全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初1)上

1、全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初一)（上）目錄第一講 有理數(shù)的巧算（1）第二講 絕對(duì)值（10）第三講 求代數(shù)式的值（17）第四講 一元一次方程（24）第五講 方程組的解法（32）第六講 一次不等式(不等式組)的解法（40）第七講 含絕對(duì)值的方程及不等式（47）第八講 不等式的應(yīng)用（56）第九講 “設(shè)而不求”的未知數(shù)（64） 第十講 整式的乘法與除法（73）第十一講 線段與角（79）第十二講 平行線問題（88）第一講 有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，

2、靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號(hào)的使用 在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡(jiǎn)單例1 計(jì)算：分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化注意 在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算例2 計(jì)算下式的值： 211×555+445×789+555×789

3、+211×445分析 直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來計(jì)算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例3 計(jì)算：S=1-2+3-4+(-1)n+1·n分析

4、不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤?1”如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法解 S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1·n下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，上式是n2個(gè)(-1)的和，所以有當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1)2個(gè)(-1)的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1·n=n，所以有例4 在數(shù)1，2，3，1998前添符號(hào)“+”和“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析與解 因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，199

5、8之前任意添加符號(hào)“+”或“-”，不會(huì)改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號(hào)“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1說明 本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化2用

6、字母表示數(shù)我們先來計(jì)算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運(yùn)算過程變?yōu)?(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， 這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計(jì)算例5 計(jì)算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-

7、1)=30002-12=8 999 999例6 計(jì)算 103×97×10 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919例7 計(jì)算：分析與解 直接計(jì)算繁仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例8 計(jì)算：(2+1)(22+1)(24

8、+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(gè)(2-1)，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例9 計(jì)算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式 (a+b)(a-b)=a2-b2這個(gè)公式也可以反

9、著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個(gè)例子通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來很大的益處下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化例10 計(jì)算：我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算 3觀察算式找規(guī)律例11 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個(gè)數(shù)加起來，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準(zhǔn)數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負(fù)”，考察這20個(gè)數(shù)

10、與90的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95例12 計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項(xiàng)倒過來寫為 S=1999+1997+1995+3+1

11、將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500個(gè)2000)=2000×500從而有 S=500 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決例13 計(jì)算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差

12、易于計(jì)算解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得 4S=5101-1，說明 如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來解決例14 計(jì)算：分析 一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法 解 由于 所以說明 本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)一1計(jì)算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999

13、；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?，試?jì)算他們的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第二講 絕對(duì)值絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到含有絕

14、對(duì)值符號(hào)的問題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)絕對(duì)值的定義來解決這些問題下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對(duì)值的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零即絕對(duì)值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識(shí)，它與距離的概念密切相關(guān)在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對(duì)值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反數(shù)反之，相反數(shù)的絕對(duì)值相等也成立由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)例1 a，b為實(shí)數(shù)，下列各式對(duì)嗎？若不對(duì)，應(yīng)附加什么條件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，則a=

15、b；(5)若ab，則ab；(6)若ab，則ab解 (1)不對(duì)當(dāng)a，b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)成立(2)對(duì)(3)對(duì)(4)不對(duì)當(dāng)a0時(shí)成立(5)不對(duì)當(dāng)b0時(shí)成立(6)不對(duì)當(dāng)ab0時(shí)成立例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖1-1所示，化簡(jiǎn)b-a+a+c+c-b解 由圖1-1可知，a0，b0，c0，且有cab0根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(hào)法則，有b-a0，ac0，c-b0再根據(jù)絕對(duì)值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例3 已知x-3，化簡(jiǎn)：分析 這是一個(gè)含有多層絕對(duì)值符號(hào)的問題，可從里往外一層一

16、層地去絕對(duì)值符號(hào)解 原式=3+2+(1+x)(因?yàn)?+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因?yàn)?+x0) =-x=-x解 因?yàn)?abc0，所以a0，b0，c0(1)當(dāng)a，b，c均大于零時(shí)，原式=3；(2)當(dāng)a，b，c均小于零時(shí)，原式=-3；(3)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)大于零，一個(gè)小于零時(shí)，原式=1；(4)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)小于零，一個(gè)大于零時(shí)，原式=-1說明 本例的解法是采取把a(bǔ)，b，c中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對(duì)值問題時(shí)很常用例5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因?yàn)閤-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0

17、，即x=-3(1)當(dāng)y=2時(shí)，x+y=-1；(2)當(dāng)y=-2時(shí)，x+y=-5所以x+y的值為-1或-5例6 若a，b，c為整數(shù)，且a-b19+c-a99=1，試計(jì)算c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應(yīng)為整數(shù)，且a-b19，c-a99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是 a-b19=0且c-a99=1， 或 a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a±1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b±1，于是b-c=a-b=1無論或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以 c-a+a-b+b-c=2解 依相反數(shù)的意義有x-y+3x+y-1

18、999因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，所以必有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得 2y=2002， y=1001，所以 例8 化簡(jiǎn)：3x+1+2x-1分析 本題是兩個(gè)絕對(duì)值和的問題解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)若分別去掉每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，則是很容易的事例如，化簡(jiǎn)3x+1，只要考慮3x+1的正負(fù)，即可去掉絕對(duì)值符號(hào)這里我們?yōu)槿齻€(gè)部分(如圖12所示)，即這樣我們就可以分類討論化簡(jiǎn)了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即說明 解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對(duì)值等

19、于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個(gè)分界點(diǎn)，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)軸分成幾個(gè)部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡(jiǎn)，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”例9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析 首先使用“零點(diǎn)分段法”將y化簡(jiǎn)，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者解 有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1(1)當(dāng)x-3時(shí)，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)當(dāng)-3x-1時(shí)，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(

20、3)當(dāng)-1x1時(shí)，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)當(dāng)x1時(shí)，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0綜上可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值為6例10 設(shè)abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算，但比較麻煩若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的幾何意義來解題，將顯得更加簡(jiǎn)捷便利解 設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，D，X，則x-a表示線段AX之長(zhǎng)，同理，x-b，x-c，x-d分別表示線段BX，CX，D

21、X之長(zhǎng)現(xiàn)要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)X，使該點(diǎn)到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最小因?yàn)閍bcd，所以A，B，C，D的排列應(yīng)如圖13所示：所以當(dāng)X在B，C之間時(shí)，距離和最小，這個(gè)最小值為AD+BC，即(d-a)+(c-b)例11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值分析與解 要使原式對(duì)任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)合并時(shí)，必須使含x的項(xiàng)相加為零，即x的系數(shù)之和為零故本題只有2x-5x+3x=0一種情況因此必須有 4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x應(yīng)滿足的條件是此時(shí) 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+

22、4 =7練習(xí)二1x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列等式成立：(1)(x-2)+(x-4)=x-2+x-4；(2)(7x+6)(3x-5)=(7x+6)(3x-5)2化簡(jiǎn)下列各式： (2)x+5+x-7+x+103若ab0，化簡(jiǎn)a+b-1-3-a-b4已知y=x+3+x-2-3x-9，求y的最大值5設(shè)T=x-p+x-15+x-p-15，其中0p15，對(duì)于滿足px15的x來說，T的最小值是多少？6已知ab，求x-a+x-b的最小值7不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，如果a-b+b-c=a-c，那么B點(diǎn)應(yīng)為( )(1)在A，C點(diǎn)的右邊；(2)在A，C點(diǎn)的左邊；(3)在A，C點(diǎn)之間；(4)以

23、上三種情況都有可能第三講 求代數(shù)式的值用具體的數(shù)代替代數(shù)式里的字母進(jìn)行計(jì)算，求出代數(shù)式的值，是一個(gè)由一般到特殊的過程具體求解代數(shù)式值的問題時(shí)，對(duì)于較簡(jiǎn)單的問題，代入直接計(jì)算并不困難，但對(duì)于較復(fù)雜的代數(shù)式，往往是先化簡(jiǎn)，然后再求值下面結(jié)合例題初步看一看代數(shù)式求值的常用技巧例1 求下列代數(shù)式的值：分析 上面兩題均可直接代入求值，但會(huì)很麻煩，容易出錯(cuò)我們可以利用已經(jīng)學(xué)過的有關(guān)概念、法則，如合并同類項(xiàng)，添、去括號(hào)等，先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再求值，這樣會(huì)大大提高運(yùn)算的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5

24、=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18說明 本例中(1)的化簡(jiǎn)是添括號(hào)，將同類項(xiàng)合并后，再代入求值；(2)是先去括號(hào)，然后再添括號(hào)，合并化簡(jiǎn)后，再代入求值去、添括號(hào)時(shí)，一定要注意各項(xiàng)符號(hào)的變化例2 已知a-b=-1，求a3

25、+3ab-b3的值分析 由已知條件a-b=-1，我們無法求出a，b的確定值，因此本題不能像例1那樣，代入a，b的值求代數(shù)式的值下面給出本題的五種解法解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3= -1說明 這是用代入消元法消去a化簡(jiǎn)求值的解法2 因?yàn)閍-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1說明 這種解法是

26、利用了乘法公式，將原式化簡(jiǎn)求值的解法3 因?yàn)閍-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1說明 這種解法巧妙地利用了-1=a-b，并將3ab化為-3ab(-1)=-3ab(a-b)，從而湊成了(a-b)3解法4 因?yàn)閍-b=-1，所以 (a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1說明 這種解法是由a-b=-1，演繹推理出所求代數(shù)式的值解法 5 a3+3ab-b3=

27、a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1說明 這種解法是添項(xiàng)，湊出(a-b)3，然后化簡(jiǎn)求值通過這個(gè)例題可以看出，求代數(shù)式的值的方法是很靈活的，需要認(rèn)真思考，才能找到簡(jiǎn)便的算法在本例的各種解法中，用到了幾個(gè)常用的乘法公式，現(xiàn)總結(jié)如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=

28、2(x+y)，代入所求代數(shù)式中，消去xy，然后化簡(jiǎn)所以解 因?yàn)閍=3b，所以 c=5a=5×(3b)=15b將a，c代入所求代數(shù)式，化簡(jiǎn)得解 因?yàn)?x-5)2，m都是非負(fù)數(shù)，所以由(1)有 由(2)得y+1=3，所以y=2下面先化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2 =52×2+0+10×5×22=250例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值分析 此題可以用方程組求出a，b的值，再分別代入14a-2b求值下面介紹一種不必求出a，b的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2

29、b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值 分析 所求代數(shù)式中六個(gè)絕對(duì)值的分界點(diǎn)，分別為：0，1，2，據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值的符號(hào)，將有3個(gè)x和3個(gè)-x，這樣將抵消掉x，使求值變得容易原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) = -1-2+3+4+5=9說明 實(shí)際上，本題只要x的值在2與3之間，那么這個(gè)代數(shù)式的值就是9，即它與x具體的取值無關(guān)例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以寫成 的形式，對(duì)于等比，我們通?？梢栽O(shè)它們的比值

30、為常數(shù)k，這樣可以給問題的解決帶來便利 x=3k，y=4k，z=7k因?yàn)?x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8例9 已知x=y=11，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本題是可直接代入求值的下面采用換元法，先將式子改寫得較簡(jiǎn)潔，然后再求值解 設(shè)x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(11

31、5;11+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000說明 換元法是處理較復(fù)雜的代數(shù)式的常用手法，通過換元，可以使代數(shù)式的特征更加突出，從而簡(jiǎn)化了題目的表述形式練習(xí)三1求下列代數(shù)式的值： (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值 3已知a=3.5，b=-0.8，求代數(shù)式6-5b-3a-2b-8b-1的值 4已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值第四講 一元一次方程方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容最簡(jiǎn)單的方程是一元一次方程，它是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ)，很多方程都可以通過變形化為一元一次

32、方程來解決本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式的式子叫等式如果給等式中的文字代以任何數(shù)值，等式都成立，這種等式叫恒等式一個(gè)等式是否是恒等式是要通過證明來確定的如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式條件等式也稱為方程使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一個(gè)未知數(shù)(又稱為一元)，且其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程任何一個(gè)一元一次方程總可以化為ax=b(a0)的形式，這是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(最簡(jiǎn)形式)解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去

33、括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式ax=b；(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解 一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來確定： (2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?·x=0，則方程有無數(shù)多個(gè)解；(3)若a=0，且b0，方程變?yōu)?·x=b，則方程無解例1 解方程解法1 從里到外逐級(jí)去括號(hào)去小括號(hào)得去中括號(hào)得 去大括號(hào)得 解法2 按照分配律由外及里去括號(hào)去大括號(hào)得化簡(jiǎn)為 去中括號(hào)得 去小括號(hào)得 例2 已知下面兩個(gè)方程3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，試求a的值分析 本題解題思路是從方程中求出x的值，代入方程，求出a

34、的值解 由方程可求得3x-5x=-6，所以x=3由已知，x=3也是方程的解，根據(jù)方程解的定義，把x=3代入方程時(shí)，應(yīng)有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2，求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5由題設(shè)知a+2=5，所以a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=3×3，-2x=-21，例4 解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0分析 這個(gè)方程中未知數(shù)是x，m，n是可以取不同實(shí)數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時(shí)

35、，方程解的情況解 把原方程化為 m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)當(dāng)m+n0，且m=0時(shí)，方程無解；當(dāng)m+n=0時(shí)，方程的解為一切實(shí)數(shù)說明 含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍解這類方程時(shí)，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個(gè)解三種情況進(jìn)行討論例5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本題將方程中的括號(hào)去掉后產(chǎn)生x2項(xiàng)，但整理化簡(jiǎn)后，可以消去x2，也就是說，原方程實(shí)際上仍是一個(gè)一元一次方程解 將原方程整理化簡(jiǎn)得 (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2， 即 (a2-b2)x=(a-b)2(1

36、)當(dāng)a2-b20時(shí)，即a±b時(shí)，方程有唯一解(2)當(dāng)a2-b2=0時(shí)，即a=b或a=-b時(shí)，若a-b0，即ab，即a=-b時(shí)，方程無解；若a-b=0，即a=b，方程有無數(shù)多個(gè)解例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值解 因?yàn)?m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1(1)當(dāng)m=1時(shí)，方程變?yōu)?2x+8=0，因此x=4，代數(shù)式的值為199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)當(dāng)m=-1時(shí)，原方程無解所以所求代數(shù)式的值為1991例7 已知

37、關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無解，試求a的值解 將原方程變形為 2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2由已知該方程無解，所以 例8 k為何正數(shù)時(shí)，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？來確定： (1)若b=0時(shí)，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，則b=0成立(2)若ab0時(shí)，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程ax=b的解是正數(shù)，則ab0成立(3)若ab0時(shí)，則方程的解是負(fù)數(shù)；反之，若方程ax=b的解是負(fù)數(shù)，則ab0成立解 按未知數(shù)x整理方程得 (k2-2k)x=k2-5k要使方程的解為正數(shù)，需要 (k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端 (k2-2k)(k2-5

38、k)=k2(k-2)(k-5)因?yàn)閗20，所以只要k5或k2時(shí)上式大于零，所以當(dāng)k2或k5時(shí)，原方程的解是正數(shù)，所以k5或0k2即為所求例9 若abc=1，解方程解 因?yàn)閍bc=1，所以原方程可變形為化簡(jiǎn)整理為 化簡(jiǎn)整理為 說明 像這種帶有附加條件的方程，求解時(shí)恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡(jiǎn)化例10 若a，b，c是正數(shù)，解方程解法1 原方程兩邊乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有 x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因?yàn)閍0，

39、b0，c0，所以ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c為原方程的解解法2 將原方程右邊的3移到左邊變?yōu)?3，再拆為三個(gè)“-1”，并注意到其余兩項(xiàng)做類似處理設(shè)m=a+b+c，則原方程變形為所以即x-(a+b+c)=0 所以x=a+b+c為原方程的解說明 注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡(jiǎn)單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一例11 設(shè)n為自然數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，解方程：分析 要解此方程，必須先去掉 ，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1) ，nx都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)解 根據(jù)分析，x必為整數(shù)，即x=x，所以原方程化為合并同類項(xiàng)得故有所以x=n(n+1)為原方程的解例12 已

40、知關(guān)于x的方程 且a為某些自然數(shù)時(shí)，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)a的最小值解 由原方程可解得 a最小，所以x應(yīng)取x=160所以 所以滿足題設(shè)的自然數(shù)a的最小值為2練習(xí)四1解下列方程：* 2解下列關(guān)于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1； 4當(dāng)k取何值時(shí)，關(guān)于x的方程3(x+1)=5-kx，分別有：(1)正數(shù)解；(2)負(fù)數(shù)解；(3)不大于1的解第五講 方程組的解法二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過同解變形進(jìn)行消元，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決所以，解方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種，下面結(jié)合例題予以介紹例1 解方程組 解 將原方程組改寫為由方

41、程得x=6+4y，代入化簡(jiǎn)得11y-4z=-19 由得2y+3z=4 ×3+×4得 33y+8y=-57+16，所以 y=-1將y=-1代入，得z=2將y=-1代入，得x=2所以為原方程組的解說明 本題解法中，由，消x時(shí)，采用了代入消元法；解，組成的方程組時(shí)，若用代入法消元，無論消y，還是消z，都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，計(jì)算較繁，而利用兩個(gè)方程中z的系數(shù)是一正一負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值較小，采用加減消元法較簡(jiǎn)單解方程組消元時(shí)，是使用代入消元，還是使用加減消元，要根據(jù)方程的具體特點(diǎn)而定，靈活地采用各種方法與技巧，使解法簡(jiǎn)捷明快例2 解方程組解法1 由，消x得由，消元，得解之得 將y=2代入

42、得x=1將z=3代入得u=4所以 解法2 由原方程組得所以 x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x， 即x=-15+16x，解之得x=1將x=1代入得u=4將u=4代入得z=3將z=3代入得y=2所以 為原方程組的解解法3 +得x+y+z+u=10， 由-(+)得y+u=6， 由×2-得4y-u=4， +得y=2以下略說明 解法2很好地利用了本題方程組的特點(diǎn)，解法簡(jiǎn)捷、流暢例3 解方程組分析與解 注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系，可以先得到下面四個(gè)二元方程： +得x+u=3， +得y+v=5，

43、+得z+x=7， +得u+y=9 又+得x+y+z+u+v=15 -得z=7，把z=7代入得x=0，把x=0代入得u=3，把u=3代入得y=6，把y=6代入得v=-1所以為原方程組的解例4 解方程組解法1 ×2+得 由得 代入得 為原方程組的解為原方程組的解說明 解法1稱為整體處理法，即從整體上進(jìn)行加減消元或代入消為換元法，也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來代替原方程組中的“整體元”，從而簡(jiǎn)化方程組的求解過程 例5 已知 分析與解 一般想法是利用方程組求出x，y，z的值之后，代入所求的代數(shù)式計(jì)算但本題中方程組是由三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程組成的，因此無法求出x，y，z的確定有限解，但我們可以利用

44、加減消元法將原方程組變形-消去x得 ×3+消去y得 ×5+×3消去z得 例6 已知關(guān)于x，y的方程組分別求出當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解分析 與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過消元，歸結(jié)為一元一次方程ax=b的形式進(jìn)行討論但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零解 由得 2y=(1+a)-ax， 將代入得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2) (1)當(dāng)(a-2)(a+1)0，即a2且a-1時(shí)，方程有因而原方程組有唯一一組解(2

45、)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)0時(shí)，即a=-1時(shí)，方程無解，因此原方程組無解(3)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時(shí)，即a=2時(shí)，方程有無窮多個(gè)解，因此原方程組有無窮多組解例7 已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解解法1 根據(jù)題意，可分別令a=1，a=-2代入原方程得到一個(gè)方程組 將x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0所以對(duì)任何a值 都是原方程的解說明 取a=1為的是使方程中(a-1)x=

46、0，方程無x項(xiàng)，可直接求出y值；取a=-2的道理類似解法2 可將原方程變形為a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解與a無關(guān)，故有例8 甲、乙兩人解方程組原方程的解分析與解 因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2 a×5+5×4=13 解由，聯(lián)立的方程組得所以原方程組應(yīng)為 練習(xí)五1解方程組2若x1，x2，x3，x4，x5滿足方程組試確定3x4+2x5的值3將式子3x2+2x-5寫成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，試求4k為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；無解；無窮多解？第六講 一次不等式(不等式組)的解法不

47、等式和方程一樣，也是代數(shù)里的一種重要模型在概念方面，它與方程很類似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性質(zhì)，而且“數(shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等式”本講是系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)下面先介紹有關(guān)一次不等式的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析1不等式的基本性質(zhì) 這里特別要強(qiáng)調(diào)的是在用一個(gè)不等于零的數(shù)或式子去乘(或去除)不等式時(shí)，一定要注意它與等式的類似性質(zhì)上的差異，即當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子大于零時(shí)，不等號(hào)方向不變(性質(zhì)(5)；當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子小于零時(shí)，不等號(hào)方向要改變(性質(zhì)(6)2區(qū)間概念在許多情況下，可以用不等式表示數(shù)集和點(diǎn)集如果設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab，那么(1)滿足不等式axb的數(shù)x的全體

48、叫作一個(gè)開區(qū)間，記作(a，b)如圖14(a)(2)滿足不等式axb的數(shù)x的全體叫作一個(gè)閉區(qū)間，記作a，b如圖14(b)(3)滿足不等式axb(或axb)的x的全體叫作一個(gè)半開半閉區(qū)間，記作(a，b(或a，b)如圖14(c)，(d) 3一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一樣，經(jīng)過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、整理后，總可以寫成下面的標(biāo)準(zhǔn)型：axb，或axb為確定起見，下面僅討論前一種形式 一元一次不等式axb (3)當(dāng)a=0時(shí)， 用區(qū)間表示為(-，+)例1 解不等式 解 兩邊同時(shí)乘以6得12(x+1)+2(x-2)21x-6，化簡(jiǎn)得-7x-14，兩邊同除以-7，有x2所以不等式的解為x2，用區(qū)間表示為(-，2例2 求不等式 的正整數(shù)解正整數(shù)解，所以原不等式的正整數(shù)解為x=1，2，3例3 解不等式 分析與解 因y2+10，所以根據(jù)不等式的基本性質(zhì)有 例4 解不等式 為x+27，解為x5這種錯(cuò)誤沒有考慮到使原不等式有意義的條件：x6 解 將原不等式變形為 解之得所以原不等式的解為x5且x6例5 已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y