量子力學復習題答案與題解

1、量子力學復習題導致量子論產(chǎn)生的物理現(xiàn)象主要有哪些p2量子的概念是如何引進的p5為什么說愛因斯坦是量子論的主要創(chuàng)始人之一 p6寫出德布羅意公式并說明其中各量的含義和該公式的意義。P12什么是波函數(shù)的幾率解釋p18態(tài)的迭加原理。P22動量算符的定義。P27寫出單粒子薛定將方程。P27寫出多粒子薛定謗方程。P28寫出單粒子哈密頓算符及其本征值方程。P33什么條件下可以得到定態(tài)薛定謗方程p32什么是束博態(tài)p37什么情況下量子系統(tǒng)具有分立能級p37什么是基態(tài)p37寫出線性諧振子的定態(tài)薛定詩方程。P39寫出線性諧振子的能級表達式。P40寫出波函數(shù)應滿足的三個基本條件。P51寫出算符的本征值方程并說明其中各

2、量的含義。P54量子力學中的力學量算符如何由經(jīng)典力學中相應的力學量得出p55寫出厄米算符的定義，并解釋為什么量子力學中的力學量要用厄米算符來表示。P56寫出軌道角動量算符的各分量表達式。P60什么是角量子數(shù)、磁量子數(shù)寫出相應的本征值表達式及其數(shù)值關(guān)系。P63解：13丫如（仇9）=1（1+1）&%.34）£"（夕。）=訪（。,。）其中/表征角動量的大小，稱為閑量子數(shù)，m稱為磁量子數(shù)。對應于一個/的值, ）可以?。?/+1）個值，從-/到+/。寫出波爾半徑的值和氫原子的電離能，可見光能否導致氫原子電離劭=0.52 A （ 3 分） =13.6eV （ 3 分）可見光的能

3、量不超過，這個值小于氯原子的電離能，所以不能引起氯原子電離。（4分）寫出類氫原子體系的定態(tài)薛定謗方程。P65寫出氫原子能級的表達式及其簡并度。P68s, p, d, F態(tài)粒子是什么含義p63關(guān)于力學量與算符的關(guān)系的基本假定。P83寫出力學量平均值的積分表達式。P84兩個算符可對易的充要條件是什么p89寫出X方向坐標與動量的不確定關(guān)系。P92什么是Q表象p108久期方程帶來的好處是什么p113寫出兩個表象中的力學量和態(tài)矢量之間的變換公式。P117寫出幺正變換的兩個重要性質(zhì)。P118應用微擾法的限制條件是什么p135寫出用非簡并微擾法解題的基本步驟。P136寫出用變分法求解體系基態(tài)能量的基本步驟。

4、P145寫出黃金規(guī)則公式，并解釋其含義。P154什么是量子力學中的共振現(xiàn)象P157自旋角動量與其它力學量的根本差別是什么p197電子自旋的取值有何特點p196寫出泡利矩陣。P202寫出電子自旋算符各分量之間的對易關(guān)系（矢量形式和分量形式）。P198C-G系數(shù)是如何定義的其中各參數(shù)的含義是什么p209在角動量耦合問題中，ji和j2給定后，j的取值范圍是什么p210寫出全同性原理。P217什么是費米子什么是玻色子P220寫出全同玻色子體系的波函數(shù)表達式，并說明其中各量的含義。P223什么是自旋單態(tài)和三重態(tài)P223根據(jù)能量算符和動量算符的定義及經(jīng)典的能量一動量關(guān)系，“推導”單粒子薛定詩方程。P27推

5、導定態(tài)薛定謗方程。P32一個質(zhì)量為m的粒子置于寬度為a的無限深勢阱中:0V(X)=oC0<x<a其它OO求該系統(tǒng)的能量本征值。P34OO解:設系統(tǒng)波函數(shù)為叭心當時，薛定洋方程可以寫為-二二¥(x) = E¥(x)2m。廠當xvO,x>。時，薛定詩方程可以寫為力2 22-r T(x) + V(x)T(x) = ET(x)2m &-當V(x)>s時，根據(jù)系統(tǒng)波函數(shù)的有限性及系統(tǒng)能量的有限性，可得 平(外=0。令抬=坐，可將式化為力2空(幻+女”(幻=0 則方程的解可以寫為T(x) = Asin kx + B cos kx由波函數(shù)的連續(xù)性可得Asi

6、nka =0Asin ka + B cos ka = 0即8 = 0由于當A = 0, 8 = 0時，系統(tǒng)波函數(shù)¥(x) = 0,與粒子的存在相矛盾，所以4 8不能同時為0,所以式的解為QO, sina=0,由此有(n = 0, ±1, ±2, ±3,)因為=0對應+(x) = 0,故舍去，。取負整數(shù)與取正整數(shù)的情況，系統(tǒng)狀態(tài)完全一樣,故只取正整數(shù)即可，小,4 m , l 一) 2mE因此k =,再結(jié)合K =二付, a"即系統(tǒng)能量本征值為2mE /3 = 方一 cr方2. 2%2E =-(不1, 2, 3, ) o2nur證明厄米算符的本征值是

7、實數(shù)。P56證明厄米算符屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)彼此正交。P78 根據(jù)坐標算符和動量算符的定義證明：在X方向上兩算符滿足 £,» =清。P87證明：在Q表象中，0算符本身的表示矩陣是對角的。P110試推導非簡并定態(tài)微擾理論中一級修正項所滿足的方程。P131一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場作用，電場沿正x方向。用微擾法求體系定態(tài)能量的一級修正，用變量替換法求 能量修正。P137用變分法解氫原子基態(tài)問題時，哈密頓算符如何給出其中各量 是何含義嘗試波函數(shù)如何選取p146寫出烏倫貝克和哥德斯密特關(guān)于電子自旋的假設 P196(1)每個電子具有自旋角動量S ,它在空間任何方向上的

8、投影只能取兩個數(shù)值:S. = 土一； 42(2)每個電子具有自旋磁矩它和自旋角動量S的關(guān)系是式中-e是電子的電荷，是電子的質(zhì)量。在兩個角動量耦合的問題中，什么是無耦合表象什么是耦合表象寫出兩種表象基央的關(guān)系式。P208寫出全同費米子體系的波函數(shù)表達式，并由此給出泡利不相容原理。P223寫出坐標表象下，產(chǎn)生、湮滅算符的表達式，并證明 此，=1。P125由坐標表象下的薛定諾方程推導Q表象下的薛定謗方程(分量形式和矩陣形式)。P113證明自旋算符滿足：靠，£ = 0,其中(+因。pi98對泡利矩陣證明：(1)仇,舁=2汶；(2) 的本征值為±1,并 求出相應的歸一化本征矢；(3)

9、"在2的兩個本征態(tài)中的平均值皆為Oo P202答：泡利矩陣：b0 -/i 01 00 -1,(3 分)(1)=45-5巴0 10-/= 2/o0-1=2iq(3分)(2)= Au 即0 -1 b,由此得久期方程:1-200-1-2=A" 1 = 0 解得丸=±1（4 分）設平面波具有如下一般形式：J) = AeU其中4為常數(shù)，和 滿足=耐/26。(1)試驗證平面波滿足自由粒子薛定謗方程。(2)解釋為什么說平面波不能嚴格代表一個自由粒子。（1） i咚W"（一緊力） ct2m左邊=a由2 k2法=訪一加=必/僅一=.a/a 一加dt2m右邊=2m2)Ae&q

10、uot;A)=(一匹)4臚1)/信)="1aM(a) 2/772m左邊=右邊(2)平面波不滿足平方可積條件J y/r ,t)d r = J |A|6fr = oo上述積分的涵義是粒子存在的總幾率，應當是有限值。所以平面波不能嚴格 代表一個自由粒子。 (a) Write the postu I ate for the relationship between an observable and the result of its measurement, (b) Suppose a system is at thesuperposition state of two energy eigenstates: i/) = cx (p) + c2 l(p2). Whatresult would be obtained when measuring the energy of the system (10 marks)解：(a) 一個可觀察量可以用一個厄米算