1.2幾種可求解的一階微分方程ppt課件

1、 8.1.2 8.1.2 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程( )d( )dg yyf xx 1.形如形如 的方程稱為可的方程稱為可分離變量的微分方程分離變量的微分方程.425d2dyx yx 例例如如425d2d ,yyxx 解法解法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的,( )d( )dg yyf xx 分離變量法分離變量法例例 1 1 求方程求方程.1)cos(sin2的的通通解解yxxy 解分離變量，得解分離變量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,)sin(cosarcsinCxxy 這就是所求方程的通解這就是所求方程的通解例例 2 2

2、求方程求方程.的的通通解解xyy 解分離變量，得解分離變量，得,d1dxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化簡得化簡得. 0,1,e2221 CxCyCC則則令令,1e1xyC 另外，另外，y = 0 y = 0 也是方程的解也是方程的解，因而因而 C2 C2 為任意常數(shù)為任意常數(shù)xCy2 所以所以.xCy 求解過程可簡化為：求解過程可簡化為：,ddxxyy 兩邊積分得兩邊積分得,ln1lnlnCxy 即通解為即通解為,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C C 為任意常數(shù)為任意常數(shù). .中的中的 C2 C2 可以為可以為 0 0，這樣，方程的通解是這樣

3、，方程的通解是分離變量得分離變量得解解d,dMt由題設(shè)條件由題設(shè)條件d,(0)dMMt ddMtM d()d ,MtM 00MMt 代入代入,lnlnCtM e,tMC 即即00CeM 得得,C 0etMM 衰變規(guī)律衰變規(guī)律衰變速度衰變速度（衰變系數(shù)）（衰變系數(shù)）解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風(fēng)量為每分用一臺風(fēng)量為每分2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混

4、合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動問鼓風(fēng)機(jī)開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后 分后分后 的含量為的含量為2CO)%(txt ,d t tt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2000 d0.03%,t 2000 d( )%,t x t 車間內(nèi)車間內(nèi) 的改變量為的改變量為2CO12000d %x2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 12000d %2000 d0.03%xt 2000 d( )%,t x t d1(0.03),d6x

5、xt 160.03e,txC , 1 . 0|0 tx,07. 0 C160.030.07e,tx 16|0.030.07e0.056,tx 答：答：6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO思考題思考題求解微分方程求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx思考題解答思考題解答dcoscos0,d22yxyxyx d2sinsin0,d22yxyx dsind ,22sin2yxxy 2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.2. 2. 齊次微分方程齊次微分方程d()dyyfxx 形如形如 的方程稱為齊次微分方程的方程稱為齊次微分

6、方程. .解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式，得代入原式，得dd,ddyuuxxxd( ),duuxf ux d( ).duf uuxx 即即變量可分離方程變量可分離方程例例 求解微分方程：求解微分方程：(cos)dcosd0.yyxyxxyxx，令令xyu dddyx uu x ，(cos )dcos ( dd )0,xuxuxxu u xx u dcos d,xu ux ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解222d2dyyxyxxxyy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,1222uuuuuxu 222dd.2xyxx

7、yyyxy 例例 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy 11121d ()d,2221xuuuuux 利用變量代換求解微分方程利用變量代換求解微分方程2d10().dyxyx例例求求的的通通解解解解,uyx 令令dd1ddyuxx代入原方程代入原方程2d1duux,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 思考題思考題方程方程 2202 ( )( ) d( )xy ttyttxy

8、x 是否為齊次方程是否為齊次方程?思考題解答思考題解答方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo):x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齊次方程原方程是齊次方程.d( )( )dyP x yQ xx一一 ： 一階線性微分方程一階線性微分方程:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為齊次的，上方程稱為齊次的，上方程稱為非齊次的上方程稱為非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)8.2.1 一階線性微分方程一階線性微分方程例如例如2d,dyyxx2dsin,dxxttt , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.d( )0.dyP x yxd( )d ,yP xxy

9、d( )d ,yP xxy ln|( )dln|,yP xxC 齊次方程的通解為齊次方程的通解為( )de.P xxyC 1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的解法一階線性微分方程的解法:分離變量并積分：分離變量并積分：2. 線性非齊次方程線性非齊次方程d( )( ).dyP x yQ xx討論：討論：d( )( ) d ,yQ xP xxyy 兩邊積分兩邊積分( )lnd( )d ,Q xyxP xxy lnln| ( )|( )d ,yu xP xx ( )d( )e.P xxyu x 即即( )dln| ( )|,Q xxu xy 令令 即，常數(shù)變易法：即，常數(shù)變易法：把齊次方

10、程通解中的常數(shù)易為函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)易為函數(shù)的方法. .作變換作變換( )d( )eP xxyu x 非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:( ),Cu x代代入入原原方方程程得得和和將將yy ( )d( )( )ed,P xxu xQ xxC ( )d( )e( ),P xxu xQ x 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為:()d()d( )edeP xxP xxyQ xxC ( )d( )d( )dee( )edP xxP xxP xxCQ xx 對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程

11、特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ 11ddsineedxxxxxyxCx lnlnsineedxxxxCx 1sin dx xCx .cos1Cxx 解解例例兩兩邊邊積積分分得得 Cxylnlnln , ,即即 Cxylnln 將將通通解解中中的的任任意意常常數(shù)數(shù) C換換成成待待定定函函數(shù)數(shù))(xC, ,即即令令xxCy)(為為方方程程（1 1）的的通通解解, ,將將其其代代入入方方程程( (1 1) )得得( )lnxC xx. .于于是是 xxxCln1)(, 所所以以 CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(, 將將所所求

12、求的的)(xC的的代代入入式式( (3 3) ), ,得得原原方方程程的的通通解解為為 2(ln )2xyxCx. . 例例 如下圖，平行如下圖，平行 于于y y軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQPQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, , 求曲線求曲線 . .)(xfy )0(3 xxy)(xf320( )d() ,xf xxxy 30d,xy xxy 兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dd2e3edxxyCxx 2e366,xCxx , 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為

13、所求曲線為23( 2e22).xyxx 23xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式d( )( )dnyP x yQ x yx)R, 1 , 0( nn方程為線性微分方程方程為線性微分方程, 方程為非線性微分方程為非線性微分方程方程.時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 二：伯努利方程二：伯努利方程dd(1)ddnzyn yxx ，1d( )( ),dnnyyP x yQ xxd(1) ( )(1) ( ),dzn P x zn Q xx 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式

14、(1) ( )d(1) ( )d1e( )(1)ed.n P x xn P x xnyQ xnx C 1,nzy 令令2d4.dyyxyxx 求求方方程程的的通通解解21 d4,dyyxxxy,yz 令令2d42,dzzxxx ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得兩端除以2/1y例例 d115.dyxxy 例例求求解解微微分分方方程程解解1,uyx 令令dd1,ddyuxx代入原式代入原式d11,duxu分離變量法求解得分離變量法求解得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 解解2d.dxxyy原原方方程程: : 小結(jié)與思考題小結(jié)

15、與思考題31.一階線性非齊次方程一階線性非齊次方程2.伯努利方程伯努利方程( )d( )e;P xxyu x 令令.1zyn 令令思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考題解答思考題解答dcossin2sindcosxyyxyyy ,tan2sinyxy dtansin2 ,dxyxyy lncoslncosesin2edyyxyy C 2sincoscosdcosyyyyCy .cos2cosyCy 前面主要討論了顯式形式前面主要討論了顯式形式( , )yf x y 8.2.2 8.2.2 全微分方程全微分方程則稱此微分方程為全微分方程。則

16、稱此微分方程為全微分方程。dyyxQdxyxPyxduyxu),(),(),(),(使得1定義：對微分方程定義：對微分方程例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu ,),(ydyxdxyxdu使得所以是全微分方程所以是全微分方程. .) 1 (0),(),(dyyxQdxyxP.1xQyP）為全微分方程（若存在函數(shù)若存在函數(shù)2.2.解法解法0),(),(dyyxQdxyxP設(shè)為全微分方程為全微分方程由由0),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu得得Cyxu),(是是1的解的隱函數(shù)形式；的解的隱函數(shù)形式；另一方面，因另一方面，因,xQyP應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分

17、與路徑無關(guān)理論得理論得C,y)dyQ(xxP(x,y)du(x,y)yyxx000或或C.x)dP(x,yQ(x,y)dyu(x,y)xxyy000也可用直接湊全微分的方法求解也可用直接湊全微分的方法求解.3232(3)d(3)d0.xxyxyx yy 求求方方程程的的通通解解解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,32300( , )(3)ddxyu x yxxyxyy .64224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224yyxx 例例23d.d1yxxyxx 求求微微分分方方程程的的通通解解解解1整理得整理得2d1,d1yyxxx 公式法公式法: :3411.34

18、yx yxxC 通通 解解dd211eed ,xxxxyCxx 例例解解2 2整理得整理得23()d(1)d0,xxyxxy,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 曲線積分法曲線積分法: :2300( , )()d(1)d,xyu x yxxxxyC B B 湊微分法湊微分法: :23d( dd )dd0,yx yy xxxxx 34dd()d()d()034xxyxy ，34d()0.34xxyxyC C 不定積分法不定積分法: :,32yxxxu 23( , )()du x yxxyx ),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解為原方程的通解為.4343Cxxxyy 定義定義積分因子不容易求，在簡單的情況下，可以觀察積分因子不容易求，在簡單的情況下，可以觀察得到得到 當(dāng)方程當(dāng)方程1 1的的P,QP,Q不滿足全微分方程不滿足全微分方程的條件時，可考慮引進(jìn)所謂的積分因子的辦法的條件時，可考慮引進(jìn)所謂的積分因子的辦法將其化為全微分方程形式，進(jìn)而求解。將其化為全微分方程形式，進(jìn)而求解。 例例 求方程求方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0的積分因子并求其