2013屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第07章平面向量Word版

1、第七章 平面向量第一單元 平面向量的基本概念與基本定理【考綱要求】1 平面向量的概念是B級要求；2理解平面向量的實際背景及基本概念，通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示【知識回顧】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用，來表示；用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模（長度），記作|，向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向

2、量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量1。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。【方法回顧】例1給出下列命題

3、：若|，則=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號是 。例2如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。例3設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=46.平面向量的概念【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1下列正確命題的序號為 兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同； 若四邊形ABCD是平行四邊形，則=； 若，則； 若與是共線向量，則四點共線； 2. 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡：= = = 3. 給出下列3個向量等式

4、，其中正確的個數(shù)為 個.（1） （2） （3）4. 若向量、滿足條件，則的最大值是 ；最小值是 5. 設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kÎR)，若，試求的值【例題分析】例1. 如圖：已知在平行四邊形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，設(shè)=，=，試用、分別表示、例2.下列四個命題，其中正確的個數(shù)有 個.對于實數(shù)m和向量對于實數(shù)m, n 和向量若若例3. 在ABC中，求證：【拓展提升】例4. 等腰RtABC中，C=90°，M為AB的中點，設(shè)，試用、表示、例5.一架飛機(jī)從地按北偏西300的方向飛行300km后到達(dá)地，然后向地飛行已知地在地北偏東600的方向處，且兩地相

5、距300km，求飛機(jī)從地向地飛行的方向及兩地的距離（要求畫出向量圖形）47.平面向量的基本定理【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知=（3，），=（，1），則= + 2平面向量中，已知，為單位向量，且，則 BCADE3已知向量不共線，要使能成為平面內(nèi)所有向量的基底，則實數(shù)的取值范圍是_4如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，其中， ，若，則 ， 5三定點；兩動點D、E滿足，則動直線DE斜率的變化范圍為_ 【例題分析】例1平面內(nèi)給定三個向量=（3，2），=（，2），=（4，1）（1）若(+k)(2)，求實數(shù)k；（2）設(shè)=滿足()(+)且|=1，求例2設(shè)過的重心的直線與、分別交于P，Q兩點，設(shè)，求證：例3已知向量

6、的對應(yīng)關(guān)系用表示（1）設(shè)，求向量的坐標(biāo)；（2）若為常數(shù)），求向量的坐標(biāo)；（3）證明：對任意向量及常數(shù)m、n，恒有成立【拓展提升】例4.在的邊上分別取點使,設(shè)線段和分別交于點記用表示向量.第二單元 平面向量的運算【考綱要求】1.向量的線性運算：通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示：了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算； 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件3. 平面向量的數(shù)量積

7、：通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。4向量的應(yīng)用：經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力?！局R回顧】向量的線性運算（1）向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法規(guī)定：；向量加法滿足交換律與結(jié)合律（2）向量的減法：相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，記作,

8、零向量的相反向量仍是零向量。向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。（3）實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作；數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律2兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。3平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使。其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底4平面向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理

9、知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對是一一對應(yīng)的，因此把叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫作在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。（2）平面向量的坐標(biāo)運算：若，則；若，則；若，則；若，則。5.向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角：已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角。說明：當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，與垂直，記；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍。（2）數(shù)量積的概念：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=cos叫做與的數(shù)量積。規(guī)定；

10、（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的模與平方的關(guān)系：；乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：；對實數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算：已知兩個向量，則·=垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作兩個非零向量垂直的充要條件：·O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè)，則或。如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式) 【方法回顧】例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。例2.已知中，,邊上

11、的高為，求。例3已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,記。（1） 求關(guān)于的表達(dá)式;（2） 求的值域。48.平面向量的線性運算【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1對于非零向量“”是“”的 條件2若O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足=+，則P點軌跡一定通過ABC的 心 3設(shè)D、P為ABC所在平面上兩點，且滿足，則PAD與ABC的面積比為 4已知等差數(shù)列的 的前項和為，若平面上的三個不共線的向量，滿足，且三點共線，則= 【例題分析】例1化簡下列各式（1）= ；（2）= ；（3）若，則= 例2設(shè)兩個向量、不是共線向量（1） 如果=+，=2+8，=3()，求證：A、B、D三點共線；（2）試

12、確定實數(shù)的值，使+和+是兩個共線向量例3如圖,OMAB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運動,且,的取值范圍是 ；當(dāng)時,的取值范圍是 . AOMPB【拓展提升】例4.在直角坐標(biāo)平面中，已知點其中是正整數(shù)，對平面上任一點,記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點.(1) 求向量的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點在曲線上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是周期為3的周期函數(shù)，且當(dāng)時，求以曲線為圖象的函數(shù)在上的解析式；(3) 對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo). 49.平面向量的數(shù)量積【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1下列命題中正確的是 設(shè)向量，不共線，若，則； ； ，則； 若，則2（1）設(shè)向

13、量的夾角為，|=3，|=，則|= ； （2）已知|=1，=（3，4），則|的取值范圍是 3已知、都是非零向量，且+3與7垂直，與7垂直，則 與的夾角為 OAMNBCD4已知=(，1)，=(，)，（），若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_ 5如圖，是半圓的直徑，是弧三等分點，是線段AB的三等分點，若，則的值是 【例題分析】例1已知=（1，2），=（，n）（n>0）， 與的夾角為45º（1）求及|；（2）若與同向，且與垂直，求例2已知ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，且3+ 4+5=（1）求·，·，·；（2）求ABC的面積；（3）求的大小例3如圖，在

14、等邊ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問CBA的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值【拓展提升】圖4例4.(2009廣東江門模擬）已知點和單位圓上半部分上的動點若，求向量；求的最大值50.平面向量的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的 2已知O為坐標(biāo)原點, 集合且 3已知= ( 2，0)， = ( 2，2 )，=，則與的夾角取值范圍為 4設(shè)中，且，則的形狀為 5給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動,若其中，則的最大是 【例題分析】例1已知向量= (cos，sin)，= (cos，s

15、in)，且x0， （1）求·及|； （2）若f(x)= ·2|的最小值是，求的值例2已知=(，)，=，實數(shù)和使得=+()，+滿足，若對恒成立，試求m的最大值例3已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點，圓是的外接圓，過點（2，6）的直線被圓所截得的弦長為（1）求圓的方程及直線的方程；（2）設(shè)圓的方程，過圓上任意一點作圓的兩條切線，切點為，求的最大值【拓展提升】例4.已知向量，設(shè)函數(shù).()求函數(shù)的最大值；()在銳角三角形中，角、的對邊分別為、， 且的面積為，,求的值.51.本章回顧【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知，若，則和的夾角的大小為 2已知平面向量若，則 3設(shè)非零向量、滿足，則 4已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為 5已知平面上的向量、滿足,，設(shè)向量，則的最小值是 6設(shè)是橢圓上任意一點，和分別是橢圓的左頂點和右焦點，則的