , PC/ OA 交 OB 于 C, PDOA 于 D,若 PC=6求PD的長(zhǎng)C7 .如圖所示，矩形 ABCD中，AB=4AD , E為BC上的一點(diǎn)，且AE=AD ,8 .如圖， ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DFLAB于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且 ED=EC ,若AE=2 ,求AF的長(zhǎng)9 .如圖所示，已知 / 1=/2, AD=BD=4 , CEXAD, 2CE=AC,

3、求 CD 的長(zhǎng)10 .如圖，在 RtzXABC 中，/ ACB=90° , / B=30 ° AD 平分/ BAC, DE ±AB 于 E,求證：(1) CD=DE ; (2) AC=BE ; (3) BD=2CD ;、直角三角形斜邊中線問(wèn)題11 .如圖，在 ABC 中 / A=60° ,BM，AC 于點(diǎn) M, CNLAB 于點(diǎn) N, P 為 BC邊的中點(diǎn)，連接PM, PN,求證：4PMN為等邊三角形；BPC12 .已知銳角 ABC中，CD, BE分別是AB, AC邊上的高，M是線段BC的 中點(diǎn)，連接DM, EM.(1)若 DE=3 , BC=8,求4D

4、ME 的周長(zhǎng)；(2)若/ A=60° ,求證：/ DME=60° ;(3)若BC2=2DE2,求/ A的度數(shù).BM編輯版word點(diǎn)，EF=2,求AC的長(zhǎng)sF D14 .如圖，在 ABC中,AB 于 E, PFLAC 于 F,15 .如圖，在 ABC中, 為AB的中點(diǎn)，AD、CE/AB=6, AC=8, BC=10, P 為邊 BC點(diǎn)，PE±M為EF中點(diǎn)，求AM的最小值/ ACB=90° , / B=20° D 在 BC 上，AD=BD , E相交十點(diǎn)F,求/ DFE等于多少13.如圖，在 ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD ,E、F分別是AC

5、、BD的中BDC16 .如圖,在RtAABC中，/CB',若 / B=50° ,求 / A(17 .如圖， ABC 中，AB=ACACB=90° ,將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB'二.,D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且BEX AC,若DE=5 , AE=8 ,求BC的長(zhǎng)度18 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，以AC為斜邊作RtAACE,又/ BED=90求證：AC=BD .19 .已知：如圖，在 RtzXABC中，/ ACB=90°，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHXAB于點(diǎn)H, CD平分/ ACB.(1)求證：/ 1 = / 2.(2)過(guò)點(diǎn)M作AB的

6、垂線交CD延長(zhǎng)線于E,求證：CM=EM ;(3) AAEB是什么三角形？證明你的猜想.20 .如圖，已知在 ABC中，延長(zhǎng)CA至ij D ,使BA=BD ,延長(zhǎng)BA到E,使CA=CE ,BpC四、等腰直角三角形問(wèn)題21 .如圖，zXACB、zCDE為等腰直角三角形，/ CAB=的中點(diǎn)，求證：AFXDF, AF=DF .BDC22 .已知等腰直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，于E,在DB上取點(diǎn)F,使DF=DE ,求證：CF平分/ DC/ CDE=90° , FJ BEAE平分/ CAB交CD:B.設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn).求證： PMN是等腰三角形.建23.如圖

7、， OBD和AOCA是等腰直角三角形，/線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD.若C在直線OB4AODB= / OCA=90° . M 是上，試判斷 CDM的形狀.24如圖，已知點(diǎn) D在AC上，ZXABC和4ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn) M為EC的中點(diǎn).(1)求證： BMD為等腰直角三角形;(2)將圖中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,如圖所示，則(1)題中的結(jié)論“ BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.EJO25.已知：如圖 ABC中，/ A=90o ,AB=AC , D是斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別在線段 AB, AC上，且/ EDF=90°(1)求

8、證： DEF為等腰直角三角形;(2)求證：S 四邊形 AEDF =SABDE +Sa CDF ；(3)如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持/ EDF=90° , 還仍然是等腰直角三角形嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由.DEF,BE，AC 于點(diǎn) E, ADLBC 于點(diǎn) D.(1)如圖1,作/ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F,連接AF .求證：/ FAB二 / FBA;(2)如圖2,連接DE ,點(diǎn)G與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DG、EG依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.27.如圖，在 ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC, D

9、 為 BC 中點(diǎn)，DE，AB,垂 足為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF/AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF、AF、AD , AD 與CF交于點(diǎn)G.(1)求證： ACDACBF;(2) AD與CF的關(guān)系是;(3)求證：4ACF是等腰三角形；(4) 4ACF可能是等邊三角形嗎？(填“可能”或“不可能”).宜角三角形斜邊中線等腰宜角三角形專題參考答案與試題解析1 .【解答】解：如圖，/ 1=/3, /2=/4 （對(duì)頂角相等）， ./ 3+/ 4=90. / 1 + / 2=90【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.如圖， ABC 中，/ BAC=90° ,

10、AD ± BC, / ABC 的平分線 BE 交 AD 于點(diǎn)F, AG 平分/ DAC,給出下列結(jié)論：/ BAD=/C;/AEF=/AFE;/ EBC=/C; ®AG ±EF.其中正確的結(jié)論是（）B D G CA. B. C. D.【分析】根據(jù)同角的余角相等求出/ BAD= /C,再根據(jù)等角的余角相等可以求出/ AEF= / AFE;根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出 AGXEF.【解答】 解：./ BAC=90° ,AD ±BC,.C+/ABC=90° ,/ BAD+ / ABC=90° ,丁./ BAD= /C,故正確；.

11、BE是/ABC的平分線， ./ABE=/CBE,vZ ABE+ / AEF=90ZCBE+Z BFD=90° , ./AEF=/BFD, 又/AFE=/BFD （對(duì)頂角相等）， 丁./AEF=/AFE,故正確；/ABE=/CBE,只有/ C=30°時(shí)zEBC=/C,故錯(cuò)誤；. /AEF= /AFE,AE=AF ,. AG 平分 / DAC ,AGXEF,故正確.綜上所述，正確的結(jié)論是.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余 角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)， 熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角 度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3.如圖所示

12、，在 ABC中，CD, BE是兩條高，那么圖中與/ A相等的角的個(gè)A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【分析】根據(jù)已知條件CD, BE是兩條高可知：/ A+/DCA=90° , / ABE+/ BHD=90° , /A+/ABE=90° , / CHE+/ HCE=90° ,再根據(jù)同角的余角相等 即可得到答案.【解答】解：: CDXAB,丁. / CDA= / BDH=90° ,/ A+ / DCA=90° , / ABE+ / BHD=90° ,v BEXAC,. /A+/ABE=90° , / CHE+/

13、HCE=90° ,. A=/BHD= /CHE,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直得到有哪些角互余.4.如圖，已知 ABC中，AB>AC, BE、CF都是4ABC的高，P是BE上一 點(diǎn)且BP=AC, Q是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 CQ=AB,連接AP、AQ、QP,判斷 APQ的形狀.【分析】利用BE、CF都是 ABC的高，求證/ 1 = /2,然后求證4 ACQAPBA,利用AQ=AP , AQXAP,即可證明 APQ是等腰直角三角形.【解答】解：4APQ是等腰直角三角形.BE、 CF者B是4ABC 的高,/1 + /BAE=90° , /2+

14、/CAF=90° （同角（可等角）的余角相等）/ 1 = /2又. AC=BP, CQ=AB ,在4ACQ和4PBA中IAC=AB Z1=ZZ2, AB=CQ.ACQAPBAAQ=AP , ./CAQ=/BPA=/3+90°丁. / QAP= / CAQ / 3=90AQXAPAPQ是等腰直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌 握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.5. （2016秋？泰山區(qū)期中）在RtABC中，/ ACB=60° , DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn).若BD=2,則AD的長(zhǎng)是（）A. 3 B. 4

15、 C. 5 D. 4.5【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/ A的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC ,解答即可.【解答】解：ACB=60° , / B=90 ° , ./ A=30° ,v DE是斜邊AC的中垂線，DA=DC ,丁. / ACD= / A=30 ° ,v BD=2 , . AD=4 ,故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.PC/ OA 交 OB 于 C,6. （2016秋？大豐市月考）如圖，/ AOP= / BOP=15° ,

16、PDXOA 于 D ,若 PC=6, WJ PD 等于（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【分析】過(guò)點(diǎn)P作PELOB于E,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/ AOP=/COP,然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/PCE=/AOB=30° ,再根據(jù)直角三角形30 0角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答.【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PELOB于E,PC/ OA, ./AOP=/COP, ./ PCE=/BOP+/COP=/BOP+/AOP= / AOB=30° , 又= PC=6,PE=PC=3, . AOP=/BOP, PDXOA, . PD=PE=3 ,

17、【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形 30 0角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵.7. （2015春？蘭溪市期末）如圖所示，矩形ABCD中，AB=yAD , E為BC上的點(diǎn)，且AE=AD ,則/ EDC的度數(shù)是（）A. 300 B. 750 C. 450 D. 15°【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出/ C=ZABC=90° ,AB=CD , DC / AB,推出AE=2AB ,得出/ AEB=30° =ZDAE,求出/ EDC的度數(shù)，即可求出答案.【解答】解：

18、二四邊形ABCD是矩形，.C=/ABC=90° , AB=CD , DC/AB,v AB=J-AD , E 為 BC 上的一點(diǎn)，且 AE=AD , 2AE=2AB , ./ AEB=30° ,. AD / BC, ./AEB=/ DAE=30° ,v AE=AD , ./ADE= /AED=L ( 180° -/EAD) =75 ° , 2 / ADC=90° , ./ EDC=90° - 75° =15 ° ,故選D.3E C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

19、含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出/ ABC和/EBA的度數(shù)，題目比較好，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目.8. （2013春？重慶校級(jí)期末）如圖， ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，DF XAB于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且 ED=EC ,若AE=2 ,則AF的長(zhǎng)為（）B D CA. V3 B. 2 C. V5+1 D. 3【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH / AC交BC的延長(zhǎng)線于H ,證明 ABH是等邊三角形, 求出CH,得到BD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出 BF,計(jì)算即可.【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH / AC交BC的延長(zhǎng)線于H ,. H=/ACB=60° ,又/ B=6

20、0° ,.EBH是等邊三角形，EB=EH=BH , v ED=EC ,丁. / EDC= / ECD ,又/ B= / H , ./ BED=/HEC,在ABED和AHEC中,EB=EH/BED =/HEC,ED=EC.-.BEDAHECBD=CH=2 ,BA=BC=4 , BF=-i-BD=1 , AF=3.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30 0角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等邊三角形的三個(gè)角都是60 0是解題的關(guān)鍵.2CE=AC,那么CD的長(zhǎng)是（）9. （2012春？古冶區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，已知/ 1=/

21、2, AD=BD=4 , CEXAD ,A. 2 B. 3 C. 1 D. 1.5,又AD=BD=4 ,【分析】在RtMEC中，由于*當(dāng) 可以得到/ 1 = 7 2=30得到/ B=/2=30 ° ,從而求出/ ACD=90°然后由直角三角形的性質(zhì)求出 CD.【解答】解：在RDAEC中，善=春, / 1 = / 2=30. AD=BD=4/ B= / 2=30 0 ,./ ACD=180° - 30° X 3=90 . CD、AD=2 . 2故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：(1)直角三角形的性質(zhì)；(2)三角形內(nèi)角和定理；(3)等邊對(duì)等角的性質(zhì).10. (20

22、12 秋？包河區(qū)期末)如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90° , / B=30AD 平分/ BAC, DE ±AB 于 E,以下結(jié)論(1)CD=DE ; (2) AC=BE ; (3) BD=2CD ;A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 CD=DE , AC=BE ,結(jié)合含30 °角的直角三角形的性質(zhì)可得BD=2CD ,而AC和BD不一定相等，所以可得出答案.【解答】 解：ACB=90° , / B=30° AD 平分/ BAC, DELAB,DC=DE , / ADC= / ADE=60°

23、 , AD 平分/ CDE,AC=AE在 RtABDE 中，/ B=30° , . BD=2DE=2CD ,在 RtzXADE 中，DE=2AE=2Z!aC, 33 正確的有（1）、（2）、（3）,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)及含 30 0角的直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.11. （2015秋？江陰市期中）如圖，在4ABC中/ A=60° ,BM，AC于點(diǎn)M, CN，AB于點(diǎn)N, P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM, PN,則下列結(jié)論：PM=PN; PMN為等邊三角形；下面判斷正確是（）BPCA.正確 B.正確 C.都正確D.都不

24、正確【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出/ ABM=/ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/ BCN+/ CBM=60° ,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/ BPN+/ CPM=120° ,從而彳4到/MPN=60° ,又由得PM=PN,根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷正確.【解答】解：: BMLAC于點(diǎn)M, CN，AB于點(diǎn)N, P為BC邊的中點(diǎn)，pm=1bc, pn=1bc, .PM=PN,正確；. / A=60° ,BM，

25、AC于點(diǎn)M, CN，AB于點(diǎn)N,丁. / ABM= / ACN=30° ,在 ABC 中，/BCN+/CBM 180° - 60 ° - 30 ° X 2=60 ° ,.點(diǎn) P 是 BC 的中點(diǎn)，BMXAC, CNXAB,PM=PN=PB=PC , ./BPN=2/BCN, /CPM=2/CBM, /BPN+/CPM=2 (/BCN+/CBM) =2X60° =120 ° , ./ MPN=60° , .PMN是等邊三角形，正確；所以都正確.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形 30 0角所對(duì)的直角邊等于斜邊

26、的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.已知銳角 ABC中，CD, BE分別是AB, AC邊上的高，M是線段BC的中點(diǎn)，連接DM, EM.(1)若 DE=3 , BC=8,求4DME 的周長(zhǎng)；(2)若/ A=60° ,求證：/DME=60° ;(3)若BC2=2DE2,求/ A的度數(shù).BM【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出 DM=±BC=4, EM=1BC=4, 即可求出答案；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ ABC+ / ACB=120° ,根據(jù)直角三角形斜邊上 中線性質(zhì)求出 DM=BM , EM=CM ,推出

27、 / ABC= / BDM , / ACB= / CEM ,根 據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；(3)求出EM472EN ,解直角三角形求出/ EMD度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.【解答】解：(1) V CD, BE分別是AB, AC邊上的高, ./BDC=/BEC=90° ,.M是線段BC的中點(diǎn)，BC=8, .DM=BC=4, EM=-BC=4 .DME 的周長(zhǎng)是 DE+EM+DM=3+4+4=11(2)證明：=/A=60° , ./ABC+/ACB=120° , ./BDC=/ BEC=90° , M 是線段 BC 的中點(diǎn),DM=BM , EM=

28、CM , ./ABC=/BDM , /ACB=/CEM, /EMC+/DMB= /ABC+/ACB=120° , ./ DME=180° 1200 =600 ;(3)解：過(guò)M作MN IDE于N, v DM=EM ,EN=DN= LdE, /ENM=90° , 2v EM=DM= BC, DN=EN= -i-DE , BC2=2DE2,(2EM) 2=2 (2EN) 2,EM=二EN ,sin/ EMN=以L=j/H EM 2 ./ EMN=45° ,同理/ DMN=45 , ./ DME=90° , ./DMB+ / EMC=180°

29、 90 ° =90 . /ABC=/BDM , /ACB=/CEM, ./ABC+/ACB得(180。-/DMB+180。-/EMC) =135 ./ BAC=180° (/ABC+/ACB) =45 ° .解直角三【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)， 三角形的內(nèi)角和定理,角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解 此題的關(guān)鍵，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.13. （2014春？永川區(qū)校級(jí)期中）如圖，在 ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB=AD ,E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，EF=2,則

30、AC的長(zhǎng)是（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【分析】連2AF.由AB=AD , 5是8口的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF ± BD .再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線 等于斜邊的一半求 得 AC=2EF=4 .【解答】解：如圖，連結(jié)AF.V AB=AD , 5是BD的中點(diǎn)， AFXBD.在 RtzXACF 中，/ AFC=90° ,E是AC 的中點(diǎn)，EF=2 , . AC=2EF=4 .故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)： 在直角三角形中，斜邊上 的中線等于斜邊的一半.利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出 AFXBD是解題 的關(guān)鍵.14. （

31、2011秋？姜堰市期末）如圖，在 ABC中，AB=6, AC=8 , BC=10, P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PELAB于E, PFLAC于F, M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為( )A. 2 B, 2.4 C. 2.6 D. 3【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得 AP最短時(shí)的長(zhǎng)，然后即可 求出AM最短時(shí)的長(zhǎng).【解答】 解：連結(jié)AP,在4ABC中，AB=6, AC=8 , BC=10, ./ BAC=90° ,v PE±AB, PF±AC,一四邊形AFPE是矩形，EF=AP . M是EF

32、的中點(diǎn)，AM=yAP,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，即APLBC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短, 當(dāng) APLBC 時(shí)， ABPACBA,.生延，AC BCAP= 68 10' AP 最短時(shí)，AP=4.8 當(dāng) AM 最短時(shí)，AM=&2=2.4.2故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形 斜邊上的中線的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有一定的拔高難度，屬于中 檔題.15. （2010?武隆縣模擬）如圖,在AABC 中，/ ACB=90° , / B=20 °D 在 BC上，AD=BD , E為AB的中點(diǎn)，AD

33、、CE相交于點(diǎn)F, / DFE等于（A. 400 B. 50° C. 60° D. 70【分析】根據(jù)已知彳#, / BAC=70° , BAD= ZB,再根據(jù)直角三角形斜邊上的 中線等于斜邊的一半，得出/ ECB=/B,從而得出/ ACE,再由三角形的內(nèi)角 和定理得/ AFC,根據(jù)對(duì)頂角相等求出答案.【解答】解：ACB=90° , / B=20 ./ BAC=70° ,vAD=BD ,丁. / BAD= / B=20 ° , ./ DAC=50° , . E為AB的中點(diǎn)，BE=CE , ./ ECB=/ B=20°

34、 , ./ ACE=70° ,在AACF 中，/ ACF+/AFC+/ FAC=180° , ./ AFC=60° , ./DFE=/AFC=60° （對(duì)頂角相等），故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一 半，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.16. （2016?江岸區(qū)模擬）如圖，在ABC中，/ ACB=90° ,將邊BC沿斜邊上的中線 CD 折疊到 CB',若/ B=50° , WJ/ ACB'= 10°.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出

35、/BCD、/DCA的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出/B的度酸，計(jì)算即可.【解答】解：./ ACB=90° , / B=50 ° ,./ A=40° , ./ ACB=90° , CD是斜邊上的中線， . CD=BD , CD=AD ,丁. / BCD= / B=50 ° , / DCA= / A=40 ° ,由翻折變換的性質(zhì)可知，/B' CD=/ BCD=50° , ./ ACB' =/ B' CD- / DCA=10° ,故答案為：10° .【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、翻

36、折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.17. （2016秋？株州市期末）如圖， ABC中，AB=AC, D為AB中點(diǎn)，E在AC 上，且 BEXAC,若 DE=5 , AE=8 , WJ BC 的長(zhǎng)度為 2yliI .【分析】由BE LAC, D為AB中點(diǎn)，DE=5 ,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得 AB的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得 BC的長(zhǎng).【解答】解：: BEXAC, ./ AEB=90. D為AB中點(diǎn), .AB=2DE=2 X5=10,.AE=8,be=T!£E=6bc=7bE2+CE2=V62 + 22=2，故答案為：2/15.

37、【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及勾股定理.注意掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.18.如圖，在平行四邊形 ABCD中，以AC為斜邊作RtzXACE,又/ BED=90° .求證：AC=BD.【分析】連接EO,首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 AO=CO, BO=DO,即O 為 BD 和 AC 的中點(diǎn),在 RtAAEC 中 EO=yAC,在 RtAEBD 中，EO=-1-BD, 進(jìn)而得到AC=BD,再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可證出結(jié)論.【解答】證明：連接EO,四邊形ABCD是平行四邊形, .AO=CO, BO=DO ,在 RtAEBD

38、 中，O為BD中點(diǎn),EO=_BD2在RtzXAEC中，:。為AC中點(diǎn),eo=±ac,2 . AC=BD .【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.19.已知：如圖，在 RtzXABC中，/ ACB=90°，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，CHXAB于點(diǎn)H, CD平分/ ACB.(1)求證：/ 1 = / 2.(2)過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線交CD延長(zhǎng)線于E,求證：CM=EM ;(3) AAEB是什么三角形？證明你的猜想.【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到 AM=CM=BM , 由等腰三角形到性質(zhì)得

39、到/ CAB=/ACM,由余角的性質(zhì)得到/ CAB=/BCH, 等量代換得到/ BCH= / ACM ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ ACD= / BCD ,即可 得到結(jié)論；(2)根據(jù) EMXAB, CHXAB,得到EM / AB,由平行線的性質(zhì)得到/ HCD=/MED,由于/HCD=/MCD,于是得到/ MCD= / MED ,即可得到結(jié)論；(3)根據(jù) CM=EM AM=CM=BM ,于是得到EM=AM=BM ,推出4AEB是直角 三角形，由于 EM垂直平分AB,得到EA=EB于是得到結(jié)論.【解答】 證明：(1) RDABC中，/ ACB=90° ,.M是AB邊的中點(diǎn)，AM=CM=BM

40、 , ./ CAB=/ACM, ./ CAB=90 - / ABC,.CHIAB, ./ BCH=90 - / ABC, ./CAB=/BCH, ./ BCH=/ACM,. CD 平分/ ACB, ./ACD= / BCD,/ ACD - / ACM= / BCD - / BCH,即 / 1 = /2;(2) v EM LAB, CH LAB,EM / CH./ HCD= / MED ,/ HCD= ZMCD, ./ MCD= / MED , CM=EM ;(3) AAEB是等腰直角三角形，,. CM=EM AM=CM=BM ,EM=AM=BM , .AEB是直角三角形，v EM垂直平分AB

41、,EA=EB , .AEB是等腰三角形， . AEB是等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半， 等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵20.如圖，已知在 ABC中，延長(zhǎng)CA至ij D ,使BA=BD ,延長(zhǎng)BA到E,使CA=CE , 設(shè)P、M、N分別是BC、AD、AE的中點(diǎn).求證： PMN是等腰三角形.E【分析】連接BM、CN,根據(jù)等腰三角形三線合一得到/BMC=90° ,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MP=2BC,同理 NP=i-BC,得到答案.【解答】證明：連接BM、CN,v BA

42、=BD , DM=MA , BMXAD ,./ BMC=90° ,又 BP=PC,mp=1bc,2 同理，np=|bc, .MP=NP,.PMN是等腰三角形.BpC編輯版word掌握直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì), 斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形三線合一是解題的關(guān)鍵.21.如圖，zACB、zCDE為等腰直角三角形，/ CAB= / CDE=90° , F為BE的中點(diǎn)，求證：AFXDF, AF=DF .【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得af=bf=1ae,DF=BF= 1AE,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得/ ABF= ZBA

43、F, / DBF= / BDF ,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出/AFD=2 / ABC,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】證明：: / CAB= / CDE=90° , F為BE的中點(diǎn)，AF=BF=yAE, DF=BF=AE , . AF=DF , ./ABF=/BAF, /DBF=/BDF,由三角形的外角性質(zhì)得，/ AFD= /ABF+/BAF+/DBF+/BDF=2/ABC, : ABC是等腰直角三角形, ./ ABC=45° , ./ AFD=90° ,AFXDF,綜上所述，AFXDF, AF=DF .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了

44、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22.已知等腰直角三角形 ABC中，CD是斜邊AB上的高，AE平分/ CAB交CD于E,在DB上取點(diǎn)F,使DF=DE ,求證：CF平分/ DCB.【分析】延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G,利用角平分線的性質(zhì)可知 EG=ED ,然后證明 CEGAFED ,得出CE=FE,利用等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)即可求 出/ ECF=/ BCF.【解答】解：延長(zhǎng)FE交AC于點(diǎn)G , ; DE=DF , CD是斜邊AB上的高， ./ DEF=45° ,/ DCB=45

45、° ,EF/ BC, ./EFC=/FCB, / CGF=90° , v AE 平分/ CAB,ZCGF=Z BDC=90° ,GE=DE ,在ACGE與4FDE中，NCGE= NFDEGE二FE,ZGEC=ZBEF .-.CGEAFDE (ASA), .CE=FE, ./ ECF=/ EFC, ./ ECF=/ BCF, CF 平分 / DCB.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高.23.如圖， OBD和4OCA是等腰直角三角形，/ ODB= / OCA=90° .

46、 M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD.若C在直線OB上，試判斷 CDM的形狀.【分析】由OBD和4OCA是等腰直角三角形得到/ ACB=/ADB=90° , / OBD=45° ,由 M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到 DM=AM=BM , CM=AM=BM , WJ CM=DM , /MBD=/MDB, /MCB=/MBC, 理由三角形外角性質(zhì)得/ AMD=2 / MBD , / AMC=2 / MBC ,則/ AMD - / AMC=2 (/ MBD - / MBC) =2/ OBD=90° ,于是可得到 CDM為等腰直角三 角形.【解答】

47、解：4CDM為等腰直角三角形.理由如下：: OBD和 OCA是等腰直角三角形， ./ACB=/ADB=90° , / OBD=45° ,而M為AB的中點(diǎn),DM=AM=BM , CM=AM=BM , .CM=DM, /MBD=/MDB, / MCB= / MBC, ./AMD=2/MBD, /AMC=2/MBC, . / AMD - / AMC=2 (/MBD-/MBC) =2/OBD=90即 / CMD=90° ,. CM=DM , .CDM為等腰直角三角形.同理可得：第2個(gè)圖中 CDM為等腰直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中

48、線性質(zhì)、角形外角的性質(zhì)，靈活利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)是關(guān)鍵.24. ( 2010?渝中區(qū)模擬)如圖，已知點(diǎn)D在AC上，ZXABC和4ADE都是等 腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn).(1)求證： BMD為等腰直角三角形；(2)將圖中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45° ,如圖所示，則(1)題中的 結(jié)論“ BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出BM=EN=MC ,BMD=9ff以 BMDDM=EM=MC ,然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可以證明/ 為等腰直角三角形；(2)延長(zhǎng)DM交BC于N ,先根據(jù)/ EDB= / A

49、BC=90°證明ED / BC,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出/ DEM=/MCN,從而證明 EDM 與 MNC 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 DM=MN ,然后即可證明BMXDM,且BM=DM .【解答】（1）證明：:點(diǎn)M是RtBEC的斜邊EC的中點(diǎn), . BM=gEC=MC ,2T ./ MBC=/MCB. ./ BME=2/BCM. （2 分）同理可證：DM=,EC=MC, /EMD=2/MCD. . / BMD=2 / BCA=90° , （4分）BM=DM . . BMD是等腰直角三角形.(5分)(2) (1)題中的結(jié)論仍然成立.理由：延長(zhǎng)DM與BC交于

50、點(diǎn)N , (6分) v DEXAB, CBXAB,丁. / EDB= / CBD=90° ,DE / BC. ./ DEM= ZMCN .又. / EMD= /NMC, EM=MC,.EDMAMNC . （8 分）DM=MN . DE=NC=AD .又 AB=BC ,AB - AD=BC -CN ,BD=BN .BMXDM ,即/ BMD=90° . （9分）/ ABC=90° ,bm=1dn=dm .2T.BMD是等腰直角三角形.（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)， 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運(yùn)用

51、是解題的關(guān)鍵，難度 中等.25. （2011秋？昌平區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖 ABC中，/ A=90° ,AB=AC , D是斜邊BC的中點(diǎn)，E, F分別在線段AB, AC上，且/ EDF= 90°(1)求證： DEF為等腰直角三角形;(2)求證：S四邊形 AEDF =SABDE +Sa CDF ；(3)如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在射線CA上且保持/ EDF=90° , DEF還仍然是等腰直角三角形嗎？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明理由.【分析】(1)連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ADXBC, AD=BD ,/ 1=45 0 ,從而得到/1 = /B,再根據(jù)同角的余角相等

52、求出/ 2=/4,然后利用“AAS'證明 BDE和4ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 DE=DF , 從而得證；(2)同理求出 ADE和4CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積相等即可得證；(3)依然成立，連接 AD ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD , /CAD=45° ,再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出/DAF= / DBE ,然后利用“ AAS'證明ABDE ffiAADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 DE=DF ,從而得證.【解答】(1)證明：如圖，連接AD, =/ A=90° ,AB=AC, D是斜邊BC的中 百 八'、5. . A

53、D ±BC, AD=BD , / 1=45 ° ,. / 1 = / b=45° ,/ EDF=90° ,. / 2+/ 3=90 0 、又. / 3+/ 4=90./2=/4,rzi=ZB在4BDE 和4ADF 中，AD=BD , /2 = A.-.BDEAADF (ASA),DE=DF ,又. / EDF=90° ,.DEF為等腰直角三角形；(2)解：同理可證， ADEACDF,所以，S四邊形 AEDF =Sa ADF +Saade =S BDE +SACDF ,即 S 四邊形 AEDF =SzBDE+Sz CDF ；(3)解：仍然成立.如

54、圖，連接 AD,= / BAC=90° , AB=AC , D 是斜邊 BC 的中點(diǎn),. .AD ±BC, AD=BD , / 1=45 ° ,./ DAF=180° - Z 1=180 0 - 450 =135 °/ DBE=180° -/ABC=180° - 45 ° =135 ° , ./ DAF= /DBE,/ EDF=90° ,. / 3+/ 4=90 0 ,又. / 2+/ 3=90 0 ,；/2=/4,ZDAF=ZDBEAD=BDZ2=Z4.-.BDEAADF (ASA),DE=DF ,.DEF為等腰直角三角形.BD(D (?)題圖【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，作輔助線 構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.26. ( 2016?汕頭校級(jí)自主招生)9BC中，/ ABC=45° ,AB*BC