小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)

1、第三講：公因數(shù)和公倍數(shù)且隹知識點撥一、公約數(shù)的概念與最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外。例如：12的約數(shù)有：1,2,3,4,6,1218 的約數(shù)有：1,2,3,6,9,1812和18的公約數(shù)有：1,2,3,6 ,其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12 , 18） =61.求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.例如：231 3 7 11, 252 22 32 7 ,所以（231,252） 3 7 21 ；218 12短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：31_6 ，所以

2、（12,18） 2 3 6；3 2輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公 約數(shù).用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得 第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)， 得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).（如果最后白除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的）.例如，求 600 和 1515 的最大公約數(shù)：1515 600 2L 315; 600 315 1L 285; 315 285 1L 30 ; 285 30 9L 1

3、5; 30 15 2L 0 ;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.2.最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以n .二、公倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12 的倍數(shù)有：12,24,36,48,60,72,8418 的倍數(shù)有：18,36,54,72,9012和18的公倍數(shù)有：36,72，其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12 ,18=361.求最小公倍數(shù)的方法分

4、解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：231 3 7 11, 252 22 32 7 ,所以 231,252 22 32 7 11 2772;短除法求最小公倍數(shù)；218 12例如：39 6 ,所以 18,12 2 3 3 2 36;3 2a,ba b(a,b)2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)， 最小公倍數(shù)是較大的數(shù).三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 .兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果m為A、B的最大公約數(shù)，且A ma, B mb,那么a、b互質(zhì)，所以A、B的

5、最小公倍數(shù)為mab,所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：A B ma mb m mab ,即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是A、B、A B、A B及最小公倍數(shù)的約數(shù).2 .兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即（a,b） a,b a b,此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3 .對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a）奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：5 6 7 210, 210就是567的最小公倍數(shù)b）偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：6 7 8 336,而6,7,8的最小公

6、倍數(shù)為336 2 168性質(zhì)（3）不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。目W蚱 例題精講【例1】兩根電線分別長24m和16m,現(xiàn)將兩根電線剪成相等的小段并且沒有剩余，剪成的 小段最長可以是多少米？【鞏固】求12和18的最大公因數(shù)。【例2】找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？ 4和20 6和36 7和8 6和19【鞏固】說出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。4 和 1615 和 22【例3】用一個數(shù)去除30、60、75,都能整除，這個數(shù)最大是多少？【鞏固】一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？【例4】有

7、三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小 段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？ 一共可以截成多少段？【鞏固】加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成 10個，第三道工序每個工人每小時可完成 5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？【鞏固】有三根鋼管，它們的長度分別為240cm, 200cm, 480cm,如果把它們截成同樣長的小段，且不許有剩余，每小段最長可以是多少厘米？例5 一張長方形的紙，長7分米5厘米、寬6分米?，F(xiàn)在要把它裁成一塊正方形，而且正 方形邊長為整厘米數(shù)，有

8、幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？【鞏固】把1米3分米5厘米長、1米5厘米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形而無剩余，至少能裁幾塊？【例6】用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒 有剩余，這些正方形的邊長最長是多少？（輾轉(zhuǎn)相除法）【鞏固】用輾轉(zhuǎn)相除法判斷1547和3135是否互質(zhì)?！纠?】用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)?！眷柟獭壳?008、126R 882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？【例8】求21672和11352的最小公倍數(shù)?！纠?】已知兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為 4,最小公倍數(shù)為120,求這兩個數(shù).【鞏固】兩個

9、數(shù)的最大公約數(shù)是15,最小公倍數(shù)是90,求這兩個數(shù)分別是多少？【鞏固】已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是多少？【例10】 兩個自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個數(shù)各是多少？【鞏固】已知兩數(shù)的最小公倍數(shù)是210,它們的積是1260,它們的和是72,求這兩個數(shù)的差？【例11】 兩個自然數(shù)的和是125,它們的最大公約數(shù)是25,試求這兩個數(shù).【例12】甲乙丙三人是朋友，他們每隔不同的天數(shù)到圖書館去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他們?nèi)苏迷趫D書館相會。問至少再過多少天他 們?nèi)擞謺趫D書館相會？【鞏固】1路、2路和5路都從東站發(fā)車，1

10、路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā) 一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時發(fā)車后，至少要過多少分鐘又有 這三種路線的車同時發(fā)車？【鞏固】甲、乙、丙從同一起點出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，內(nèi)跑一圈用100秒，問：再過多長時間三人第二次從同時從起點出發(fā)？【例13一所學(xué)校的同學(xué)排隊做操，排成14行、16行、18行都正好能成長方形。這所學(xué)校至少有多少人？【鞏固】有一批乒乓球，總數(shù)在1000個以內(nèi)，4個裝一袋，5個裝一袋或6個、7個、8個裝 一袋最后都剩下一個。這批乒乓球到底有多少個？【例14】學(xué)校六年級有若干同學(xué)排隊做操，如果 3人一行

11、余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級最少有多少人？【鞏固】一袋糖，平均分給15個小朋友或20各小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖至少有 多少塊？【鞏固】一個數(shù)能被3、5、7整除，但是被11除余1,這個數(shù)最少是多少？【例15】一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150-200顆之間，問共有多少顆？【鞏固】五一班的五十多位同學(xué)去大掃除，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人，請你算一算，五一班有多少位同學(xué)？【鞏固】有一批水果，每箱放30個則多20個，每箱放35個則少10個。這批水果至少有多 少個？【例16】從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50,米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距 60米，除兩端兩根不需移動外，中途還有多少根 不必移動？【鞏固】插一排紅旗共2