轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法

1、實(shí)驗(yàn)三剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度。它與剛體的質(zhì)量、形狀大小和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。形狀簡(jiǎn)單的剛體，可以通過數(shù)學(xué)計(jì)算求得其繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；而形狀復(fù)雜的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量，則大都采用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。下面介紹一種用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、理解并掌握根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法；2、熟悉電子毫秒計(jì)的使用。實(shí)驗(yàn)儀器：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀、通用電腦式毫秒計(jì)。儀器描述：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀如圖一，轉(zhuǎn)動(dòng)體系由十字型承物臺(tái)、繞線塔輪、遮光細(xì)棒等（含 小滑輪）組成。遮光棒隨體系轉(zhuǎn)動(dòng)，依次通過光電門，每n弧度（半圈）遮光電門一次的光 以計(jì)數(shù)、計(jì)時(shí)。塔輪上有五個(gè)不同半徑（

2、r ）的繞線輪。砝碼鉤上可以放置不同數(shù)量的砝碼, 以獲得不同的外力矩。L承物臺(tái)2.遮光細(xì)棒3.繞線塔輪4.光電門5,滑輪6磁碼圖一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣屋實(shí)驗(yàn)儀圖二承物臺(tái)俯視圖實(shí)驗(yàn)原理:空實(shí)驗(yàn)臺(tái)（僅有承物臺(tái)）對(duì)于中垂軸OO 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用Jo表示，加上試樣（被測(cè)物體)后的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用 J表示，則試樣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J1J 1 = J - Jo(1)由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知：T r - Mr = J(2)其中M為摩擦力矩。而 T = m(g -r )(3)其中 m砝碼質(zhì)量g重力加速度角加速度 T 張力1. 測(cè)量承物臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jo未加試件，未加外力(m=0 , T=0 )令其轉(zhuǎn)動(dòng)后，在 M的作用下，體系將作勻減速轉(zhuǎn)

3、動(dòng)，=1,有-Mr1 = Jo 1(4)加外力后，令=2m(g - r 2)r - M = J o 2(5)(4) ( 5)式聯(lián)立得2 mrJo= mgr2 1測(cè)出1 ,2,由(6 )式即可得Jo2. 測(cè)量承物臺(tái)放上試樣后的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-Mr2=J 3m(g r 4)r Mr2= J 4J，原理與1.相似。加試樣后，有(8)mr24343(9)注意：1 ,3值實(shí)為負(fù)，因此(6)、(9)式中的分母實(shí)為相加。3. 測(cè)量的原理設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系的初角速度為3o, t = 0時(shí)9 = 0(10)9 =3。t +1 t22測(cè)得與91 ,9 2:相應(yīng)的時(shí)間t1 , t 2由9 1=3 o t 11 2+111(11

4、)1 29 2：=3 o t 2+t22 2(12)得2( 2b,2,朮2)(13)上2屯t1 t2t = 0時(shí)，計(jì)時(shí)次數(shù)k=1 (9 =辺時(shí)，k = 2 )2 (k21兒(ki 1)t22 2t2tl 也(14)k的取值不局限于固定的ki , k 2兩個(gè)，一般取k =1 , 2,3 ,30,實(shí)驗(yàn)方法:本實(shí)驗(yàn)采用HMS-2型“通用電腦式毫秒計(jì)”來測(cè)量k及其相應(yīng)的t值，毫秒計(jì)的使用 方法見本實(shí)驗(yàn)附錄。先完成砝碼的掛接和繞線，然后復(fù)位毫秒計(jì)，放開砝碼。砝碼在重力作用下帶動(dòng)體系 加速轉(zhuǎn)動(dòng)?！昂撩胗?jì)”將自動(dòng)記下 k及其相應(yīng)的t值。由式（14）即得2。待砝碼掛線自動(dòng)脫離后，即可接著測(cè)i。所以，實(shí)驗(yàn)一次即

5、可完成對(duì)體系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的測(cè)量。此時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：、從測(cè)a 2到測(cè)a i的計(jì)時(shí)分界處要記清， 處理數(shù)據(jù)時(shí)不能混雜； 、 測(cè)a i的開始時(shí)間雖然可以選為較遠(yuǎn)地離開分界處，但以后的每個(gè)時(shí)間的數(shù)據(jù)都必須減去開始的時(shí)間數(shù)值。3 ,4的測(cè)量方法與i ,2相同。實(shí)驗(yàn)步驟：1、 按（圖一）安裝調(diào)試好儀器，細(xì)線的一端連結(jié)鉤掛砝碼6,另一端打一適當(dāng)大小的結(jié)塞入塔輪3的縫中，繞線于塔輪時(shí)應(yīng)單層逐次排列。線的長(zhǎng)度應(yīng)使砝碼觸地前一點(diǎn)點(diǎn)脫離塔輪。選取塔輪半徑 r = 2.5 x i0-2m，砝碼質(zhì)量 m= 6.0 x i0-2 kgk'當(dāng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)離地面高度為 h時(shí)，有h =2 r，式中k，為每半圈記一次時(shí)間的數(shù)目，

6、k'=2k - 1 .通過該式適當(dāng)選取 h,使k' < 10為加速；k' >10為減速。一般選 k' > 13進(jìn)行 計(jì)算。2、測(cè)量承物臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J0 o參閱實(shí)驗(yàn)方法中的說明及后面附錄“ HMS-2型通用電腦式毫秒計(jì)”使用說明。記 錄每一 K值對(duì)應(yīng)時(shí)間t于下表。kt(s)kt(s)kt(s)1011212122231323414245152561626717278182891929102030選取不同的ki , k2及對(duì)應(yīng)的t i ,t 2值代入（14）即可求得a i和a 2,將a i、a 2再代 入（6）即可計(jì)算出此承物臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jo。(

7、1) 計(jì)算a 2時(shí)，將數(shù)據(jù)分成四組，按等權(quán)原則，取ki= 2, 3, 4, 5 時(shí)對(duì)應(yīng)的k2分別為k2 = 6, 7, 8, 9 (即 A k = k 2 k i = 4 ), 按公式(14)進(jìn)行計(jì)算。即由2(_2)tl 2(11"2 求出 a 21 , a 22 , a 23 , a 24 , 再求得 2。t2tl t1t2(2) 同理計(jì)算a 1時(shí)，也將數(shù)據(jù)分成四組，按等權(quán)原則，取k' 1 = 2, 3, 4, 5時(shí)對(duì)應(yīng)的k2分別為k' 2 = 6, 7, 8, 9按公式(14)進(jìn)行計(jì)算，得出a 11 , a 12 , a 13 , a 14,再求得1 (此時(shí)k&#

8、39;= k - 15即取k=15時(shí)t ' = 0 )1. 測(cè)量試樣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J1將待測(cè)試樣放至承物臺(tái)上，按上面 2中測(cè)量方法，可測(cè)得系統(tǒng)(承物臺(tái)加待測(cè)試 樣)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。其數(shù)據(jù)記錄于下表：kt(s)kt(s)kt(s)1011212122231323414245152561626717278182891929102030由式(1)J1 = J - J o可求出待測(cè)試樣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。待測(cè)試樣(1) 鋁環(huán)(2) 鋁圓盤* (3)移軸砝碼(兩個(gè))：對(duì)稱地倒插于承物臺(tái)十字架的小孔內(nèi)，兩砝碼距離2X ,取值分別為a. 2X1= 10cmb. 2X2= 20cm計(jì)算公式:1 .質(zhì)量均勻分布的圓

9、環(huán)，總質(zhì)量為M外徑、內(nèi)徑分別為 D、D,則對(duì)通過中心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1 2 2 J -M (D1D2 )(15)2 .若為圓盤試樣，上式的 D2=0,即1 2J -MD2（16）8D為圓盤的直徑3. 平行軸定理(17)Jc md2剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離 d的二次方的乘積。數(shù)據(jù)處理：1. 鋁環(huán)：質(zhì)量 M = kg; D i =cm D 2 =cm由式（16）可求圓環(huán)繞過質(zhì)心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J環(huán)，理=;與測(cè)量值 J環(huán)，測(cè)=;比較可得：A J環(huán)=J環(huán)，測(cè)-J環(huán)，理=;相對(duì)誤差：E = A J環(huán)/J環(huán)=%

10、.2. 鋁圓盤：質(zhì)量M = kg; D = cm同理，由式（16）可求圓盤繞過質(zhì)心與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J盤，理=; 與測(cè)量值 J盤，測(cè)=；比較可得： A J盤=J盤，測(cè) -J盤，理=;相對(duì)誤差：E = A J盤/J盤=%*3.由實(shí)驗(yàn)步驟3的測(cè)量結(jié)果分別計(jì)算 a., b.兩種情況下兩移軸砝碼對(duì)中垂軸OO的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ja和Jb,并討論之。已知兩移軸砝碼總質(zhì)量M = 2 X 0.167 kg砝碼直徑=3.0 cm思考題：1. 簡(jiǎn)要分析影響本實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的各種因素是什么？如何減少它們對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影 響？2. 本實(shí)驗(yàn)測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理是什么？附錄：HMS-2 “通用電腦毫秒計(jì)”使用說明技術(shù)性能本儀

11、器由單片機(jī)芯片和固有程序等組成。具有記憶存儲(chǔ)功能， 最多可記64個(gè)脈沖輸入的（順序的）時(shí)間，并可隨意提取數(shù)據(jù)，還可以調(diào)整為脈沖的編組計(jì)時(shí)。它有備用通道，即雙通道“或”門輸入。此儀器為可編程記憶式雙路毫秒計(jì)。1 .輸入脈沖寬度：不小于 10 Q2. 計(jì)時(shí)范圍：0-999.999 秒3. 計(jì)時(shí)誤差:4 .計(jì)時(shí)數(shù)組:5 .適用電源:板面（如下圖）< 0.0005 秒1-64s 220V , 50Hz 為 2位脈沖個(gè)數(shù)數(shù)碼塊； 為 6位計(jì)時(shí)數(shù)碼塊； 為按鍵數(shù)據(jù)碼盤； 、分別為輸入 I 輸入插孔和通斷開關(guān)；、分別為輸入II輸入插孔和通斷開關(guān)；為電源；為復(fù)位鍵。使用方法1 用電纜連接光電門的發(fā)光管和

12、輸入脈沖，只接通一路（另一路備用）。2 若只用輸入 I 插孔輸入， 請(qǐng)將該輸入通斷開關(guān)接通， 輸入 II 通斷開關(guān)斷開（切記） 。 反之亦然。若從兩輸入插孔同時(shí)輸入信號(hào)，請(qǐng)將兩通斷開關(guān)都接通。3接通電源：儀器進(jìn)入自檢狀態(tài)。板面顯示88-888888 四次后，顯示為 P0164 ，它表明制式（P）為每輸入1個(gè)（光電）脈沖，計(jì)一次時(shí)間，最多可記64個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)，小于 64 個(gè)也可以被儲(chǔ)存和提取數(shù)據(jù)。4 .按一次“”或“T”鍵，面板顯示00 000000，此時(shí)儀器處于待記時(shí)狀態(tài)。輸入第 1 個(gè)脈沖則開始計(jì)時(shí)。5 64 個(gè)脈沖輸入后自動(dòng)停止（小于64 也可）。取出數(shù)據(jù)的方法如下：按 09 兩數(shù)碼鍵， 則顯示 “ *.* ”精確到毫秒的第一個(gè)脈沖到第九個(gè)脈沖之間的時(shí)間，依次類推；按 01鍵，則顯示“ 000.000 ”表示計(jì)時(shí)開始的時(shí)間。按 J”鍵一次，則脈沖記時(shí)的個(gè)數(shù)遞增1，因此方便地依次提取數(shù)據(jù)（按鍵則遞減）。（1 ） 按“ 9”鍵兩次，儀器又處于新的待記時(shí)狀態(tài)，并把前次數(shù)據(jù)消除。2） 按復(fù)位鍵，儀器為在電的重啟。四、 調(diào)整制式的方法當(dāng)啟動(dòng)按“J”或"t”鍵后顯示P0164。這里，01表示制式（P）每一個(gè)（光電）脈沖計(jì)數(shù)一次， 64 表示計(jì) 64 個(gè)數(shù)據(jù)。因此，可以通過改變 PXXYY 中的 XX 值和YY值，獲得不同的計(jì)數(shù)方式（XX有上限，YY最大值為