專題二：平行四邊形常用輔助線的作法(精排版)

1、復(fù)習(xí)資料專題講義平行四邊形十幾何輔助線的作法、知識(shí)點(diǎn)1 .四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1)四邊形的內(nèi)角和等于360° ;(2)四邊形的外角和等于360° .2 .多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180 ° ;(2)任意多邊形的外角和等于 3600 .3 .平行四邊形的性質(zhì)：5性質(zhì)(1)兩組對邊分別平行;四邊形ABC北平行四邊形判定(2)兩組對邊分別相等;(3)兩組對角分別相等;(4)對角線互相平分； (5)鄰角互補(bǔ).4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件(迎推的燈定方法邊L 一組對邊相等，L方法，方法一組對邊平行定義(方法1)方法(

2、3)角一組對角相等.二方法(5時(shí)布線卜方法45、和平行四邊形有美的輔助線作法(1)例1利相等構(gòu)造平行四邊形、如已畫口1、0O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCD日平行四邊形.求證：OE與AD互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求 證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可 試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.A2)利用兩皿射邊平行構(gòu)造平行四邊形AE=BF ED/AC, FG/AC交 BC分另I為 D, G.214圖f/在a ABC中,E、F為AB上兩點(diǎn),D ' 匚求證：ED+FG=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平 行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組 對邊平行，得到平行四

3、邊形解決問(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖，/已?心眼ABC勺中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求證BF=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.勺?個(gè)端點(diǎn),圖1圖2(4)連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一12,A、 1 m 11B 、2 m 22(5)平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交牙點(diǎn)。如果ACBD 10, AB m,那

4、么m的取值范圍是(圖3C、 10 m 12(6)過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7)延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形BE與CF交例7、已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn), 于P點(diǎn)，求證：AP AB二、課堂練習(xí)：1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F ,若平行四邊形ABCD的面積為S,則圖中面積為工S的三角形有()2A. 1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè)D.4個(gè)2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)

5、四邊形.3、如圖，AD, BC垂直相交于點(diǎn) O, AB/CD,則AB+CD的長=oBC=8,4、已知等邊三角形 ABC的邊長為a, P是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD/ AB, PE/ BG PF /AC,點(diǎn)DE、F分另I在BC、AG AB上，猜想：PN PE+PF=并證明你的圖4猜想.復(fù)習(xí)資料5、平行四邊形ABCM , E,G,F,H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE CF , BC DH ,試說明：EF與GH相互平分.6、如圖，平行四邊形 ABCD勺對角線AC和BD交于O, E、F分別為OB OD的中點(diǎn)，過O任作一直線分另IJ交 AR CD于 G、H.試說明：GF/ EH7、如圖，已知AB AC , B是

6、AD的中點(diǎn),試說明：CD 2CEE是AB的中點(diǎn).8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點(diǎn).復(fù)習(xí)資料189、已知六邊形ABCDEF勺6個(gè)內(nèi)角均為12 求此六邊形的周長.0° , CD= 2cnn, BO 8cnn, AB= 8cm, AF=5cm 試ED_KZDcABDF AC,CH AB ,垂足分別為 E、F、H,求證：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC 中，AB BC ;在 Rt ADE 中，AD DE M ,連結(jié)DM和BM .(1)若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合， 求證：BM DM 且 BM DM ;屋 BD C,二連結(jié)EC ,取EC的中點(diǎn)如圖，AB=AC

7、 D是BC邊上的任一點(diǎn)，且(2)如果將圖8-中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1) 中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.圖圖-答案:例 4、(1)連結(jié) BF(2) BF DE(3)證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形v AE FC四邊形EBFD為平行四邊形例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB 四邊形，AO OC, DO OB AO AE OC FC 即 OE OF. BF DECE, DC BE,則有四邊形CDBE為平行.在 ACE 中，AC12,CE BD 10,AE 2AB 2m .12

8、10 2m 12 10,即 2 2m22 解得1 m 11故選A例6、證明：過A, D分別作AEBC于點(diǎn)E , DF BC的延長線于點(diǎn)F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC 22222222BD DF BF (CD CF ) (BC CF) CD BC 2BC CF貝(JAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BEv四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD且AB CD , AD BCABC DCF: AEB DFC 900 ABE DCFBE CF._22_222_2. AC BD AB BC CD DA例7、

9、證明：延長CF交BA的延長線于點(diǎn)K二.四邊形ABCD為正方形AB / CDH AB CD, CD AD , BAD BCD D 9001 K 又. D DAK 900, DF AF CDF KAF11 . AK CD ABv CE 1CD,DF 1 AD. . CE DF22V BCD D 900BCEW CDF1213 900. 23 900CPB 900, WJ KPB 900二、課堂練習(xí)1、C 2、平行 3、104、a5、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對角線，若能說明四邊形 HEGF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到6、分析：觀察圖形，GF與EH為

10、四邊形GEHF的對邊，若能說明四邊形 EHFG是平行四邊形，平行四邊形具有對邊平行的性質(zhì)可得 GF / EH .7、分析：延長CE至F,使EF = CE,連結(jié)AF、BF ,得四邊形AFBC是平行四邊形，利 用平行四邊形的性質(zhì)證明 DBCAFBC即可8、分析：過點(diǎn)E作MN / AB ,交BC于N ,交AD的延長線于M ,則四邊形ABNM是平 行四邊形，ABE與四邊形ABNM等底等高，所以SaAEJE- S2S梯形ABCD = S平行四邊形ABNM 即可。9、延長BA、EF,交點(diǎn)記作G：廷長IK、 EDt交點(diǎn)記作IL V . 1=120% /. . J=60*.理.-推“出AHG與ACDH都是止

11、三角形，F(xiàn)G=CA=FA=5. D=I）H=H=3H = "i"7 B+ H=1 抑嚴(yán)1 /*EH/GA, ；,C+ F=l 期產(chǎn) Z.<；F/<BH 因此.四邊龍儲(chǔ)MH上是平行四邊形. GB=GA+AB=5-H=13, BH=BCH H=«+ =10. 四功彩GBHE的周KT 13+1U產(chǎn)276 六功幫的周長的周歸=四訥雁t ；RHF的周長%R39.10、證明：過D點(diǎn)作DGLCH于G又 DE XAB 于 E, CH，AB 于 H四邊形 DGHE 為矩形. DE=GH EH / DG. B = / GDC又 AB = AC./B = /ACB ./ G

12、DC = /ACB又/ DGC = /DFC=90°CD = DC （公共邊）.-.CDGADCF （AAS） .DF= CG又 CH =CG + GH.CH = DF+DG （等量代換）11、解：丁 AAEC和乙缸區(qū)都是母，旦的乃心地向日，/田C=/EBC旬爐, 艮皺至耗軸電黑.。.眸方磊B隼4期；文方兇包心 靈:硝泊M3八工地。4t田 / quHE 班型中 的養(yǎng)翁,二 儂理細(xì)配g由£ &ca 同理璃呼=/皿沒藺斷試地峪盛潴筋0M）燧拇£彳氣世，就施跖演n燧山國就如圖-延長DM到h 使NN=訓(xùn)承給 即、BN. Ot '/ EICK , ZEMU=

13、ZC Iffi , DfrUfl /.AEMDW'CMH口EM=2NCM=/ECM+/ECN,（KEEW ,SAABC 中 d ； /3AB吐 /曲二螞。.".ZACE1/CAD 十/回藥 0"CAD號(hào) 一/BAL /冊/RCM-2ECM+/BCNMCED 2ALE+-4S* - ZBAL+Z3Lllf ZECNWi?ZACK+ZBCM=457 一/。- 4收 4審 +NECN邛（T2BAD=ZBCN . 又 &=CB ,4=（溫.1.AaBDACBN -b.BSn /ABD二.-.ZEBC+ ZCBN= ZDfiC+Z：A3D=90"手 叉,&q

14、uot; Rft=EN. PM=W平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三 角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常 用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角線或平移對角線：(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或 中位線(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形

15、全等 .第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)Ov四邊形ABCD為平行四邊形 AO OC, DO OBv AE FC. AO AE OC FC 即 OE OF四邊形EBFD為平行四邊形 BF DEA圖1B圖2第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果

16、AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范圍是（）A1 m 11B2 m 22C10 m 12D5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE ,則有四邊形CDBE為平行四 邊形，.在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m .12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A第三類：過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明：過A,D分別作AE BC于點(diǎn)E , DF BC的延長線于點(diǎn)FA

17、E2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF2) (BC CF )2 CD2 BC2 2BC CF貝(JAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BEv四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD且AB CD , AD BC ABC DCF: AEB DFC 900 ABE DCFBE CF._22_222_2 AC BD AB BC CD DA第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF 交于P點(diǎn)，求證

18、：AP AB證明：延長CF交BA的延長線于點(diǎn)K 四邊形ABCD為正方形000AB / CD 且 AB CD, CD AD , BAD BCD D 90 二 1 K 又' D DAK 90°, DF AFCDF KAF1 1 .AK CD ABCE-CD,DF- AD/. CEDF2 2V BCD D 90°. BCEW CDF12V 1 3 90°2 3 90°CPB 90°，則 KPB 90°. AP AB第五類：延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長AE與BC的延長線相交于F，貝U有 AED s FEC , FAB s FEC , AED s FAB第六類：把對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中