有關(guān)球的高考題復(fù)習(xí)課程

1、1 .（2014 陜西高考理科 T5）已知底面邊長(zhǎng)為 1,側(cè)棱長(zhǎng)為、叼的正四棱柱的各 頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）.Siu 一 . 一 如A. B.4 兀 C.2 兀 D.【解題指南】 根據(jù)截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理,求出球的半徑，代入球的體積公式求解.【解析】選D.由正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，可設(shè)正四棱柱的上底所 在截面圓的半徑為 Ri,則R；+R；=1可得R；=；;又側(cè)棱長(zhǎng)為 三，所以球心到截面 圓的距離d=;由截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得球半徑R=j咫-膜-蓑1,代入球的體積公式得球的體積為票.2 .（2016全

2、國(guó)卷n文科 T4）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.12 乳 B. 32 n C.8 n D.4 乳 3【解題指南】利用正方體的體對(duì)角線就是球的直徑求解【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為8,所以正方體的棱長(zhǎng)為 2,其體對(duì)角線長(zhǎng)為 2石,所以正3 .（2015 新課標(biāo)全國(guó)卷II理科T9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90° ,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O 的表面積為（）A.36 兀 B.64 兀C.144 7tD.256 7t【解題指南】 當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積 最大，利用VO

3、-ABC=VC-AOB列出關(guān)于半徑R的方程，求出球的半徑，然后求出球的 表面積.【解析】選C.如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ii1 .ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,此時(shí)Vo-ABCuVc-AOBuXtFxRqRSG，故 3 26R=6,則球O的表面積為S=4 兀 R2=144 兀.4.（2016 全國(guó)卷田 文科T11）與（2016全國(guó)卷3理科T10）相同在封閉的直三棱柱ABC-A 1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球.若AB，BC,AB=6,BC=8,AA 1 =3,則V的最大值是（）A.4nB C.6nD.半【解題指南】注意當(dāng)球和直三棱柱的三個(gè)側(cè)面內(nèi)切時(shí)，球已

4、不在直三棱柱內(nèi).【解析】選B.當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大.在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)，因?yàn)锳B JBC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r= 6 8 10 =2,直徑為4側(cè)棱.所以球的最大直徑為3,半徑為3，此時(shí)體積V=.222方體的外接球的半徑為石，所以球的表面積為 4汽（石）2=12支.5. （2010 遼寧高考文科T 11）已知S, A, B, C是球O表面上的點(diǎn)，SA，平面ABCABL BC, SA=AB=1, BC=T2，則球O的表面積等于（）（A） 4（B） 3（C）2（D）【命題立意】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式

5、.【思路點(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系設(shè)球心坐標(biāo)+ 球的半徑1 球的表面積【規(guī)氾解答】選A. Q SA平面ABC, AB, AC平面ABC,SA AB ,AS所在的直線為z軸建立如圖所示,C（0,73,0）, s（0,0,i）,設(shè)球心 OB, C的距離相等，都等于球的半SA AC故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為y軸，的空間直角坐標(biāo)系 A-xyz ,則 A（0，0，0） , B（g，g，0）坐標(biāo)為（X0,y0,z0）,則點(diǎn)。到各頂點(diǎn)S, A,徑R.2222X0y0Z0R（x0-）2 （y0"）20）2 R233（X。0）2 （y。3）2 （Z0 0）2R一.一 二-球的表面積為4 R414.故選

6、A.【方法技巧】1.選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來(lái)確定球心，才能求出半徑，2.也可用另外的方法找到球心，因?yàn)? ABC是直角，所以AC是 過(guò)A, B, C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過(guò) AC和平面 ABC垂直的平面上，可知球心在平面 SAC中，又因?yàn)榍蛐牡?占 八、S, A, C的距離都相等，且 SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為 SC的一半，3.另外，可將三棱錐 S-ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體進(jìn)行求解.6. （2010 -海南寧夏高考理科 T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱 的長(zhǎng)為a ,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）（X。0）2 （y0 0）2 （Z0 1）

7、2R2-31 ,解得 x0 0, y0 -2-,z02,R 1,(A) a2(B) 7 a2(C) 11 a2(D) 5 a233【命題立意】 本小題主要考查了幾何體的外接球問(wèn)題 .【思路點(diǎn)撥】 找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.【規(guī)范解答】 選B .設(shè)球心為O,設(shè)正三棱柱上底面為ABC,中心為O ,因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)為 a,則可知OO a , O A a ,又由球的相關(guān)23性質(zhì)可知，球的半徑r Joo2 oa2 叵a ,所以球的表面積為 64 R2 7 a2 ,故選 B .37. (2011 遼寧高考文科 T 10)已知球的直徑 SC=4, A, B是該球球面上的

8、兩點(diǎn)，AB=2, Z ASC=Z BSC=45 , WJ棱錐 S-ABC的體積為()(A)遮 (B)"(C)4(D)3333【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.【精講精析】選C,設(shè)球心為O,則AO,BO是兩個(gè)全等的等腰直角三角形斜 邊上的高，斜邊 SC 4,故AO BO 2,且有AO SC , BO SC. 一 一 一1 一 一一、 1.3 _2, VSABC VSAOB VCAOB 二 SAOB ( SO OC )=二23A, B是該球球面上3348. (2011 遼寧高考理科 T 12)已知球的直徑 SC=4,的兩點(diǎn)，AB = J3, ASC BSC 30 ,則棱錐

9、S ABC的體積為()(A) 3<3(B) 2<3(C) 33( D) 1【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.【精講精析】選C.由題意可知 SAC和SBC是兩個(gè)全等的直角三角形，過(guò)直角頂點(diǎn)A,B分別作斜邊上的高線 AH,BH ,由于 ASC BSC 30 ,求得AH BH 33,所以等邊 ABH的面積為S abh 遮(石)2 近,所求棱44錐S ABC的體積等于以 ABH為底的兩個(gè)小三棱錐的體積的和，其高的和即為球的直徑SC的長(zhǎng)，故VS ABCS ABC1 3,33 "V9. （2011 新課標(biāo)全國(guó)高考理科 T15）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的

10、球面上，且 AB 6, BC273,則棱錐O ABCD的體積為【思路點(diǎn)撥】 畫出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐O-ABCD勺體積.【精講精析】如圖所示，OO垂直于矩形ABC所在的平面，垂足為。，連接O B , OB ,則在Rt OO B中，由O況4, OB 273 ,可得11-OO =2, V0ABeD -SOO - 6 273 2 8收 33【答案】8,310. （2011 新課標(biāo)全國(guó)高考文科 T16）已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面圓半徑為r ,則依題意得面積的,則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為

11、1611. (2012 新課標(biāo)全國(guó)高考理科T11)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上， ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為()13A,6(B)6(C)3(D)2【解題指南】 思路一：取AB的中點(diǎn)為D,將棱錐分割為兩部分，利用VVB CDS VA CDS求體積；思路二：設(shè)點(diǎn) 。到面ABC的距離為d,V利用思路二:利用排除法求解.選A.方法一:Q SC是球。的直徑， CAS CBS 90Q BA BC AC 1 SC2, AS BS向，取AB的中點(diǎn)為D,顯然ABCD , AB SD,AB平面CDS.CDS 中，CD*2DS'.112SC

12、 2 ,利用余弦定理可得1 一八，S ABC 2d3 ABC求體積;cossin CDS 42故底,4.2331V VB CDS VA CDS 二 S CDS BD 31-1-12-Scdsad-Scdsba-3332r立方法二： ABC的外接圓的半徑3 ,點(diǎn)0到平面ABC的距離d .RV 直3 ,4 2d韭SC為球0的直徑 點(diǎn)S到平面ABC的距離為3 ,V ISabc 2d 1亞生空此棱錐的體積為3 ABe 3 436.V 1sABC 2R 立方法三： 3 ABe 6 ,排除b,c,d.12. (2013 新課標(biāo)I高考理科 T 6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm,將

13、一個(gè)球放在容器口 ，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為A 5003A. cm8663B. cm【解題指南】結(jié)合截面圖形C.宴曲d.迪面33，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程，求出球半徑，再利用V 4 R3求出球的體積.【解析】選A.設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知，R2 (R 2)2 42,解得R 5 ,所以球的體積V f R3 453嘰(cm2)33313. (2012 新課標(biāo)全國(guó)高考文科 T 8)平面口截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面口的距離為42,則此球的體積為( )(A)水冗(B) 4小無(wú)(C) 4/兀(D)6

14、小?！窘忸}指南】 利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積.【解析】選B.設(shè)球O的半徑為R,則R折一兩B故V 球 4 R34.33.14. (2012 遼寧高考文科T 16)已知點(diǎn) 巳A, B, C, D是球O 表面上的點(diǎn)，PA1平面ABCD四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2向的正方 形.若PA=26 ,則4 OAB的面積為.【解題指南】注意到已知條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn) P,A,B,C,D看作長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)來(lái)考慮.【解析】由題意，PAL平面ABCD則點(diǎn)P,A,B,C,D,可以視為球O 的內(nèi)接長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，球 O位于該長(zhǎng)方體的對(duì)角線的交點(diǎn)處，那么 O

15、AB的面積為長(zhǎng)方體對(duì)角面的四分之一QQAAB 22 33PAA 22 66, P66, OOADDH>=11 22 33 6=33 33 .44【答案】3315. （2013 遼寧高考文科 T 10）與（2013 遼寧高考理科 T 10）相同已知三棱柱ABC ABQ的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若 AB 3,AC 4, AB AC,AA1 12,則球。的半徑為（）3 .172B. 2 10 C.132D. 3,10【解題指南】對(duì)于某些簡(jiǎn)單組合體的相接問(wèn)題，通過(guò)作出截面, 使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對(duì)集中在某個(gè)平面圖形中【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過(guò)球心 。和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，

16、與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心 。為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接OA,OO ,OA ,由勾股定理， OA2 OO2 OA2其中OA R, OO 1AAi 6,OA 1 BC 5,所以球O的半徑為 22225 213OA R 6（2）萬(wàn).16. （2013 新課標(biāo)I高考文科 T 15）已知H是球O的直徑AB上 一點(diǎn)，AH:HB=1:2,ABL平面，H為垂足， 截球O所得截面的面 積為兀，則球O的表面積為.【解析】因?yàn)?截球O所得截面的面積為兀，所以截面 的半徑為1.設(shè)球的半徑為R,則AH 型,BH 任,由勾股定理得12 （鳥2 R2, 333解得R2 9 .所

17、以球。的表面積為4 R2 9 .82217. （2013 大綱版全國(guó)卷高考文科 T 16）與（2013 大綱版全國(guó)卷高考理科 T 16）相同已知圓。和圓K是球。的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球。的半徑,OK 3,且圓。與圓K所在的平面所成角為60°,則球O的表面積等于.2【解題指南】 解決本題要明確球大圓是指球的切面過(guò)圓心的圓.根據(jù)題意畫出圖形，確定圓 。與圓K所在平面的二面角，構(gòu)造直角三 角形求出半徑長(zhǎng).【解析】如圖,設(shè)公共弦 MN R,E為MN的中點(diǎn)，貝U OE MN , KE MNOEK為圓。與圓K所在平面的二面角所以O(shè)EK 60 ,又OMN為等邊三角形,所以。E.又因?yàn)镺K j

18、,OKEK,所以 OE sin 600解得R 2 ,所以S 4 R216【答案】1619. （2013 天津高考文科 T 10）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為5,則正方體的棱長(zhǎng)為 一.【解題指南】先根據(jù)球的體積求出半徑，再根據(jù)球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等關(guān)系求其棱長(zhǎng) .【解析】設(shè)球半徑為R,因?yàn)榍虬左w積為4 R3上，所以Rg，又 322由球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等知正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為3,故其棱長(zhǎng)為3【答案】320. （2013 福建高考理科 T12）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是.【解題指南】如果考球，我們只要清楚一個(gè)結(jié)論，外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線.【解析】球是棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球，則球的直徑d 。22 22 22 2質(zhì)，所以球的表面積為 S=4兀R2=Ttd2 = 12兀.【答案】12兀21. （2013 新課標(biāo)全國(guó)II高考文科 T 15）已知正四棱錐O ABCD的體積為 呼，底面