西工大計算方法試題參考(完整版)

1、西工大計算方法試題參考（完整版）2002-2003 第一學(xué)期一.計算及推導(dǎo)(5*8)1 .已知x* =341，x=n ,試確定x*近似x的有效數(shù)字位數(shù)。2 .有效數(shù)x1 =-3.105,x2 "Oom =0.100 ,試確定x1 +x2+x3的相對誤差限3 已知 f (x) =0.5x3+0.1x+2 試計算差商f，1，2,314 .給出擬合三點A蟲0，1)=(1，°/DC =(1，1)的直線方程。5 .推導(dǎo)中矩形求積公式ba b 13a f(x)dx=(b-a)f(H 24 f ( )(b-a)3bnf (x)dx : % A f (xj6 .試證明插值型求積公式,a$的

2、代數(shù)精確度至少是n次。7 .已知非線性方程x=f(x)在區(qū)間區(qū)b】內(nèi)有一實根，試寫出該實根的牛頓迭代 公式。8 .用三角分解法求解線性方程組一121、 一022 3 x2 卜 3-1 -3。川.2二.給出下列函數(shù)值表xi0.40.50.60.70.8f(xi)0.389420.479430.564640.644220.71736要用二次插值多項式計算f(0.63891)的近似值，試選擇合適的插值節(jié)點進行計 算，并說明所選用節(jié)點依據(jù)。(保留5位有效數(shù)字)(12分)已知方程x+lnx=0在98內(nèi)有一實根a(1)給出求該實根的一個迭代公式，試之對任意的初始近似x0 (0，1)迭代法都收斂，并證明其收

3、斂性。(2) x0 = 0.5試用構(gòu)造的迭代公式計算a的近似值xn ,要求xn xn,-10 0 四.設(shè)有方程組當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時，雅可比方法對任意的初始向量都收斂。寫出與雅可比方法對應(yīng)的高斯賽德爾迭代公式。(12分)五.用歐拉預(yù)估校正法求解初值問題y' =y-2xy(0<x<0.2)y(0)=i取h=0.1 ,小數(shù)點后保留5位。(8分)y = f (x, y)6 .證明求解初值問題I y(x°) = y°的如下單步法yn 書=yn + K2Ki =hf(Xn,yn)11K2 =hf(Xn+1 Ki)是二階方法。(1°分)7 .試證明復(fù)化梯

4、形求積公式b 一h 一n，一 一b-af(x)dx ： (f(x°) 2，f(Xi) f(Xn)h=a2yn對任意多的積分節(jié)點數(shù)n+1,該公式都是數(shù)值穩(wěn)定的。(6分)2°°3-2°°4 第一學(xué)期一.填空(3*5) *1,近似數(shù)x =°.231關(guān)于真值x=°.229有-位有效數(shù)字nr *2. 4x的相對誤差為x的相對誤差的>0 3,設(shè)f(x)可微，求x = f(x)根的牛頓迭代公式 <f (x)dx ,：二：Ai f (xi)4 .插值型求積公式af的代數(shù)精確度至少是次5 .擬合三點A =(1，°)，B

5、=(1,3)和C =(2,2)的常函數(shù)是 已知f(x)有如下的數(shù)據(jù)x123f (x)2412_ ，f (x)3試寫出滿足插值條件P(x)=f供)以及p'=f '(2)的插值多項式p(x),并寫出 誤差的表達形式。1. (1)用復(fù)化辛浦森公式計算Ie”為了使所得的近似值有6位有效數(shù)字，問 需要被積函數(shù)在多少個點上的函數(shù)值?(2)取7個等距節(jié)點(包括端點)用復(fù)化辛浦森公式計算 L 'lgxdx,小數(shù)點 后至少保留4位。3四.曲線y =x與y =1-x在點(0.7, 0.3)附近有一個交點(x，y),試用牛頓迭 代公式計算X的近似值“，要求xn-xn-1 -10五.用雅可比方

6、法解方程組1 2 -2 為 51 1 1 x2 = 12 2 1可是否對任意的初始向量x(0)都收斂，為什么？取x(0)=(0Q0)T ,求出解向量的近 六.用校正一次的歐拉預(yù)估校正格式求解初值問題max xi似向量，要求滿足1gM.(k 1) _ v(k) i - xi<10o '2 =y +1、y(0) = 0 的解函數(shù)在x = 0.6處的近似值，要求寫出計算格式。(步長h =0.3，小數(shù)點后保 留5位有效數(shù)字)'-，、j y = f (x,y)七.設(shè)有求解初值問題、y(x0) = y。的如下格式y(tǒng)n 1 =ayni byn chf (xn, yn)如假設(shè)yn4=y(

7、x2),yn = y(xn)問常數(shù)a,b,c為多少時使得該格式為二階格式?2005-2006 第二學(xué)期一.填空(3*5) *1.設(shè)近似數(shù)x1 =1.2250,x2 = 0.5168都是四舍五入得到的,則相對誤差 * *、er(x1x2)<0x1 =2.82 .矛盾方程組1x1= 3.2的最小二乘解為 。 *3 .近似數(shù)x = 0.01999關(guān)于真值x = 0.02000有位有效數(shù)字.4 .取向力.732,迭代過程yn* = yn +0.1出是否穩(wěn)定？ 35 .求積公式1 f(x)dx=2f(2)有幾次的代數(shù)精確度？2 .取初值x0 =1.6 ,用牛頓迭代法求 的近似值，要求先論證收斂性。

8、當(dāng) xn + -xn <10時停止迭代。2y 二 a - bx3 .用最小二乘法確定x 中的常數(shù)a和b,使該曲線擬合于下面的四個點(1, 1.01 ) (2, 7.04) (3, 17.67) (4, 31.74)(計算結(jié)果保留到小數(shù)點后4位)(k)四.用乘幕法求矩陣A的按模最大的特征值 加的第k次近似值褊 及相應(yīng)的特征向量x1,要求取初值U。-(1,1,1)且-1-1-105 1 -21 01這里A6 1句9x1 - 2x2 x3 =6-x1 8x2 - x3 = 8五.考察用高斯賽德爾迭代法解方程組一"x2 8x3= -8收斂性，并取 x(0)=(1,0,0)T ,求近似解

9、 x(k*) ,使得產(chǎn) -xi") -10 (i=1 , 2, 3) 六.已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y = f (x)的如下數(shù)據(jù)X-1.12 0.001.80 2.20f(xi)-1.10 -0.50 0.90 1.70用插值法求方程f（x）=°在區(qū)間（0.00, 1.80）內(nèi)根的近似值。（小數(shù)點后至少 保留4位）I _ 1 dx七.設(shè)有積分04 + x取5個等距節(jié)點（包括端點）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值表（小數(shù)點后至少保留 4位）用復(fù)化的simpson公式求該積分的近似值，并且由截斷誤差公式估計誤差大小。xy=0y八.給定初值問題y（0） =0 1MxM1.4寫出Euler

10、預(yù)估校正格式取步長為0.2 ,計算在1.4處的函數(shù)的近似值。九.設(shè)矩陣A對稱正定，考慮迭代格式(k 1) x(k)=xx(k由)+x(k)2，-b>0,k=0,123對任意的初始向量x（0），x（t）是否收斂到Ax = b的解，為什么?2006-2007 第一學(xué)期一.填空 *1）近似數(shù)x =1.253關(guān)于真值x = 1.249有位有效數(shù)字；1nnf（x）dx : " Ak f（xk）' Ak2）設(shè)有插值公式揖 ，則心 =;（只算系數(shù)）*e （土）<*er （ * ） 3）設(shè)近似數(shù)x1 =0.0235, x2 =2.5160都是有效數(shù)，則相對誤差 x2 4）求方程x

11、 = 8sx的根的牛頓迭代格式為 ;X x1 x2 =12x1 2x2 = 2-x1 - x2 = 1x x1 x2 =15）矛盾方程組 的+2x" 7與小+2x2 = -1得最小二乘解是否相同 0x二.用迭代法（方法不限）求方程 xe =1在區(qū)間（0, 1）內(nèi)根的近似值，要求 一.一 一2 .先論證收斂性，誤差小于10時迭代結(jié)束。2 x三.用最小二乘法y=ax +be中的常數(shù)a和b,使該函數(shù)曲線擬合與下面四個占八、(1, -0.72 ) (1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)(結(jié)果保留到小數(shù)點后第四位)四.用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組0 2

12、0、5、1 0 1乂232 4 3乂3171 0 3<x4J101五.設(shè)要給出f(x)=c0sx的如下函數(shù)表xix0 hXoXo +hf(xi)f(xo -h)f (Xo)f (Xo +h)用二次插值多項式求f(x)得近似值，問步長不超過多少時，誤差小于10。六.設(shè)有微分方程初值問題<y-2y-4x,0<x<0.2:y(0) =21 )寫出歐拉預(yù)估一校正法的計算格式；2)取步長h=0.1 ,用歐拉預(yù)估校正法求該初值問題的數(shù)值解(計算結(jié)果保留4位小數(shù))。I _ 1巫7 .設(shè)有積分.01+x取11個等距節(jié)點(包括端點0和1),列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值 (小 數(shù)點侯保

13、留4位)；用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截斷誤差公式估計誤差大小(小 數(shù)點侯保留4位)。8 .對方程組q 2 -2 Yx14、1 11 I x2 = 10 21 >3； 311 .用雅可比迭代法求解是否對任意初始向量都收斂？為什么？2 .取初始向量x =(0,0,0)T,用雅可比迭代法求近似解x"),使x(k力-x(k) <107(i =1,2,3)九.設(shè)f(x)在區(qū)間a , b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0 ,試證明1omax f(x) -g(b -a) max f (x) a ：x ：b8a ：x d1: (1)3 (2) 2 (3) 0.

14、0023xk 1 = xk(4)xk -cosxk1 sin xkxk sin xkcosxk , 八，八=_jkkk , k = 0,1,2,.1 sin xk(5)2.方程的等價形式為 x=e,Xk迭代格式為Xk書e 。收斂性證明；當(dāng)x'91)時,'(x) =e):二 e0 =1所以依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收斂取迭代初值為x。=0.5,迭代結(jié)果如下nxn| xn - xn00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006312.

15、71828 -0.7214.481691-0.027.38906!b?0.6112.18249 _0.32 _矛盾方程組為-6.25對應(yīng)的正則方程組為3.xn11.52.02.5x212.254.06.25exn2.718284.481697.3890612.18249一 12.254.061.125118.4989 a _3.76518.4989 230.4859b卜538196_解得 a = 2.0019, b=1.0009所以擬和曲線方程為4. 由矩陣 Doolittle2xy= 2.0019X -1.0009e0 2 05、10 2 05、1 0 130 10 132 4 31712

16、2 161 0 37TP 1 0 24,分解的緊湊記錄形式有1010回代求解得X4 = 4 = 221，一、CX3 =萬(6-1 X4) =2X2 =3 -0x3 -1x4=1X1 =5 - 0X2 - 2X3 - 0X4f1 =1方程組的解向量為x=。1,2, 2)T.maX5. 令 XkjWff/、,、,、(X-Xkj)(X-Xk)(X-Xk+) <103!可求得h <0,2498 (或h <0,2289)6. y* =1.6, y1 =1,62,y20) =1.256, y2 =1,27247. 0.6932R(f)_ 5<1,3333x10 58. (1) Ja

17、cobi迭代法的迭代矩陣為0-1-2-20-2-10譜半徑P(BJ)=0<1.此時Jacobi迭代法對任意初始向量都收斂.(2)4、8、2、2、(1) x =1(2) x =- 6(3) x =0(4),x =07 1X0 = a, X1=b為插值節(jié)點9.做 Lagrange 插 值 ：1.1.f(x) = L1(x) a f()(x -a)(x -b) = f( )(x-a)(x-b)其中沁)3a，b。1 .1.12.max f(x) Mmaxf (_)(x _a)(x _b) -2max f (x) max (x-a)(x-b) q(ba) max f (x) ag 災(zāi)aq m 2!

18、2aqma448a44計算方法2006-2007第二學(xué)期1填空*1) .近似數(shù)x =0.0142關(guān)于真值x = 0.0139有為有效數(shù)字。1n1f (x)dx ： % Ak f (xj2) 適當(dāng)選擇求積節(jié)點和系數(shù)，則求積公式y(tǒng)的代數(shù)精確度最高可以達到次.*_ *_3) 設(shè)近似數(shù) 刈=0.0235 , x2 =2.5160都是四舍五入得到的，則相對誤差,* *、e- (x1 x2)的相對誤差限*5*, *、4) 近似值y 7 的相對誤差為er(x)的 倍。5)擬合三點A(0,1), B(1,3), C(2,2)的平行于y軸的直線方程為 .2.用迭代法求方程x2 +2xex+e2x =0在(-1

19、, 0)內(nèi)的重根的近似值xn書。要求41)說明所用的方法為什么收斂；2)誤差小于10時迭代結(jié)束。3,用最小二乘法確定y = ax2+blnx中的a和b,使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個點(1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71)(計算結(jié)果保留至 Uxi1.01.11.2f(xj0.010.110.244設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在一些點上的值如下小數(shù)點后4位)寫出中心差分表示的二階三點微分公 式，并由此計算f (1.1)。5已知五階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y = f(x)的如下數(shù)據(jù)xi01f(x。01f'(Xi)01f''(Xi)0試求滿足

20、插值條件的四次多項式p（x）.6設(shè)有如下的常微分方程初值問題也=X,1<xE1.4 dx yy=1寫出每步用歐拉法預(yù)估，用梯形法進行一次校正的計算格式。 取步長0.2用上述格式求解。7設(shè)有積分I0.62ex dx1）取7個等距節(jié)點（包括端點），列出被積函數(shù)在這些點出的值（保留到小數(shù) 點后4位）2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值。8用LU分解法求解線性代數(shù)方程組1 10 21 -1<2 22125XiX2X39 X43、137J9當(dāng)常數(shù)C取合適的值時，兩條拋物線y = x2+x+c與y=2人就在某點相切,試取出試點a =0.3,_工用牛頓迭代法求切點橫坐標(biāo)。誤差小于 10時

21、迭代結(jié)束。參考答案；1: （1）2,2解：將方程變形為(2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3(4) 1/5 (5) x=1(x eX)2 =0即求x+eX=0在（-1, 0）內(nèi)的根的近似值Xn書X x - e n牛頓迭代格式為Xn 1 = Xn -8好1 eXn收斂性證明；局部收斂定理 結(jié)果 X4 =-0.56714。3用最小二乘法正則方程組為解得 a=1.0072; b=0.456361.125a+9.41165b = 65.869.41165a +1.48446 =10.15864.解推導(dǎo)中心差分格式1f (X1)2(f(X0 f(X2)-2f(X1)h得到 f'

22、9;(1.1) =35 解p(x). = -2x4 +3x3f (. ) ° c截斷堤差R(x) =x (x -1)5!6y(1.2) =1.2; y(1.4) =1.470.68058(0101)9解兩條曲線求導(dǎo)1y' = 2x +1 和 y' = x 21切點橫坐標(biāo)一定滿足2x 1 = x下將等式變形為 f (x) = 4x3 4x2 x -1牛頓迭代法結(jié)果為0.347812007-2008 第一學(xué)期1填空(15分)1)設(shè)近似數(shù)至2270 , % =0.8009都是四舍五入得到的，則相對誤差，* *、 I ,er (x1 x2)2)擬合三點A(3,1), B(1,

23、3), C(2,2)的平行于y軸的直線方程為 一*3)近似數(shù)x =0.0351關(guān)于真值x = 0.0349有 位有效數(shù)字.1n -1f(x)dx % Ak f (xk)4)插值型求積公式仁至少有 次代數(shù)精確度.5） Simpson（辛浦生）求積公式有 次代數(shù)精確度.322. （10分）已知曲線 y=x +2.89 fy =2.4x +0.51x在點（1.6,6.9 ）附近相切, 試用牛頓迭代法求切點橫坐標(biāo)的近似值 xn書，當(dāng)“中一xn -10誤差小于10工時停 止迭代。3. （10分）用最小二乘法確定y = ax2+b1nx中的常數(shù)a和b，使得該函數(shù)曲線,7.3), (3,16.9), (4,

24、30.6)(計算結(jié)果保擬合于下面四個點（1 , 2.01）, （2 留到小數(shù)點后4位）4.（10分）用乘幕法求矩陣（k）值4及相應(yīng)的特征向量5. （10分）設(shè)有方程組(k)Xia1-321032411的按模最大的特征值。要求取初始向量u°=（121）T,且(a 二 0)%的第k次近似(k) (k1)1 1<0.10寫出與Jacobi迭代法對應(yīng)的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩陣為：當(dāng)參數(shù)a滿足什么條件時，Jacobi方法對任意的初始向量都收斂。6. （10分）已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y = f（x）的如下數(shù)據(jù):Xi12f (Xi)05f'(X

25、i)110''.、試求滿足插值條件p（xi） = f（x）,p（xi） =f （xi）的三次插值多項式p（x）,并寫出截斷誤差R（x） = f（x）-p（x）的導(dǎo)數(shù)型表達式（不必證明）I = x3exdx7. （15分）設(shè)有積分 ed1）取7個等距節(jié)點（包括端點1和2）,列出被積函數(shù)在這些節(jié)點上的函數(shù)值表 （小數(shù)點后至少保留4位）；2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值，并由截斷誤差公式估計誤差大小。8. （10分）給定初值問題2y L =0,y(1) =1,1 ： x <1.4x寫出歐拉(Euler)預(yù)估-校正的計算格式;取步長h =0.2,求y(1.4)的近似值

26、。9. (10分)用迭代法的思想證明：lim .2 .2 I" 2 =2(等號左邊有k個2)。參考答案：1 : (1)6.78 X10-5, (2) x=2 (3) 222 .切線斜率相等：3x =4.8x+0.51(4) n-2 (5) 323x2 4.8x 0.51 =0xn 1 = xn牛頓迭代格式：23xn -4.8xn 0.516xn -4.8取 x0=1.6,得 x1-1.70625, x2 =1.70002,x3 -1.70000, x4 =1.700003.矛盾方程組:a =2.014a +bln 2 =7.39a bln 3 =16.916a bln 4 =30.8正則方程組:35434.8408134.84081672.913.60921 人bj 66.04713,4.取初始向量V (0) =(1心1)V