1.2 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)ppt課件

1、返回常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 三、常數(shù)項級數(shù)的概念三、常數(shù)項級數(shù)的概念 四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 五、級數(shù)收斂的必要條件五、級數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié)一、函數(shù)逼近理論簡介一、函數(shù)逼近理論簡介二、預(yù)備知識回顧二、預(yù)備知識回顧返回一、函數(shù)逼近理論簡介一、函數(shù)逼近理論簡介1. 用什么函數(shù)來逼近用什么函數(shù)來逼近2. 以什么方式來逼近以什么方式來逼近Pn(x) = a0 + a1 x + + anxn ， n = 1, 2, Tn(x) = a0 + (a1 cosx + b1sinx) + + (ancosnx + bnsinnx) ，n = 1, 2, 全局性逼近局部逼近返回二、預(yù)

2、備知識回顧二、預(yù)備知識回顧1. 數(shù)列：數(shù)列：a1, a2 , , an , 數(shù)列前數(shù)列前n項和項和 Sn= a1+a2 +an (1) 單調(diào)有界數(shù)列必收斂單調(diào)有界數(shù)列必收斂3. 有關(guān)性質(zhì)：有關(guān)性質(zhì)： 數(shù)列數(shù)列nnalim 2.= a,0 ,N0 當(dāng)當(dāng)n N時時,| an a | 返回(3) nlimns2= S，假假設(shè)設(shè) nlim12 ns= S， 那那么么 nlimns= S設(shè)設(shè)(4) nlim1ns= S1， nlim2ns= S2，若若S1S2，則數(shù)列則數(shù)列Sn發(fā)散；發(fā)散；若若S1=S2， 則數(shù)列則數(shù)列Sn可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. (2) 如果一數(shù)列收斂于如果一數(shù)列收斂于S

3、，那么，其任一子數(shù)列，那么，其任一子數(shù)列均收斂于均收斂于S.返回三、常數(shù)項級數(shù)的概念三、常數(shù)項級數(shù)的概念R求圓面積求圓面積A？AAa1a1 +Aa1 + a2 +Aa1 + a2 +內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多，則和的極限就是圓的面積。a2 a3an1. 引例引例返回2. 2. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121級數(shù)的前級數(shù)的前n項的和稱為級數(shù)的部分和：項的和稱為級數(shù)的部分和： 如果級數(shù)中的每一項都是常數(shù)，稱該級數(shù)如果級數(shù)中的每一項都是常數(shù)，稱該級數(shù)稱為部分和數(shù)列，記作稱為部分和數(shù)列，記作ns,.s,.,s ,sn21一般項一般項為常數(shù)項級數(shù)為常數(shù)項級數(shù).

4、 無窮級數(shù)簡稱級數(shù)無窮級數(shù)簡稱級數(shù),它總是無窮項的和。有限項之和不它總是無窮項的和。有限項之和不能稱為級數(shù)能稱為級數(shù)返回3. 3. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散若部分和數(shù)列若部分和數(shù)列Sn收斂于收斂于S， 1iiu收斂，收斂，否則，否則，稱稱 1iiu發(fā)散發(fā)散.則稱級數(shù)則稱級數(shù)S 稱為稱為 1iiu的和，的和， 并寫成并寫成 S =定理定理常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù) niiu1收斂或發(fā)散）收斂或發(fā)散）nnslim 存在或不存在）存在或不存在）. 1iiu返回如：如： 122121211n ) 11 () 11 () 11 ( n321 111111（1） （2）（3）（4）收斂收斂發(fā)散發(fā)散Sn

5、=1n22121211 （1） 1/2(1/2)1n （2）Sn =1)(11)(11)(1 = 0（3） Sn =n 3212)(1nn 20)( n)( n)( n（4）Sn =11)(1111 n 數(shù)為，為偶數(shù),奇奇nn10返回解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時時當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂 發(fā)散時時如果如果1 q,1時時當(dāng)當(dāng) q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散 綜上 發(fā)散發(fā)散1時,1時,當(dāng)當(dāng)收斂收斂1時,1時,

6、當(dāng)當(dāng)qqaqnn0等比級數(shù)是一等比級數(shù)是一個常用的級數(shù)個常用的級數(shù)返回解解nnnu 1232,3441 n已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散返回例例2調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 11nn發(fā)散發(fā)散.證明：證明：要證級數(shù)發(fā)散，本例部分和不好求，只需證部分和數(shù)列極限不存在；但若存在發(fā)散的子列，分析分析則原級數(shù)發(fā)散.證證考慮考慮 12kS121211 k)21221121()81716151()4131(2111 kkk個個kkkk2111)212121()81818181()4141(21 個個1122844221 kkk)1(21 k )( k12

7、kS發(fā)散，發(fā)散，nS發(fā)散發(fā)散從而從而 11nn發(fā)散發(fā)散.返回又證又證nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散)(210 n便便有有.這是不可能的這是不可能的調(diào)和級數(shù)也是一個常用的級數(shù)，它是發(fā)散的。調(diào)和級數(shù)也是一個常用的級數(shù)，它是發(fā)散的。例例2調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 11nn發(fā)散發(fā)散.證明：證明：返回解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn) 12() 12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311 (21 nn)1211(21limli

8、m nsnnn),1211 (21 n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂 在用級數(shù)收斂的定義來判定級數(shù)的斂散性時，在用級數(shù)收斂的定義來判定級數(shù)的斂散性時，“拆項是常用的方法之一。拆項是常用的方法之一。返回性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于收斂于 S ,1nnuS則各項則各項乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù)1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS那么那么nkknuc1,nScnnlimSc這說明這說明1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為

9、 c S .四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)返回性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù)則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv那那么么)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù)這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S返回注注由性質(zhì)由性質(zhì)2可知，兩收斂級數(shù)的和或差是收斂級數(shù)可知，兩收斂級數(shù)的和或差是收斂級數(shù)兩發(fā)散級數(shù)的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如兩發(fā)散級數(shù)的和或差可能收斂也可能發(fā)散，如11111111,) 1(1,) 1(,1nnnnnn發(fā)散收斂而發(fā)散發(fā)散一收斂級數(shù)和一

10、發(fā)散級數(shù)的和或差必發(fā)散一收斂級數(shù)和一發(fā)散級數(shù)的和或差必發(fā)散1111:,nnnnnnnnvuvu發(fā)散求證發(fā)散收斂設(shè)1。2。3。返回用反證法：用反證法： 1111,nnnnnnnnwvuw那那末末收收斂斂如如果果記記 1112nnnnnnuwv,也也收收斂斂與與原原假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾可可知知由由性性質(zhì)質(zhì)證畢證畢1111:,nnnnnnnnvuvu發(fā)散求證發(fā)散收斂設(shè)返回解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n返回, 5)111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比級級數(shù)數(shù) nn，首首項項是是公公

11、比比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 返回性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明:設(shè)設(shè)nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 這說明在級數(shù)前面減去有限項不影響級數(shù)的斂散性，類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項也不影響級數(shù)的斂散性.nnuuus.21返回性質(zhì)性質(zhì) 4 4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和于原來的和. .證明證明 )()(54321u

12、uuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 注：注： 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111推論推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散, ,則原來級則原來級數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)散. . 收斂 發(fā)散返回五、級數(shù)收斂的必要條件五、級數(shù)收斂的必要條件級級數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當(dāng)當(dāng),nun級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :級數(shù)收斂的必要條件只能用于判定級數(shù)是否發(fā)散，不能用于判定級數(shù)是否收斂.返回注注如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散 1)1(4