橢圓的極坐標方程及應(yīng)用

1、橢圓的極坐標方程及其應(yīng)用22x y 如圖，傾斜角為且過橢圓C：-2i（a b 0）的右焦點F2的直線l交橢圓C于P,Q兩點，橢圓a b1C的離心率為e,焦準距為p ,請利用橢圓的第二定義推導(dǎo) PF2,QF2,PQ ,并證明： PF22改為：拋物線y 2 px（ p 0）呢例1. （10年全國n）已知橢圓2Cja直線與C相交于A, B兩點.若2當(dāng) 1(a b b2I3FB ,求 k。0）的離心率為,過右焦點F且斜率為k（k22練習(xí)1. （10年遼寧理科）設(shè)橢圓 C：= y- 1（a a2 b2b 0）的右焦點為A, B兩點，直線l的傾斜角為60o, aF 2FBC的離心率;x2例2.（07年全國

2、I）已知橢圓31的左、右焦點分別為 F1 , F2 .過F1的直線交橢圓于 B, D兩點,過F2的直線交橢圓于 A, C兩點，且AC BD,垂足為練習(xí)2. （05年全國n） P、Q M N四點都在橢圓X2PF與FQ共線，MF與FN線，且PF MF 0.求四邊形0)的F,過點F的直線l與橢圓C相交于P,求四邊形ABCD的面積的最值.1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知PMQN勺面積的最小值和最大值例3. （07年重慶理）如圖，中心在原點。的橢圓的右焦點為 F（3,0）,右準線l的方程為x 12.（I）求橢圓的方程；（n）在橢圓上任取三個不同點P,P2,R,使 P1FP2P2FP3P3FP1,

3、證明:| FP1 | IFP2 | | FP3 |1為定值，并求此定值.2推廣：已知橢圓與a2 y_ b21(a b0), F是橢圓的右焦點,在橢圓上任取n個不同點P,P2, ,Pn,若2y 1的右焦點為F,右準線l ,點A l ,線段AF交C于點Bo若PFP2P2FP3Pn iFPnPnFPl,則i 1 | PFi |，你能證明嗎ep練習(xí)3.(08年福建理科)如圖，橢圓2 y . b21(a b0)的一個焦點是F (1, 0), O為坐標原點.(I)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程;(n)設(shè)過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動，值有 OA2

4、|OB2 AB2,求a的取值范圍作業(yè)1.(08年寧夏文)過橢圓2 1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A, B兩點，。為坐4標原點，則4 OAB的面積為作業(yè)3.( 15年四市二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的頂點都在橢圓22吃 與 1(a b 0)上，對角線 AC與BD分別過橢圓的左焦點Fi(1,0)和右焦點 F?。,。)，且a bAC BD ,橢圓的一條準線方程為 x 4(1)求橢圓方程；(2)求四邊形ABCD面積的取值范圍。練習(xí)4. (08年安徽文)已知橢圓22cj卡1(a> b> 0),其相應(yīng)于焦點F(2,0)的準線方程為x=4.(I)求橢圓C的方程;

5、例2.直加LR瀛 yT ,寸i+y產(chǎn)二.A(ig T F>p R (力 丁 yJ .,."=3Fit 串工了產(chǎn)一3y1T 乂“-三 t iBc= V 3 t；X.，x 4-4y -4t TL方程力工;»y4t，.代入浦去x 1t工(at +442Ax2x/T=t1 , 2tlfft . a*丁1，一 ±lTlj.n-Sfi-i-司+4 +4普+4=上=V 2 .故選IK2另!IL送取右宏電F為根y點.在忙租堂標方程.如圉1可有r Krn=p XxLhje# ftM融F，且14k。.,用科Mln/) 一FA = 一里.=1 +ft(!fiafA+TF)1 CS

6、C OR 0K*=3鋪二細 工1ftMS fl二5i '. Q =即 k=ta.n tt=/ 2 e3(U)以F為槿點門軸正方何的射線 JJ3H為極軸建寸板坐標系，則懈愧?十$ = 1(0 b 。)的銳坐孤方程為戶= i攵豈為離心率，p為焦點到Ml應(yīng)腐找 的距離).不妨設(shè)/汽=火虎。暖 90°),由 AC _L 笈,得 Bf, X = fl + 90 ZCf, I1三& ： 18(frZ 口/ £ =療 + 270*%而 ' 1 - HMtf*舞 可題等許于如圖所示橢圓中四邊形的 面積,建立如右圖 極曬標系.設(shè)( P0X =心財 RMJX =葉/6

7、4 1800：J hj a，I BD |_%_ _ . _電 . 于是$ .1 - em(6 + 2700)1 _/莉 8練習(xí)2.二18 11 ecostn ff)I 坦 i = icri+igi=冏+程=/QDX =汁*,ZN0X+ m)-b1 ecos( +在0上單調(diào)遞減.及 = £,二2,故 當(dāng)jt - I時，四邊版AHC"的面樹最小r最小 值為丁誓：當(dāng)£ 二口時，四邊形乂 S&) 的血枳最大，最大值為2必 當(dāng)I = 3,A3 = 2 時，四邊形4HCR的面積的最小值和最大值 分別為票和4琮上M邊形，”辦的胤積的最小也為某i(i 1,2,3)，不失一

8、般性二 5pM3 n J | MV j | 叼=1 一 "_(1>2 (1 / CDS1 的(】一/ 畝 n 汨)由已知/ + M = 1.不弊求得E =6 = 1代人口)式化值得口13 pMs = 1：(1 eos-0) (I k*n* 幻2211而(1 cos2W(l 爹雪ir?G1 . 1 - j r 1 9 =才+'3inV E L方 216Z 16:* 竽SpMQn & 222例3.解：(I)設(shè)橢圓方程為)2 221.a b因焦點為F(3,0),故半焦距c 3.又右2a準線l的方程為x ,從而由已知 c212,a236,c因此 a 6,b a2 c22

9、7 3 3.22故所求橢圓方程為y-1.36 27(n)方法一：記橢圓的右頂點為 A,并設(shè) AFPi1-3-,且 2又設(shè)點Pi在l上的射影為Qi,因橢圓的離心率ec 1,據(jù)橢圓第二定義得a 2cos(1n )sin sin(222n 1. ) sin(2n 12)1)將上述n 1個式子相加得|FPi IIPQi |e1_ FPi9(1c1 -cos2c | FPi | cos i )e2(9FR cos i) (i1,2,3)-coscos(cos(i)(i1,2,3).7coscos(cos(1FP11FP21FP313 (cos2cos(cos( 1證明：記橢圓的右頂點為A,并設(shè)1 cos

10、(cos( 1cos1 -cos2、3 .sin21-cos2in1 (且FP1FP2FP32-3(定值)方法二：記橢圓的右頂點為A,并設(shè)AFRi(i1,2,3），不失一般性假設(shè)，且又設(shè)點|FPiIP在l上的射影為14一,另設(shè)點13P(x,yi),則 x | FJF |cos i 3,yi| PF | sin,二點Pi在橢圓上，(| PF | cos i363)22(|PF |sin i)271FPi9(2cosi） （i 1,2,3），以下同方法FP1推廣:FP2FP3弓 I理 1： cos cos(1FPi2-一（定值）3cos(cos(sin" 2cos( 2sin 21 證明

11、：cos sin sin( 22sin(2)，、1，.，cos()sin sin(227)sin(2)、1n )sin - -sin( 22.(n 1)sinAFPi2n 1 、./-2-)sin( cos( g)2 )i(iQi,據(jù)橢圓第二定義得1,2,sin2,n）,不失一般性2|PQi |e ( c | FPi |cos i)e(i 1,2, c-a2 (1 ecos i) (i b13 n ecosi 1 | PFi | b2在引理1中，令.n /sin cos( 1n 1i 1 |PFi |練習(xí)3.(n,n)1,2, ,n).cos( 1,則 cos-)ncos(2(n 1) n)s

12、in cos(cos(-)ncos( 12(nn»)(n1nsin2 na b".sin n解法一：（I ）設(shè)M N為短軸的兩個三等分點,因為 MN叨正三角形,所以O(shè)F MN ,22222，、一 x ya2 b2 1 4,因此，橢圓方程為工 1.43(陰設(shè) A(Xi,yi),B(X2,y2).( i)當(dāng)直線 AB與X軸重合時，222222OA OB2a2, AB4a2(a2 1),因止匕，何有OA2 |OB2 |AB2.(ii )當(dāng)直線AB不與X軸重合時，解（1）容易求得橢網(wǎng)方程為4十= 43?）設(shè)區(qū)餞的幀斜角為磯He時】，則由桶圓的橫坐標方程叫得22設(shè)直線AB的方程為：x

13、 my 1,代入勺 4 1, a b整理得(a2 b2m2) y2 2b2my b2 a2b2 0,所以小y22b2m2-22a b m，yy2.22, 2ba b22ab m一、一一 i 222因為恒有|OA |OB | AB ,所以AOB亙?yōu)殁g角.即 OApB (x1,Y1)|(x2,y2) xx %丫2 0恒成立.2x%Y1Y2(my11)(my2 1)丫仇(m1)yy2m(Y1¥2)1222 2(m 1)(b a b )2 Z22a b m2 2. 2 . 22. 2m a b b a b2 22b m2 a2 a由于 13rMl0"+|加2OFAFcme依時工口葉

14、+加產(chǎn)一2|0日忸產(chǎn)同學(xué)"MM' =（|肝|+.=|"+忸尸f仍|四, 故直線/繞點F任意轉(zhuǎn)動，但有I*+幽<|河,即對任意的。仁【。，工），恒有卜日怛日> 1 + （網(wǎng)幽）0«。,即對任意的日口0,江3.,*, （a2 - I）2 a' -（2oz -l）cos2 &怛有 +上 > 3蕓一，Q cos & 口 COS 0即對任意的武。，五），布如（1 T）3 一 /白恒有 一T; > -COS/? 2a- -1因為白下】i -ccsHWU,即解得一二I,又 a2+b2n2>0,所以-rma2b2+b2

15、- a2b2+a2<0 對2,22a b m m R恒成立，0.即 a2b2m> a2 - a2b2+b2對 m R恒成立.當(dāng)m R時，a2b2M最小值為0,所以a2- a2b2+b2<0.a2<a2b2- b2, a2<( a2-1) b2= b4,因為 a>0, b>0,所以 a<b2,即 a2- a-1>0,解得a>35或a<35(舍去)，即a>L5222綜合(i ) (ii) , a的取值范圍為(LJ5 , + )2作業(yè)1.作業(yè)2【解析】本小題考查橢圓的準線、向量的運用、橢圓的定義，基礎(chǔ)題。解法解：過點B作BM l于M,并設(shè)右準線l與X軸的交點為N,易知FN=1.由題意FA 3fB , a IBM |工.又由3橢圓的第二定義，得|BF|立2 | AF | 42.2 33作業(yè)3.舸：，j由題意：心=1.Wo = 2 r C*L yijh1 = a: -c- = 3 .故此時,（2）設(shè)固邊形HBC口面積為£若/C與日D中有一條與， 若4C馬日斜率均存作業(yè)4.«r（I ）悔圓C的方理為（+ ：二乂過程略t（口）由頻意得"泉戶=d=2,由性質(zhì)一知,IA