從高考卷看函數(shù)思維的培養(yǎng)

1、個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用1 / 6從咼考卷看函數(shù)思維的培養(yǎng)2014年浙江省高考文科數(shù)學(xué)卷的感想李悅（海鹽第二高級(jí)中學(xué)浙江海鹽 314300）隨著高中段教育的普及，普通高中的生源結(jié)構(gòu)發(fā)生了較大的變化，有不少學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法等方面存在問題，表現(xiàn)為記憶習(xí)慣差，又懶 得記，基本公式、定理掌握不牢固；性情浮躁，眼高手低，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力低下且 不愿意主動(dòng)改進(jìn)；初高中教材不對(duì)接，數(shù)學(xué)知識(shí)脫節(jié)的情況相當(dāng)嚴(yán)重，初中數(shù)學(xué) 新課程降低了因式分解、分式運(yùn)算、等式變形、解方程等教學(xué)要求，削減了二元 二次方程組解法、韋達(dá)定理、判別式、以及許多平面幾何的重要定理，而這些知 識(shí)又是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需的重

2、要基礎(chǔ).我們查看試卷發(fā)現(xiàn)2014年浙江文科試 卷中的第4、7、&9、10、12、15、17、19、21、22題，要么直接是函數(shù)題 目,要么是與函數(shù)可以發(fā)生聯(lián)系的題目， 題型涵蓋了選擇、填空和解答的各個(gè)題 型，難度包含了易、中、難3個(gè)級(jí)別因此，函數(shù)思維培養(yǎng)日益重要，函數(shù)意識(shí)和函數(shù)思想，是指用函數(shù)的觀點(diǎn)、概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問 題.當(dāng)學(xué)生忘記所有數(shù)學(xué)的時(shí)候，留在他們頭腦里的只有數(shù)學(xué)的思想， 所以高考 試題十分重視數(shù)學(xué)思想的考查，許多題目的分析和解答都蘊(yùn)含著重要的思想方 法因此，要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地站在思想的高度分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生具有數(shù)學(xué)的直覺、悟

3、性、眼光我將將結(jié)合2014高考試題，談?wù)労瘮?shù)意識(shí)和函數(shù)思想的培養(yǎng).1夯實(shí)基礎(chǔ)，重視基本函數(shù)的把握高中所學(xué)過的基本初等函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函 數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，要非常熟悉這些函數(shù)的性質(zhì)，主要的 性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值與最小值、零點(diǎn)與定點(diǎn)等，要熟悉這些個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用2 / 6函數(shù)的圖象及其圖象變換，能夠在題目中辨別或分離，進(jìn)而利用初等函數(shù)的相關(guān) 知識(shí)解決問題22014年文科15設(shè)函數(shù)f(x)=込2x, x，若f(f(a)=2，貝U實(shí)數(shù)a=x ,、分析：若 a _ 0，無解；若 a 0，解得a -_ 2。y=sin3x+cos

4、3x的圖象，可以將函數(shù)y=2cos3x的圖象D.向左平移三個(gè)單位12分析：利用二合一公式把函數(shù)合成 y =、2sin(3x )，再利用平移公式進(jìn)行平移。42014年文科8在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)=xa(x0),g(x)=logax的圖象可能是不符合題意；Cf(x)=xa(x 0)中 0：a：1g(x) =logaxa 1,中不符合題意;D f (x)二xa(x 0)中0 : a：1 g(x) =log ax中0 : a : 1符合題意；故選D這題主要考察幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的基本圖像問題，但學(xué)生極易出現(xiàn)錯(cuò)誤2主動(dòng)出擊，將含參結(jié)構(gòu)視為或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的意識(shí)和能力函數(shù)的本質(zhì)就是自變量與函數(shù)值的一種

5、對(duì)應(yīng)關(guān)系， 高中所學(xué)的函數(shù)多數(shù)為一x _02014年文科4為了得到函數(shù)A.向右平移4個(gè)單位B.向左平移7個(gè)單位C.向右平移衫個(gè)單位分析：A沒有幕函數(shù)的圖像；B f(x)二x個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用3 / 6種關(guān)系式.所以，哪里有字母，哪里就有函數(shù)；哪里有含參結(jié)構(gòu)，哪里就有函數(shù), 數(shù)的結(jié)構(gòu)中，選定合適的主變量，構(gòu)成一定的函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的手段和工 具解決問題.2014年文科第7題入口寬，解題途徑比較多考生解題的切入點(diǎn)不同，運(yùn)用的 思想方法不同，便形成了 “投入”與“產(chǎn)出”的差異，可以有效區(qū)分考生不同的思維 水平?？捎?jì)算可分析角度多樣，我們從構(gòu)造函數(shù)零點(diǎn)的角度分析：已知函數(shù)f(x)= x

6、3+ax2+bx+c，且0f(1)=f(2)=f(3)3，則A.c3B.3c6C.6c9分析：設(shè) f(_l) = f(_2) = f (-3) = k，則一元三次方程 f(x)-k=0 有三個(gè)根-1，-2，-3所以 f (x)-k =a(x - 1)(x - 2)(x 3)由于 f (x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)為1，所以a =1，所以 6：c =6 k 乞 9。2014年文科第9題構(gòu)造二次函數(shù)求最值設(shè)日為兩個(gè)非零向量a,b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t, b“a的最小值為1()A.若日確定，則|a唯一確定B.若日確定，則 b 唯一確定C.若a確定，則二唯一確定D.若 b 確定， 則二唯一確定分析：依題意，

7、對(duì)任意t， b ta - 1 恒成立，所以(ta)2b22t a b co - 1 恒成立，若0為定值，則當(dāng) b 為定值時(shí)，構(gòu)造的二次函數(shù)才有最值。2014年文科第10題構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性，考查分段函數(shù)，最值及恒成 立問題如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練。已知點(diǎn)A到墻面的距要讓學(xué)生切實(shí)理解函數(shù)的本質(zhì)概念，突破字母X、y的思維定勢(shì)限制，在含有參個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用4 / 6離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn) 目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角曲勺大小(仰角功直線AP與平面ABC所成角)。若AB=15m,AC=25m, ZB

8、CM=30。，則tan曲勺最大值是個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用5 / 6(ff 17 S分析：由勾股定理知，BC=20,過點(diǎn) P 作 PQ_BC 交 BC 于 Q,連接 AQ,PQ則 tan，設(shè) BQ 二 m，貝 U, CP =20-m 因?yàn)?BCM -30:,AQ羅(20-m)所以tan -J225 + m2故 tanr 的最大值是433=4933強(qiáng)化重點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)三次函數(shù)的研究將導(dǎo)數(shù)知識(shí)引進(jìn)高中后，以“導(dǎo)數(shù)”為工具研究函數(shù)的性質(zhì)成為可能作為多項(xiàng) 式函數(shù)的代表，三次函數(shù)f(xax3bx2cx d(0)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)非常 重要的函數(shù)，而利用導(dǎo)數(shù)研究它的圖象和性質(zhì)也是體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的代表.近

9、幾年來的浙江高考，多次以三次函數(shù)為背景進(jìn)行命題，有創(chuàng)新性小題，有綜合性大題,能 力立意要求極為明顯.2014年高考文科第21題考查三次函數(shù)的單調(diào)性、最值等 基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查學(xué)生的推理論證能力，分類討論等綜合解題的能力和創(chuàng)新意 識(shí)。要讓學(xué)生(1)使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，能正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能正確規(guī)范解決不含參數(shù)的所有三次函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)等基本問題；(2)通過舉例畫圖讓學(xué)生理解：“導(dǎo)數(shù)值等于零”僅僅是“函數(shù)取得極值”的必要條件，而不是充分條件.可以舉函數(shù)y =x2在x=0處作為充分性成立的例子，函20 - m3v225m2所以當(dāng) z 時(shí)取最大值 15H，個(gè)人資料整理，僅供個(gè)

10、人學(xué)習(xí)使用6 / 6數(shù)y =x3在x =0處作為充分性不成立的例子；(3)研究一些特殊的三次函數(shù)，能快速推出相應(yīng)結(jié)論，并能將結(jié)論推廣為一般情況，這個(gè)研究過程和取得的成果對(duì)解題大有幫助2014年文科第21題已知函數(shù)f (x) = x3 3x -a(a 0)。 若 f(x)在L 1,11上的最 小值記為 g(a)。(1) 求 g(a)；(2) 證明：當(dāng)x 1-1,1時(shí)，恒有 f(x) Eg(a) 4。分析：(1)因?yàn)?a 0， -1 _ x _1，所以i當(dāng) 0：a 時(shí)，若x !-1,a 1，則f (x) = x3-3x 3a, f (x) = 3x2-3：0故 f(x)在-1, a上是減函數(shù)；若x

11、a,1丨，則f (x) = x33x - 3a, f (x)二3x23 0故 f (x)在a,1上是增函數(shù)。所以g(a) = f (a) =a3ii當(dāng) a -1 時(shí)，有 x 乞 a，則f (x) = x33x 3a, f (x) = 3x2 3：0，故 f (x)在-1,1上是減函數(shù)，所以 g(a) = f (1) - -2 3aa3,0：a：1-2 3a,a -1(2)令 h(x)二 f (x) -g(a)，i當(dāng) 0：a : 1 時(shí)g(a) = f (a) =a3，若x：= a,1】，h(x) = x33x - 3a - a3，得h(x)=3x23，則 h(x)在a,1上是增函數(shù)，所以 h(x)在x a,1上的最大值是h(1) =4 3a a3，且 0：a 1，所以 h豈 4。故 f(x)豈 g(a) 4 ；若T, a，h(x) = x3-3x 3a - a3，得h (x) = 3x2_ 3，則 h(x)在-1,a上是減函數(shù)，所以 h(x)在 1-1,a上的最大值是h(-1)=2 3a-a3。令t(a) =2，3a - a3，則t (a) =3-3a2知 t(a)在0,1上是增函數(shù)。所以 t(a)：t(1)=4，即 h(-1)：4。故 f (x) - g(a) 4綜上,個(gè)人資料整理，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用7 / 6ii當(dāng) a _1 時(shí)，g(a) = f (1) -