概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理

1、第1章隨機事件及其概率（1）排列 組合公式Pmnm!從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。（m n）!nm!Cm從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。n !（mn）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來元成，則這件事可由m+n種方法來元成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來元成，則這件事可由mx n種方法來元成。（3） 一些 常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序） 對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機

2、 試驗和隨 機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個， 但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試 驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本 事件、樣本 空間和事 件在一個試驗下，不管事件有多少個， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)： 每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件； 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是的子集。

3、為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率為 1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：A B如果冋時有 A B , B A，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=BA、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B冋時發(fā)生：A B,或者AB A B=?，則表示 A與B不可能冋時發(fā)生，稱事

4、件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為 A。它表示A不發(fā)生 的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C)A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)Ai瓦德摩根率：i1i 1A B A B , A B A B(7)概率 的公理化 定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1 0 P(A) 0，則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B

5、/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A,An, 若 P(AAAn-1) 0,則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) . P(An| A1A2 An 1) o(14)獨立 性 兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互獨立的。 若事件A、B相互獨立，且P(A)0，則有P(B|A) P(AB) P(A)P(B) P(B)P(A)P(A)若事

6、件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨 立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。 多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1，B2，Bn滿足1 B1, B2, ,Bn兩兩互不相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i 1J?則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P

7、(A| Bn) o(16)貝葉 斯公式設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足1 B1, B2 ,，Bn兩兩互不相容， P(Bi)o, i 1, 2,，n ,nABi2i 1, P(A) 0 ,則P(B/A)P(Bi)P(A/Bi)2P(Bi/A)n, i=1 , 2,n。P(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , ( i 1 , 2 ,n ),通常叫先驗概率。P(Bi /A) , (i 1 , 2 ,n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生

8、；n次試驗是重復(fù)進行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1 P q，用Pn(k)表示n重伯努利試驗中 A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，_.k k n kPn(k) Cn P q ，k 0,1,2, ,n。第二章隨機變量及其分布(1)離散 型隨機變 量的分布 律設(shè)離散型隨機變量 X的可能取值為 X0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a ,

9、b1上為常數(shù)，即b a1aw xw bf (x) b a其他，0,則稱隨機變量X在a ,b上服從均勻分布，記為XU(a, b)。分布函數(shù)為廣 0,xb。當(dāng)awxiX2W b時，X洛在區(qū)間(xi，x2)內(nèi)的概率為x2P(x-| X x2)。ba指數(shù)分布f (x)0,其中 0， X的分布函數(shù)為則稱隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。F(x)I 0,x0。記住積分公式:xne xdx n!0正態(tài)分布設(shè)隨機變量f(x)其中X的密度函數(shù)為1 (x J1 e 2 2 .2 e、0為常數(shù),的正態(tài)分布或高斯(Gauss)則稱隨機變量X服從參數(shù)為2分布，記為X N(,)。f(X)具有如下性質(zhì):1f(x)的圖形是關(guān)

10、于X2X N( F(x).對稱的；1時，f () 為最大值;2)x，理 X2、2的分布函數(shù)為dtO 。參數(shù)1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為X N(0-1)1,其密度函數(shù)記為(x) . 2 e 2t22dt。分布函數(shù)為1 x(x)邊 e(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x) = 1-(x)且 (0)=丄。2 X 2如果 X N( , 2)，則N(0,1)。P(Xi X X2)X2為(6)分位 數(shù)下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)=。(7)函數(shù) 分布離散型已知X的分布列為XX1, X2, xn,P(X Xi) P1, P2, Pn,Y g(X)的分布列(yig(Xi

11、)互不相等)如下：Yg(X1), g(X2), g(Xn),若有某些g(Xif相等,p則應(yīng)將對,應(yīng)的?, Pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) 0 (i,j=1,2,);(2) Pij 1.i j連續(xù)型對于二維隨機向量(X,Y)，如果存在非負函數(shù)f (x, y)(x,y)，使對任意一個其鄰邊分別平仃于坐標軸的矩形區(qū)域D,即D-(X,Y)|axb,cy 0;(2)f (x, y)dxdy 1.(2)二維 隨機變量 的本質(zhì)(X x,Yy) (X x y y)(3)聯(lián)合設(shè)(X，Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)分布

12、函數(shù)F(x,y) PX x,Y y稱為二維隨機向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1，2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1)0 F(x, y) 1；(2)F( x,y)分別對x和y是非減的，即當(dāng)X2X1時，有F (X2,y ) F(X1,y);當(dāng) 護屮時，有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3)F( x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4)F(,)F( , y) F(x, )0

13、,F(,)1.(5)對于x1X2， y1y2，F(xiàn)(X2, y2)F(X2, yj F(X1，y2) F(X1，yj 0.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X x，Yy) P(x X x dx， y Y y dy) f(x， y)dxdy(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(X Xi)Pij(i,j 1,2,)；jY的邊緣分布為P?jP(Y yj)Pij(i, j 1,2,)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f (x, y)dx.(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj |X xj 丄；Pi?在已知

14、Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X xJY yj)丄，P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為 1 、 f(x,y)f(x|y)；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)常fx(X)(7)獨立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pij Pi?P?j有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布2 21x12(x1 )(y2)y21 2(1 2 ) 1 1 2 2f (x, y): e,21 2誦=0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,XmXm+1,X相互獨立，h,g

15、為連續(xù)函數(shù)，則： h (X1, X2,Xm) 和 g ( Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h (X)和g (Y)獨立。例如：若 X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。(9)二維設(shè)隨機向量(X, Y的分布密度函數(shù)為正態(tài)分布1e1 2 j122 21x 12 (x 1)(y2)y 2f(x, y)22(1 2) 1 1 2 2J其中1, 2,0， 2 0,11是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X，Y)N ( 1， 2, 1 ，；,)由邊緣密度的計算公式，可以推出二一維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN (1,12)，YN( 2,2).但是若XN (1，

16、12),YN(22 ) , (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，fz(z) = f (x, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12, 122 )。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。CTi ?i2c2 22 iiiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若 X1, X2 Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx (x), Fx (x)Fxn (x)，則 Z=max,min(X 1 ,X2,Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)Fx,(X)?Fx2(X)Fxn(x)Fmin (x)11F“

17、(x)?1 Fx2(x)1 Fxn(x)2分布設(shè)n個隨機變量Xi, X2, ,Xn相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n2WXii 1的分布密度為1 n 1 unu2 e 2 u 0,f(u) 22 n20,u 0.我們稱隨機變量 W服從自由度為n的2分布，記為W- 2(n),其中nn ix2 e dx.2 0所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi2(n J,則k2ZYi (nin2nk).i 1t分布設(shè)X, Y是兩個相互獨立的隨機變量，且2X N(0,1),Y (n),可以證明函數(shù)T產(chǎn)W / n的概率密度為n 1n 12

18、t2f(t)21 t(t)./nn*n一2我們稱隨機變量 T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。t1 (n) t (n)F分布設(shè)X 2(n 1), Y 2(門2)，且X與Y獨立，可 以證明X /nF 的概率密度函數(shù)為Y/rk“1 “2比叫匕2m 2 弓ni2f(y) y 1 y ，y 0 f(y丿n1n2 n2n22 20,y 0我們稱隨機變量F服從第一個自由度為 ni,第二個自由度為 n2的F分布，記為 Ff(n i, n 2).1Fi (n 1,n2)F (n2, nJ第四章 隨機變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型一維期望設(shè)X是離散型隨機變量，其分布設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密隨機期望

19、就是平均值度為f(x),變量律為 p( XXk ) = pk ,的數(shù)k=1,2,n ,E(X)xf(x)dx字特n征E(X)XkPkk 1(要求絕對收斂)(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y)g(x)f(x)dx方差2D(X)=EX-E(X),D(X)Xk E(X)2pkD(X)x E(X)2 f (x)dx標準差k(X) Jd(x),矩對于正整數(shù)k，稱隨機變量X對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的kk次幕的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點階原點矩，記為Vk,即矩，記為Vk,即V k=E(Xk)=Xikpi ,iv k=E(Xk)=x

20、k f (x)dx,k=1,2,k=1,2,對于正整數(shù)k，稱隨機變量X對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與與E (X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期E(X)差的k次幕的數(shù)學(xué)期望為 X望為X的k階中心矩，記為k ,的k階中心矩，記為k，即即k E(XE(X)kkk E(X E(X)k=(X E(X) f(x)dx,=(xiiE(X)kpi,k=1,2,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E (X) = ，方差D (X) =/,則對于任意正數(shù)&，有卜列切比雪夫不等式P(|X2)-T切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計P(|X.、- Z .、人rA 2) n 2(5)期望n二維 隨

21、機E(X)Xi pi?i 1E(X)xfx (x)dx變量n的數(shù) 字特E(Y)yjP?jj 1E(Y)yfY (y)dy征函數(shù)的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=i jG(Xi, yj)PjG(x,y) f(x, y)dxdy方差D(X)2XiE(X) Pi?iD(X)x E(X)2 fx (x)dxD(Y)Xj E(Y)2p?jjD(Y)y e(Y)2fY(y)dy協(xié)方差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或cov(X,Y)，即xyii E(X E(X)(YE(Y).與記號 xy相對應(yīng)，X與Y的方差D( X)與D( Y)也可分別記為xx與jYY

22、相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與丫，如果D(X)0, D(Y)0，則稱XYJd(x)Jd(y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作XY (有時可簡記為)。| 1,當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：P(X aY b) 1完全相關(guān)正相關(guān)，當(dāng)1時(a0)，負相關(guān)，當(dāng)1時(a 0),而當(dāng)0時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的： XY0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩對于隨機變量X與丫如果有E(X kYl )存在，則稱之為 X與Y的 k+l階混合原點矩，記為ki ; k+l階混合中心矩記為：k

23、lUkl E(X E(X) (Y E(Y).(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(ii )(7)獨立和不相關(guān)(i )若隨機變量X與Y相互獨立，則 xy 0 ;反之不真。若(X, Y)N (1，2，i2，:,),則X與Y相互獨立的充要條件是 X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理1.(1 )大數(shù)定律切比雪 夫大數(shù) 定律設(shè)隨機變量 X, X2,湘互獨立，均

24、具有有限方差，且被同一 常數(shù)C所界：D(X) C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù),有l(wèi)imnXi 1 n E(Xi)1 n i 11.特殊情形:則上式成為X,X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)=卩,lim PnXin i 11.伯努利 大數(shù)定 律設(shè)卩是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在 每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)有l(wèi)im Pn1.辛欽大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即n很大時，事件A發(fā)生lim Pn0.這就以嚴格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。設(shè)X1, %,-, Xn,是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E(% ) = ，則對于

25、任意的正數(shù)&有l(wèi)im Pn1 n1 Xin i 1（2）中心極限定列維設(shè)隨機變量Xi, X2,相互獨立，服從同一分布，且具有理林德伯相同的數(shù)學(xué)期望和方差：X2N(n格定理E(Xk),D(Xk)20(k1,2,），則隨機變量nXk nYk 1Yn麻的分布函數(shù)Fn（x）對任意的實數(shù)X,有l(wèi)im Fn (x) lim P -nnnXk n1廠x*n1xV2et2= dt.此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普設(shè)隨機變量 X n為具有參數(shù) n, p（0p1）的二項分布，則對于拉斯定任意實數(shù)X,有理.n X n np lim P 1X-x TT et2?dt.nJnp(1 p)(3)二項定理若

26、當(dāng)N時,一p（n,k不變），則Nq k q nkCm Cn Mk k z._nCn p (1Cnp)n k(N).超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理若當(dāng)n時，np0,則c k kn kCn p (1 p)ke k!(n).其中k=0, 1, 2，n，。 二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理 統(tǒng)計的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全 體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單兀稱為樣品（或個體）。樣本樣本函數(shù)和 統(tǒng)計量常見統(tǒng)計量 及其性質(zhì)樣本均值1 nXi.n i 1樣

27、本方差S2(XiX)2.樣本標準差(Xi x)2.1樣本k階原點矩Mkn1k |Xi ,kn i 11,2,樣本階中心矩Mkn(Xi1X)k,k2,3,E(X)，D(X)2E(S )E(S*2) n 12我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2, , xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下， 總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2, ,xn表示n個隨機變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，x1, x2, , xn表示n個具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。設(shè)Xi,

28、 X2 , Xn為總體的一個樣本，稱(Xi,X2, Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(Xi, X2 , ,Xn)為一個統(tǒng)計量。i2其中s*2n2(Xi X),為二階中心矩。i 1（2）正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè) Xi, X2,本函數(shù),Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣def Xu/ vn N(O,i).t分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣本函數(shù)def xs/n t(ni),其中t(n-i)表示自由度為 n-i的t分布。2分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,2）的一個樣本，則樣本函數(shù)def (n

29、i)SW222(n i),其中2（ni）表示自由度為n-i的2分布。F分布設(shè) Xi, X2 ,Xn為來自正態(tài)總體N(,i2）的一個樣本，而yi, y2, yn為來自正態(tài)總體N(,22 ）的一個樣本，則樣本函數(shù)F def si2 /i21 F(nin i),Is；/ 2其中S2 ini(X X)2S22i n2- 20ni”(XiX),i i i”(yiy)；壓i i iFg i, n2i）表示第自由度為nii，第二自由度為n2 i的F分布。（3）正態(tài) 總體下分X與S2獨立。布的性質(zhì)第七章參數(shù)估計(1)點 估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m，則其分布函數(shù)可以表成F(x; 1

30、, 2, , m).它的 k 階原點矩 Vk E(Xk)(k 1,2, , m)中也 包含了未知參數(shù)1,2, m，即Vk Vk( 1,2, m)。又設(shè)X1, X2, Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為1 nXik (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有1 nV1( 1 , 2 , , m) Xi ,n i 11 n/ 1 2V2( 1 ,2 , mJ Xi ,n i 11 nVm( 1 , 2 , , m)Xi .n i 1由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù)(1 , 2 ,

31、 m )的矩估計量。若 為 的矩估計，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計。極大似 然估計當(dāng)總體X為連續(xù)f(X； 1 ,2 , m)，其型隨機變量時，設(shè)其分布密度為未知參數(shù)。又設(shè)中1 ,2 , m 為Xi , X2 , ,Xn為總體的一個樣本，稱L( 1 , 2,m)nf (Xi；i 11 ,2,m )為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln當(dāng)總體X為離型隨機變量時,設(shè)其分布律為PX X p(x; 1,2,m ),則稱L(Xi,X2,Xn； 12,n m )i 1p(Xi;1 ,2 ,m)為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(x1,X2,Xn ；1, 2 , ,m)在 1,2,m處取到最大值，則稱 1

32、, 2,m分別為1, 2 ,Jm的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最人似然估計量。ln Ln0,i1,2,ii i,111右為的極大似然估計，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g( ?為 g()的極大似然估計。(2 )估 計量的無偏性設(shè)(XX?,Xn)為未知參數(shù)的估計量。若E()=，則稱評選標準為的無偏估計量。E ( X ) =E (X), E (S2) =D( X)有效性設(shè) 11(X1, X,2 , Xn)和 22(X1, X,；2 ,7 Xn)是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若 D(1 ) D( 2 )，則稱1比2有效。一致性設(shè)n是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(|nn |)0,則稱n為

33、的一致估計量(或相合估計量)。右為的無偏估計，且D( 30(n),則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一致估計量。(3)區(qū)置信區(qū)間估計間和置設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本x1,x,2 , ,xn出信度發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量11(X1,X,2 ,Xn)與22(X1, X,2 , Xn)( 12),使得區(qū)間1, 2以1(01)的概率包含這個待估參數(shù)即P 121那么稱區(qū)間1，2】為 的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)O總體的設(shè)X1, X,2 , , Xn為總體X N(,)的一個樣本，在置信度為 1期望和 O方差的下，我們來確定禾口的置信區(qū)間1,2。具體步驟如下：區(qū)間估(i )選擇樣本函數(shù)；計(ii )由置信度1，查表找分位數(shù)；(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間1,2已知方差，估計均值(i )選擇樣本函數(shù)uX N(01)r N(0,1). o/Jn(ii)查表找分位數(shù)PX 10川1-(iii)導(dǎo)出置信區(qū)間X0 0存,X石未知方差，估計均值（i ）選擇樣本函數(shù)xt t(n1).sKpn(ii)查表找分位數(shù)Px1 .Shfn（ii ）導(dǎo)出置信區(qū)間 s -xTn,xS