矩陣的初等變換與應(yīng)用

1、矩陣的初等變換與應(yīng)用09金融2班 王啟會 2009241078 一、矩陣概念線性方程組 系數(shù)的解取決于 系 數(shù) 常數(shù)項線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為這就是矩陣。矩陣的定義 由m×n個數(shù) 排成的m行n列的數(shù)表 稱為m行n列的矩陣，簡稱m×n矩陣。記作這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)稱為矩陣A的（i,j）元。以數(shù) 為（i,j）元的矩陣可記作 或 ，m×n矩陣A也記作元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩稱為復(fù)矩陣。行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣 A 也記作只有一行的矩陣 稱為行矩陣，又稱行向量。只有一列的矩陣

2、稱為列矩陣，又稱列向量。注意：1.矩陣是數(shù)表，行列式是由其元素經(jīng)適當(dāng)定義一種運(yùn)算而得到的數(shù)。2.矩陣中行數(shù)與列數(shù)可以相等，也可以不相等。而行列式中的行數(shù)與列數(shù)必須相等。兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時，就稱它們?yōu)橥途仃?。如?與 是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等。記作A=B。元素都是零的元素稱為零矩陣，記作0。二、矩陣的初等變換的定義1.定義矩陣的初等變換：下面的三種變換稱為矩陣的初等變換(1 ；.（換行或換列）(2 ；（數(shù)）（倍行或倍列）(3 ；.（倍行加或倍列加）2.矩陣與等價：經(jīng)過有限次的初等變換變成. 記作.（1）等價的性質(zhì)：反身性 ；對稱性 若，則；

3、傳遞性 若，則.（2）任何矩陣都等價于一個標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,即即存在有限個初等矩陣, 使.且矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形惟一確定.（3）行階梯矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全是零；每個臺階只有一行，臺階數(shù)為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元.例如上述兩矩陣均為行階梯矩陣.（4）行最簡形矩陣：非零行的非零首元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣.為行最簡形矩陣.例1 求所給矩陣A的行階梯矩陣、行最簡形矩陣以及等價標(biāo)準(zhǔn)型矩陣. （行階梯矩陣）.（行最簡形矩陣） （等價標(biāo)準(zhǔn)型矩陣）3.初等矩陣的概念（1）定義初等矩陣：由單位矩陣只經(jīng)過

4、一次初等變換得到的方陣.或 均對應(yīng)初等方陣:或 均對應(yīng)初等矩陣:或 均對應(yīng)初等矩陣:（2）初等矩陣行列式的性質(zhì) .重要結(jié)論：初等矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣仍然是初等矩陣.(3初等矩陣的逆矩陣; , ;.(4初等矩陣的轉(zhuǎn)置也是初等矩陣.; , ;.4.矩陣初等變換的重要性質(zhì)【性質(zhì)1】 設(shè)A是一個的矩陣，對A實施一次初等行(列變換，相當(dāng)于在A的左邊(右邊乘以相應(yīng)的階（階）初等矩陣. 【性質(zhì)2】 方陣可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣，使得，即.【定理】設(shè)與為矩陣，則存在階可逆矩陣,使.存在階可逆矩陣,使.分別存在、階可逆矩陣、,使.5.用初等變換求逆矩陣或解矩陣方程的方法若可逆,則也可逆,于是存在初

5、等矩陣,使，又 即，所以, 用分塊矩陣運(yùn)算表示為 .用初等變換求解矩陣方程，求解線性方程組(1解矩陣方程，其中可逆，則即 .(2解線性方程組，其中可逆.則，即 .(3解矩陣方程，其中可逆，則即 .【定理6】 矩陣方程 有解的充要條件是 .例2設(shè)，求線性方程組 的解.解 設(shè).因為，所以可逆，且，即線性方程組都有惟一解，且解依次為.3.矩陣的秩（1）定義矩陣的階子式：在矩陣中，任取行與列，位于這些行列相交處的個元素，按原相對位置構(gòu)成的階行列式.（）.的階子式共有個.例3 矩陣的階子式：(1 1階子式如：,共有個.(2 2階子式如：,共有個.(3 3階子式如：,共有個.(4 （2）定義矩陣的秩設(shè)矩陣

6、中有一個非零的階子式,而且所有階子式(如果存在的話值全為，則稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩,記作,即.注：零矩陣的秩規(guī)定為.的最高階非零子式稱為矩陣的秩子式.例4 顯然矩陣的秩為；.(3矩陣秩的性質(zhì).（結(jié)論顯然成立） 若可逆,則（也稱非奇異矩陣或滿秩矩陣）.此時.若不可逆,，即方陣是降秩矩陣（也稱為奇異矩陣）.此時有(注意：降秩與滿秩矩陣都是對方陣而言的.初等變換不改變矩陣的秩,即，其中 為初等矩陣.若均可逆,則.若,則.若,則.結(jié)論：將一個矩陣左乘一個列滿秩矩陣時，其秩不變.將一個矩陣右乘一個行滿秩矩陣時，其秩不變.矩陣的初等行變換不改變秩子式的列位置；矩陣的初等列變換不改變秩子式

7、的行位置.二、例題1、解方程 .解 因為，且，故方程的解為 .2、設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（ ）（）. （）. （） （）. 【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而 ，則有.故應(yīng)選（）.3、設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣， ，其中的逆矩陣為B，則a=_.【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進(jìn)行計算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有=,于是有 ，即 ，解得 由于.4、設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有( .(A 或. (B 或.(C ab且. (D ab且. 【分析】 的伴隨矩陣的秩為1, 說明的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】 根據(jù)與其伴隨矩陣*秩之間的關(guān)系知，故有，即有或.當(dāng)時，顯然, 故必