2020屆安徽省淮南市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020屆安徽省淮南市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題1 .已知集合人=-2,-1,1,2, B=x|x2<2f 則ACB=()A. -L-2,2 B -1,1 C. -2,2 D -2,-1,1,2)【答案】B【解析】分析：先化簡集合B,再求AHB.詳解：由題得B = x-"<x<企,所以Ar>B= -1,1.故答案為：B點睛：本題主要考查集合的化簡與交集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.2 .復(fù)數(shù)z(l-i) = i,則 |2|為()A. & B. 1 C. 2 D. 2【答案】C【解析】分析：先求復(fù)數(shù)z,再求|z|.i i(l +

2、 i)-1 + i11詳解：由題得z1-i(17)(1 +i) 222：|z|= l(-)2+(-)2=.所以 1222故答案為：c點晴：(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和梵數(shù)的模的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本的運算能力.曳數(shù)z = a + bi(a,b 6 R)的模Izl =Ja2 + b3.已知AABC是邊長為2的正三角形，在AABC內(nèi)任取一點，則該點落在AABC內(nèi)切圓內(nèi)的 概率是()技I叔I1技I叔IA. 6 B, 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】分析：根據(jù)題意求出aABC內(nèi)切圓的面積與三角形的面積比即可.詳解：如圖所示，4ABC是邊長為2的正三角形，則 AD

3、二叔 0D= 3 ,IA AABC內(nèi)切圓的半徑為r=3 ,s內(nèi)切圓 SAABC 所求的概率是七故答案為：D點晴：（1）本題主要考查幾何概型的計算和解三角形，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的 掌握水平.（2）幾何概型的解題步驟：首先是判斷事件是一維問題還是二維、三維問題 （事件的結(jié)果與一個變量有關(guān)就是一維的問題，與兩個變量有關(guān)就是二維的問題，與三 個變量有關(guān)就是三維的問題）；接著，如果是一維的問題，先確定試臉的全部結(jié)果和事 件A構(gòu)成的區(qū)域長度（角度、弧長等），最后代公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長度P（A）=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度：如果是二維、三維的問題，先設(shè)出二維或三維變量，再列出試驗的全部結(jié)果和事

4、件A分別滿足的約束條件，作出兩個區(qū)域，最后計 算兩個區(qū)域的面積或體積代公式.2 2X yC: = 14 .已知F-2是雙曲線a2 b2 （a>°,b>0）的左右焦點，坐標(biāo)（一出，雙曲線右支上點P,滿足IPF/TPFzl 二 4則它的漸近線方程為（）B.3 y =± -x C. 44y =± -xD. 3【答案】A5 .九章算術(shù)是中國古代數(shù)學(xué)名著，體現(xiàn)了古代勞動人民數(shù)學(xué)的智慧，其中第六章“均 輸”中，有一竹節(jié)容量問題，根據(jù)這一問題的思想設(shè)計了如下所示的程序框圖，若輸出 的7的值為35,則輸入的。的值為（ ）A. 4 B. 5 C. 7 D. 11【答案】

5、A6 .如圖，在正方體ABCD-AiBiJD中，p為的中點，則APAC在該正方體各個面上的正投影可能是（） A. B.【答案】DC. D./ x > 0)x + y-3 <07 .若“滿足約束條件|x - 2y 2 0,則z=x + 2y的最大值為(A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】分析：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜板式，由直線方程 可知，要使z最大，則直線在y軸上的微距最大，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線z=x+2y過點 A時z最大，求出A的坐標(biāo)，代入z=x+2y得答案.（x>0）x + y- 3 <0詳解：由x, y滿足約束條件Ix2y

6、作出可行域如圖,1 i由 z=x+2y,得 y= - 2x+2.1 i要使z最大，則直線y=-2x+2的極距最大，1 I由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+2過點a時極距最大.聯(lián)立x + y = 3 ,解得 A (2, 1), Az=x+2y的最大值為2+2X1 =4. 故答案為：B第5頁共17頁點晴：（1）本題考查了簡單的線性規(guī)劃，解答的關(guān)鍵是正確作出可行域.（2）解答線性 規(guī)劃時，要理解，不是縱橫距最小，z最小，要看函數(shù)的解析式，如：y=2x-z,直線的 縱橫距為-z,所以縱橫距-Z最小時，Z最大.8 .已知等差數(shù)列S'的公差為d,前n項和為S%則d < 0”是，自+ S4<

7、2S3,的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】D9 .已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（一8，°】上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足1叼Lf（2）> -耳-2）,則a的取值范圍是（）A. (瓦 + 8) B, (1，V3) c O/) d, (一8，?)【答案】A10 .將函數(shù)f（x） = 2sinx cosx + 2版oJx的圖象向右平移6個單位長度后，得到函數(shù)g（x）,則函數(shù)g（x）的圖象的一個對稱中心是（【答案】【解析】D分析：利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合平移關(guān)系求出g （x）的解析式，利用對稱性進行求解即可.n詳解

8、：f (x) =2sinxcosx+2Jcos2x=sin2x+P (1+cos2x)=sin2x+Jcos2x+A/=2sin (2x+)n將函數(shù)f (x)的圖象向右平移6個單位長度后，得到函數(shù)g (x)的圖象,n n即 g (x) =2sin2 (x-6) +3 +|'3=2sin2x+i',kn由 2x=krr, kGZ,得 x= 2 ,此時 g (x)二電kn即函數(shù)的對稱中心為(2,島,n (彳而)當(dāng)k=1時，對稱中心為2.故答案為：D點晴：(1)本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合對稱性是解決本題的關(guān)鍵.y=sinx的圖像的對稱中心為(krtQ),

9、k e z.1f(x) =11.已知函數(shù)-x + l(x 4 1)5lnx(x>l)則方程f(x) = kx恰有兩個不同的實根時，實數(shù)k的取值范國是()1 (O-) A. eB.1(OH5C.1 1H")5eD.1 1-5e【答案】C222C：+ -= l(a > b > 0)x2 + y2 =12.設(shè)F是橢圓a b的一個焦點，P是C上的點，圓9與直線PF交于A，B兩點，若A,B是線段PF的兩個三等分點，則C的離心率為()A. 3 B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】分析：取AB中點H,橢圓另一個焦點為E,連結(jié)PE根據(jù)平面幾何的知識、勾股定理及中位線的性質(zhì)得a

10、=5d,再求離心率.詳解：如圖，取AB中點H,橢圓另一個焦點為E,連結(jié)PE.:A、B三等分線段PF,也是AB中點，即OHLABa-d設(shè) 0H=d,則 PE=2d, PF=2a - 2d, AH= 3在 RtZOHA 中，0A2=0H2+AH2,解得 a=5d.4a-a在 RtZOHF 中，F(xiàn)H=5 , OH=5, OF=c,由 0F2=0H，F(xiàn)H2化簡得17aJ25c2, a 5.即C的離心率為5.故答案為：D點靖：本題考查橢圓離心率的求解問題，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件獲得關(guān)于a, b, c的關(guān)系 式，最后化歸為a, c (或e)的關(guān)系式，利用方程求解.二、填空題13 .已知向量a = (1,2)6

11、=若all(a + ,),則a,6 =.5【答案】21f(x + 2)=x14 .已知定義在R上的函數(shù)小)滿足 f(x),當(dāng)x E 0,2)時f(x) = x + e ,則f(2018)=【答案】14。PA = "AB = AC = 215 .三棱維P-ABC中，已知PA1底面ABC, BAC = 60 ,3,若三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則該球的體積為.256n【答案】81【解析】分析：由題意求解底面ABC外接圓的半徑r,利用球心到個頂點距離相等求解 球的半徑R可得結(jié)論.詳解：由題意 NBAC=60° , AB=AC=2,2r-可得AABC是等邊三角形，可得外接圓的

12、半徑rf/3,PAJ底面 ABC, PA=3,2工球心與圓心的距離為3.(H2 + r2該球的半徑為R=4 4 256TlfR =該球的體積V=381 ,256n故答案為：81點睛：(1)本題主要考查球的體積的求法，考查解三角形，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知 識的掌握水平和空間想象能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵三角形及其各邊的長.16,已知等比數(shù)列的前n項和為S/nEN ),且a? > a/4 = a j 28, 23 + 2是a?,的等an + 1差中項，若數(shù)列S/n + 1的前n項和TnqM恒成立，則M的最小值為.1【答案】2【解析】分析：根據(jù)條件求出aj的通項，利用裂項相消法求和

13、計算L,從而得出M的 值.詳解：設(shè)等比數(shù)列匕的公比為q,VS4=ai+28, as+2 是 a2, a”的等差中項，232= 16j a.l + q+q ) = 28.(2(a2q + 2) = a2(l+q) 解得q = 2 或'2 ,V 8281, / a2=4, q=2.2(3.an=2n, Sn= 1-2 =2-2,an + l2nM11_ _ 一元.(22 1-2)(20* 2_2) 一 (2。* 】一2) (20+ ?一2)1111 1 1111A T-22-2 23-2 + 總一總 + * 2n + 1-2 2n + 2-2 - 2> + <2 < 2,

14、1AM的最小值為2.1故答案為：2點晴：(1)本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些 基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)用裂項相消法求和，需要掌握一些114 1 111常見的裂項方法：Wn+k) kn n + kj,特別地當(dāng)k = l時，n(n + 1) n n + 1-(=-=7(VfnTk-Afi)-7=一r = A/n7l-n.Vn + k + n k,特別3也當(dāng) k = 1時1n + 1 +/1(2n)2(4n2-l) +11111an = 1 += 1 + -()(2n-l)(2n + 1) 4n?-14n2-l2 2n-l 2n + 11

15、11 1 a =- n(n-l)(n +2) 2 n(n + 1) (n + l)(n + 2)n + 21 2(n + l)-n 111an = =-一= n(n + 1) 2n n(n + l) 2rl n 2 (n + 1)2rln - n! = (n += (n + l)!-n!三、解答題25sin B + -cosB = 217.已知藥呢分別是MBC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，且 2 (1)求角B的大小.已知b = 2,求AABC面積的最大值.nB : 一 r【答案】【解析】(1)3； J3251cos B - -cosB -1 = 0 cosB =-分析：(1)推導(dǎo)出 2，解得 2

16、,由此能求出B. (2)由nB=3, b=2,根據(jù)余弦定理得a?+c2-ac=4,從而a'+c?=ac+422ac,進而acW4,由此能 求出aABC的面積最大值.25sin B + -cosB = 2詳解：(1) AABC中，2 1-cos2B + cosB = 2 cos2B - cosB-1 = 02 即 21cosB =-解得cosB=2 (舍)或 2nB =-nB = -zb = 2由知 3根據(jù)余弦定理得二a2 + c? - 2accosB代入得a? + c? - ac = 4,得J + c2 = ac + 4> 2ac,解得ac 4 4,1 1 rSMBC = &qu

17、ot;acsjnB 2X4x7=V3所以AABC的面積最大值為亞點睛：本題考查角的大小的求法，考查三角形面積最大值的求法，考查三角函數(shù)性質(zhì)、 三角函數(shù)恒等式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查運用求解能力，考查函 數(shù)與方程思想.18.如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為?的等邊三角形，證明：AC1S0;求點C到平面sab的距離.2版【答案】(1)見解析；(2) 3【解析】分析：(1)連結(jié)OA, AABC為等腰直角三角形，推導(dǎo)出AO±BC, SOXBC, SO ±A0.從而SO_L平面ABC,由此能證明AC_LSO. (2)設(shè)C到平面SAB的距離

18、為d,由 Vs-abFVc.sab,能求出C到平面SAB的距離.詳解：由題設(shè)AB = AC = SB =sc = sa,連結(jié)。a, AABC為等腰直角三角形，所以誼A = OB = OC = SA02,且AO IBC,又ASBC為等腰三角形，故SO1BC,且 2第11頁共17頁從而OA? + So2 = Sa2所以ASOA為直角三角形，SO 1 A0又AO n B0 = 0所以S。1平面ABC即AC _LS。（2）設(shè)C到平面SAB6勺距離為d,則由知：三棱錐Vs. abc = Vc. sab11oaabc , SO = 5asab , 弓即33 'ABC為等腰直角三角形，且腰長為2.

19、BC = 2也SO = ISB2 - OB2 = 142 = 2c 1f SAB的面積為"ab 2 sin60 =4 9. 2d6s j 2J2 = J3dfd =AABC 面積為 Smbc - 2,3246J"到平面SAB的距離為3 .點睛：（1）本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、 線面、面面間的位矍關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運用求解能力，考查函數(shù)與方程思想.（2） 求點到面的距離常用的有直接法、等體積法和向量法，本題利用的是等體積法.19.我國自改革開放以來，生活越來越好，肥胖問題也目漸顯著，為分析肥胖程度對總膽固爵-與空腹血糖的影響，在肥胖人

20、群中隨機抽出8人，他們的肥胖指數(shù)BMI值、總膽固萌TC指標(biāo)值單位：mmol/L） x空腹血糖GLU指標(biāo)值（單位：mmol/L）如下表所示：人員編號12345678BMI 恒 x2527303233354042定指標(biāo)值y5.35.45.55.65.76.56.97.1CAU指標(biāo)值z6.712738.1&69.09.1(1)用變量y與x，z與X的相關(guān)系數(shù)，分別說明TC指標(biāo)值與BMI值、GLU指標(biāo)值與BMI值的相關(guān)程度；求y與x的線性回歸方程，已知它指標(biāo)值超過5.2為總膽固醇偏高，據(jù)此模型分析當(dāng)BMI值達到多大時，需要注意監(jiān)控總膽固薛偏高情況的出現(xiàn)(上述數(shù)據(jù)均要精確到0. 01)參考公式：相

21、關(guān)系數(shù)»xx）（yy）（xrx）（y-y）r= , i = 1b = 122nnnE（xx 尸 Z（%-y）2Z（x7）2_Ji = 1i = 1i = ia = y-bx*，988Z（zj）J 5.4Z（xx）2 = 244 Z（yy）2 = 3.66參考數(shù)據(jù)：x = 33, y = 6,z = 8, i = i, i = i8888Z（xx）Z（yy） = 28.3.，則=15.6,J獲=19, 542.3【答案】(1)見解析：(2)達到26.33時，需要注意監(jiān)控總膽固醇偏高情況出現(xiàn)【解析】分析：(1)根據(jù)公式計算變量y與x的相關(guān)系數(shù)、變量z與x的相關(guān)系數(shù)，即 可判定結(jié)論；(2)

22、求出變量y與x的線性回歸方程，利用回歸方程求不等式的解集，即得結(jié)論.283r = 0.95詳解：(1)變量y與X的相關(guān)系數(shù)分別是 15.6x1.9,35.4r = 0.99變量z與x的相關(guān)系數(shù)分別是 15.6x2,3可以看出TC指標(biāo)值與MBI值、GLU指標(biāo)值與MBI值都是高度正相關(guān).(2) 丫與x的線性回歸方程，± = bx + a.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出283b = 0.12244a = 6-0.12x33 = 2.049所以y與X的回歸方程是。=0.12X + 2.04由0.12X + 2.042 5.2,可得x 2 26.33,據(jù)此模型分析MBI值達到26. 33時，需要注

23、意監(jiān)控總膽固醇偏高情況出現(xiàn).點晴：(1)本題主要考查相關(guān)系數(shù)，考查回歸直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱用相關(guān)系數(shù)來衡量.相關(guān)系n(x-x)(y-y) i= 1r= In n工體-了工年:丫尸數(shù)： / =】 i = 1r>0,表示兩個變量正相關(guān)；r<°,表示兩個變量負(fù)相關(guān)；的絕對值越接近1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強。的絕對值越接近0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常，的絕對值大于0.75時，表明兩個變量的線 性相關(guān)性很強.20.已知拋物線<=的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上有一點P(m,5

24、)到焦點的距離為6.(1)求該拋物線C的方程；(2)已知拋物線上一點過點M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD,ME,判斷直線DE是否過定點，并說明理由.【答案】(1) x? = 4y； (2)過定點(-4,8)【解析】分析：(1)根據(jù)拋物線性質(zhì)求出p,得出拋物線方程：(2)設(shè)MD斜率為k,聯(lián) 立方程組,求出D, E的坐標(biāo)，得出直線DE的方程，從而得出結(jié)論.P2y =-詳解：(1)由題意設(shè)拋物線方程為x =2py,其準(zhǔn)線方程為 2,P(m,5)到焦點的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離，Po- 5 + - = 6Z p = 2所以拋物線方程為 二 4y由可得點M(4,4),設(shè)直線MD的方程為：y=k(x-

25、4) + 4,第13頁共17頁|y = k(x -4) + 4 聯(lián)立I x2 = 4y,得x2-4kx + 16k-16 = 0.XM Xl = 16k-1616k-161 =4k-414(4k4廣 2y 二二 4(k-l)144： x2 =- - - 4同理可得 k12y2 = 4(r+1)K2 1 24(k-l) -4(- + l)2所以直線DE的方程為y - 4（k- 1）2 =44k - 4 + + 4k (x - 4k + 4)1 1(k + -)(k-2)1 k+ -k1(k - - 2)(x -4k + 4) (x-4k + 4)= ky = (k - 2)x + 4k - -=

26、 (k- 2) 化簡的 kk k (x + 4) + 8直線DE過定點（-4,8）.點睛：（1）本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線和拋物線的位蜜關(guān)系和直線的定 點問題.（2）定點問題：對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條 件的曲線過定點問題，證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明： 即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或 該曲線上（定點的坐標(biāo)直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)入WR,結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式G（x,y）入2 + f#,y）入 + f#,

27、y） = 0,（一般也 *（x,y）（i = l,2,3）為關(guān)于x,y的二元一次關(guān)系式）由§”,丫） = 0f2（x,y） = 0上述原理可得方程組G（xM = o,從而求得該定點.21.已知函數(shù)f（x） = ln（x + l）-ax, aR（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;lnxh（x） =當(dāng)x21時，設(shè)貂）=f（x-l）,x + 1,滿足g（x）4h（x）恒成立，求a的取值范圍.第17頁共17頁1H + °°)【答案】(1)見解析：(2) 2【解析】分析：(1)討論a的符號，判斷f(x)的符號，從而得出f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)令m (x) =g (x) -h

28、 (x),討論a的范圍，判斷以”)的符號，得出結(jié)論.詳解：(1)因為f(x) = ln(x + l)-ax,所以定義域為(-1, +,1 l-a(x+l)f (x) = a =(x > 0)所以 1 + xx+1當(dāng)a $ 0時，f(x)> 0恒成立，所以f(x)在(0, +間上單調(diào)遞增。1.x = -1當(dāng)a>0時，令f(x)=0,則 a1 1xe(-i-i),(-1-1)當(dāng) a , f(x)>0,所以f(x)在a 上單調(diào)遞增,1 1X E (- 1, + OO) ,(-1, + 8)當(dāng) a , f(x)<0,所以f(x)在a 上單調(diào)遞減, 綜上所述：當(dāng)a 4 0時

29、，f (x) 2 0恒成立，所以f(x)在。+再上單調(diào)遞增.1 1xE(-l-l) .(-1-1)當(dāng) a , f(x)>0,所以f(x)在a 上單調(diào)遞增,1 1X E (- 1, + OO) ,(-1, + 8)當(dāng) a , f(x)<0,所以f(x)在a 上單調(diào)遞減,(2) Mx) = ln(x + 1) - axxlnx - a(x2 -1) g(x) = f(x -1) = lnx - a(x -1)lnx-a(x -1)g(x) - h(x) = lnxx + 129 m(x) = xlnx-a (x - 1)(x2 1), m (x) = lnx + 1 - 2ax.1 -

30、 2axF(x)=令 F(x) = m(x)= lnx + 1 - 2axx若a«0, F(x)>0, 01儀)在1, + 8)遞增，m(x)>m(l) = l-2a>0 m(x)在口#8)遞增,m(x) Am(l) = 0從而g(x)-h(x)之0,不符合題意.1 1 10 < a < -x W (1,).(1,)若 2,當(dāng) 2a, F(x)>0, m(x)在 2a 遞增, 從而m(x)2m(l)=l-2a,以下論證同 一樣，所以不符合題意.1a N 1若2, F (x) 4 °在1, + 8)恒成立, m (x)在1, + 8)遞減，

31、m (x) 4 m (1)= 1 - 2a 4 0,從而m(x)在。+ 8)遞減m (x) 4 m =0, g(x) - h(x) 4 0,1-,+ °°)綜上所述，a的取值范圍是2點晴：(1)本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)恒成立問題與函數(shù)單調(diào)性、lnx- a(x -1)=最值的關(guān)系.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是轉(zhuǎn)化為g(x)h(x)= lnxx + 1 xlnx-a(x2 -1)x + 1 WO,即m(x)=xlnx-a H-Dwo,其二是利用導(dǎo)數(shù)求m(x)的最大值.,X=l + tCOS0'/22.已知直線/的參數(shù)方程："為參數(shù))，曲

32、線C的參數(shù)方程:y = tsinO- = Scosa (。為參數(shù))，且直線交曲線。于4,8兩點. y = sina(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，并求6 = 7時，M邳的長度;巳知點P(LO),求當(dāng)直線傾斜角夕變化時，|夫人卜|尸耳的范圍.【答案】(1) y+r =1, |>/2 ； (2) I，【解析】試題分析：(I)利用cos?a + siifa = l消參后可得曲線C的普通方程，把6=2代入交消去參數(shù)f 4可得直線/的普通方程，再把直線方程代入曲線C方程，結(jié)合韋達定理、弦長公式AB = J1 + W% - x2| 可得弦長；(II)直線/的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，直接代入曲線C的普通方程，A、B兩點參數(shù)乙也是此方程