空間向量專題

1、第1頁共8頁 專題空間向量及其應(yīng)用 1. 空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。 說明：由相等向量的槪念可知，一個向量在空間平移到任何位宜，仍與原來的向量相等，用同向且 等長的有向線段表示：平而向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。 2. 向量運算和運算率 OB = OA + AB = a+ b BA = OA-OB =a-b OP = Aa（AeR） 加法交換率：a+b =b + a 加法結(jié)合率：

2、 +方）+ E = N + + C. 數(shù)乘分配率：A（a+b） = Aa + Ab 共線向量左理：對空間任意兩個向量&b, a/b的充要條件是存在實數(shù)兄使b=Aa 注：上述定理包含兩個方而：性質(zhì)定理：若a/b （&丸），則有b =Aa,英中兄是唯一確定的 實數(shù)。判斷泄理：若存在唯一實數(shù)幾，使b=Aa （NR）,則有a/b （若用此結(jié)論判斷萬、亦所在直 線平行，還需 N （或萬）上有一點不在萬（或7）上）。 對于確泄的2和a.b=Aa表示空間與萬平行或共線，長度為 以 N，當(dāng)久0時與&同向，當(dāng)20 時與 N 反向的所有向量。 若直線l/a, Ae/, P為/上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述

3、定理來推導(dǎo)麗的表達(dá)式。 推論：如果/為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量 N 的直線，那么對任一點O,點P在直線/上的 充要條件是存在實數(shù)f,滿足等式 OP =OA +ta 其中向量萬叫做直線I的方向向量匚 在/上取AB = a,則式可化為 當(dāng)心丄時，點P是線段AB的中點，則 2 4. 向量與平而平行： 如果表示向量廳的有向線段所在直線與平面Q平行或 N 在Q平而內(nèi)，我們就說 向量萬平行于平面Q,記作a/a. 共而向量：我們把平行于同一平而的向量叫做共而向雖:。 共而向量泄理 如果兩個向量萬、5不共線，則向量與向量萬./共而的充要條件是存在實數(shù)對八 y,使 p = xci + yb. OP =

4、(-t)OA + tOB. 方=丄(OAOB). 2 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式, 是線段AB的中點公式。 第2頁共8頁 推論：空間一點P位于平而MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對八y,使 l = xMA+yMB. 或?qū)臻g任一左點0,有衍=OM+xMA+yMB. 在平而MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的實數(shù)對（兀y）是唯一的。式叫做平而MAB的向量表示式。 又 V MA = OA- OMv MB = OB- OM.RA,整理得 OP = (l-x-y)OM + xOA + yOB. 由于對于空間任意一點P,只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就 在平而MAB內(nèi)；對于空 MAB內(nèi)的任意

5、一點P,都滿足等式.、，所以等式、都是由不 共線的兩個向量顧、MB （或不共線三點M、A、B）確泄的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、 P四點共而的充要條件。 5. 空間向量基本左理：如果三個向量云、5、乙不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序 實數(shù)組 x, y, z,使 p = xa + yb + zc. 說明：由上述左理知，如果三個向量b . E不共而，那么所有空間向量所組成的集合就是 I /? = xci + yb + zc, Xx y、ZE/C,這個集合可看作由向量刁、b、云生成的，所以我們把&, b , c 叫做空間的一個基底，a, b, 3都叫做基向量：空間任意三個不

6、共而向量都可以作為空間向量的一個 基底：一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念： 由于6可視為勺任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共而，所以，三個向雖不共而就隱含著它們都 不是 推論：設(shè) 6 乩B、C是不共而的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組X、八乙使 OP = xOA + yOB + zOC. 6. 數(shù)量積 （1）夾角：已知兩個非零向量萬、J 在空間任取一點0,作OA=a . OB =b ,則角ZA0B叫 做向量萬與石的夾角.記作乳b） 說明:（1）規(guī)定owe hs,因而a a）; 如果5=彳，則稱了與方互相垂直，記作 N 丄 在表

7、示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、 第3頁共8頁 (4)中的兩個向量的夾角不同, 圖(3)中ZAOB=OA,OB), 圖(4)中ZAOB=TT - (AO.OB) 9 從而有 -04,08) =5&亦=兀 一 04,08. (2) 向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。 (3) 向量的數(shù)量積：問円COSN5叫做向量&、方的數(shù)疑積，記作昉。 即萬/?二問網(wǎng)COS(N5, 向量而在0方向上的止射影: a-eABcos(a = A,B, (4)性質(zhì)與運算率 (Da e = cos(i,e)。 (1)(脳)石=Aci b) (2) 丄5 a b=0 (2)a b

8、=b a (3)l l2=tt- (3)&(b +c)-a b + &6 四.典例解析 例1.有以下命題：如果向量方/與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么方上的關(guān)系是不 共線；O,q,B,C為空間四點，且向0A,0B.0C不構(gòu)成空間的一個基底，那么點O,A,5C泄共而; 已知向是空間的一個基底，則向a + b,a-b,c，也是空間的一個基底。其中正確的命題是 ( ) (A) (B) (C) (D) 例2.下列命題正確的是( (4) 若方與乙共線，乙與：共線, (B) 向 a；b；c共面就是它們所在的直線共而; (C) 零向量沒有確立的方向; (D) a/b.則存在唯一的實數(shù)；I使得a =

9、 Xbx 答案1C 2C 題型2：空間向疑的基本運算 例3.如圖：在平行六而體ABCD-AC中，M為兒貯與色卩的交點。若AB = a, AD = b , M =c,則下列向量中與麗相等的向量是() 1 - 1工 - 1_ If 一 A)-ci + -b+c (B)-a + -b+c第4頁共8頁 (C)_*_” + W (D)*_y + c 解析：顯然麗？=麗+麗7 = *(而一喬)+頑=一廳+ *b+o； 例4.已知：刁=3帀一2亓一 4尸H 0 = (x+ 1)歷+ 8亓+ 2y幾且祈，亓,p不共而若a / b，求如y的 值. 解:-a/b99 且工 0,辦=無7,即(x +1)帀 + 8斤

10、 + 2yp = 3AJH 一 2An 一 4帀. 又 v in,n,p 不共面，丄 J = = ,X = -13, y = 8. 3 2 4 答案 3A 4X=-13 Y=8 題型3：空間向量的坐標(biāo) 例5(1)已知兩個非零向(au如as), b= (bu b2, b3),它們平行的充要條件是( ) B.ai bi=a2 b2=a3 b3 D.存在非零實數(shù)k,使a=kb b = (2, y, 2),若la 1=6, a 丄方，則 x+y 的值是( A. 一3 或 1 B.3 或一 1 C. -3 D.l (3)下列各組向量共而的是( ) A =(1, 2, 3), b =(3, 0, 2),

11、c=(4, 2, 5) B. 6/ =(1, 0, 0). b =(0, 1, 0). c =(0, 0, 1) C. 么=(1, 1, 0), b =(1, 0, 1), c=(0, 1, 1) D =(1, 1, 1), /? =( L L 0), c =(1 0, 1) * # 例 6已知空間三點 A (2, 0, 2), B (-1, 1, 2), C (-3, 0, 4)。設(shè)二AB, b=AC 9 (1)求么和 不的夾角比(2)若向ka+b與k：-2：互相垂直，求k的值. 5解析:(1) D由共線向量左線易知; 6 解：VA(-2, 0, 2), B (一 1, 1, 2), C(3

12、, 0, 4), a=AB, b=AC .d=(l, 1, 0), h = ( 1, 0, 2). _ - T + 0 + 0 Vio (1 )COS & = 7=邁 X ys = 10 , a b Vio 和&的夾角為一 1。A. a : a =b : b I C.aibi+a2b2+a3b3= (2)已知向(2, 4, x), (2) (3) 4+16+X2 =36 x = 4. 4 + 4y + 2x = 0 = 卜=-3或 A由共而向量基本左理可得。 A由題知 第5頁共8頁 (2)Vk6/+/?=k (1, 1, 0) + (一 1, 0, 2) = (k-1, k, 2), ka 2

13、b = (k+2, k, 4),且(ka+方)丄(ka 2b ), (k-1, k, 2)(k+2, k, -4) =(k-1 )(k+2)+k2-8=2k2+k-10=03 5 則 k= 2 或 k=2o 題型4：數(shù)量積 例7. (2000江西、山西、天津理，4)設(shè)：、b. c是任意的非零平面向量,且相互不共線，則 ( a /?) c (cet7)=6 a b a h I (方c)“一(cd)：不與 c 垂直 (3a+2b ) (3a -2b ) =9a2-4b2 中，是真命題的有( ) A. B. C. D. 例8. (1)( 2002上海文，理2)已知向量方和b的夾角為120，且G 1=

14、2,1& 1=5,則(2H : = _ . 7T (2)設(shè)空間兩個不同的單位向量：=(xi,屮，0), b=(X2, y2, 0)與向Mc=(l, 1, 1)的夾角都等于了。 (1)求xi+yi和xiyi的值：(2)求 V 的大小(其中0 所以垂直故 假： (3a+2b ) (3a-2b ) =9 方 a-4b 5 =91：|24必卩成立故真. 8 解析：(1)答案:13：解析： (2a-b ) a=2a2-b a=2la l2-la I I cos!20 =24一25 (-) =13. (2)解：(l)Vlal=l 1=1, 2 it n V2 _ V6 XV a 與c 的夾角為 4 , .

15、I a c=la IIc Icos 4=2 H +1，+1 = 2 . V6 f , 丈：a c=xi+yu /.X+yi= 2 76 1 1 另外 xi +y* =(Xj+yi)2-2xiyi=h A2xiyi=( 2 )21=2 . Axyi=4。 -* r V6 1 y/6 1 2121 +y+y 2 22 2 =y=y 第6頁共8頁 f (l u - - (2)cosv“，b= _ =xiX2+yiy2 由(1)知，xi+y】=2 , xiyj=4 .x】，yi 是方x2 2 x+4 =0 I d 11 b I 的解.第7頁共8頁 n VOn, :.= 3 題型5:空間向疑的應(yīng)用 例

16、9. (1)已知 a、b、c 為正數(shù)，且 a+b+c=l,求證：J13a + 1 + J1M + 1 + J13c + 1 W4巧。 (2)已知Fi=i+2j+3k, F2=-2i+3J-k, F3=3i-4j+5k,若Fi, F2, F3共同作用于同一物體上， 使物體從 點Mi (1, -2, 1)移到點M2(3, 1, 2),求物體合力做的功。 (2)解：W=Ff=(F+F2+F3)M】M2 =14。 例10.如圖，直三棱柱ABC-A/C中，BC丄的,BC丄 C,求證:AB = AXC. 9 解析：(1)設(shè)萬=(皿 + 1 , 伽 + 1 , J13c + 1), /5=(1, 1, 1)

17、, 貝 11加1=4,11=石. / m n I I” b /. m n = Jl 力 + 1 + 713/2 + 1 + Jl3c + l wi加 |.|n 1=4 2 當(dāng) J1M + 1 = J1M + 1 = J13e + 1 時,gp a=b=c= 3 時，取“=”號。 io 證明：.c = q+qc, Bq =BC+c,c-Bq +CC)(BC+CC)= C BC-q? =o, C,C2 = AlC) BC. 同理屈=殛+麗，苑=麗+瓦乙， AB, BC、=AB BC+CC = 6(-.- BE、= CCAB-BC+ ACX BC = O, 又= AC, .BC(AB+AC) = O

18、. 設(shè) 為 BC 中點，則 AB + AC = 2AD. :. 2BC AD = 6,/. BC 丄 AD, :.AB = AC,又 A = AC = ABr“ = /.cos= 4 4 + 4 4 =4+4 = 2 . 兒= 或 /6 2 4 4U 4 V6 + V2 4 4- 2 *6 */2 y/b 4- V2 V2 111 - , , I , V6 + V2 r2= ,二屁運 同理可得卜2 一 廠 6 2 4 、示+邁 第8頁共8頁 所以異而直線AE. 3F所成的角為arccos 解法二：（空間坐標(biāo)向量法） 在長方體ABCD-AD.中， 以AB所在直線為x軸，AD所在直線為 ，軸, 人兒所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 由已知 AB = 2, AA = 1,可得 A（0,0,0）, 3（2,0,0）, F（l,0,l）. 又AQ丄平而AABB ,從而BD與平而AAB所成的角即為 ,4 = 1,人）=亠 3例2.（來自2005高考山東卷）如圖，已知長方體 ABCD-AQD, , AB = 2,A4=1,直線 B 與平而 AAQB 所成的角為30 , AE垂直BD于為珂坊的中點. （I） 求異面宜線AE與3F所成的角： （II） 求平