1.2求導(dǎo)法則.ppt課件

1、返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構(gòu)造性定義構(gòu)造性定義 )求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則其它基本初等函其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式數(shù)求導(dǎo)公式0 xcoslnxaa )(C )sin(x()xa 初等函數(shù)求導(dǎo)問題初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容返回第二章第二章 一元函數(shù)微

2、分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則定理定理1 1：:,)(),(則則可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)若若xxvxu);()( )()()1(xvxuxvxu );()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu );( )()3(xuCxCu ).0)( )()()()()()()()4(2 xvxvxvxuxvxuxvxu返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分推論：推論：);()( )()()1(xvxuxvxu .)(2(wuvwvuvwuuvw ).0)( )()()(1)3(2 xvxvxvxv返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)

3、微積分微積分例例1 1、xxeyxxyxxxyxxyx 1cos)4( sin1cos)3(lncos)2( )1()1(3求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分問題：?jiǎn)栴}：.cotcsc)(csc ,tansec)(sec,csc)(cot ,sec)(tan:sin)(cos ,cos)(sin22xxxxxxxxxxxxxx 導(dǎo)導(dǎo)出出如如何何由由提示：提示：由四則運(yùn)算法則推導(dǎo)。由四則運(yùn)算法則推導(dǎo)。返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分二、反函數(shù)求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理2 2：.)(1)()(, 0)()(yxfIxfyyI

4、yxxy 且且上上亦亦單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo)在在相相應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間其其反反函函數(shù)數(shù)則則上上單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在區(qū)區(qū)間間若若由上述定理可導(dǎo)出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由上述定理可導(dǎo)出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例2 2、21(1)(log)(0,1);ln1(2)(arcsin ).1axaaxaxx 推導(dǎo)下列公式：推導(dǎo)下列公式：返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分 )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x小結(jié)小結(jié):22(sin )cos , (cos )sin:(tan )

5、sec, (cot )csc,(sec )sectan , (csc )csc cot .xxxxxxxxxxxxxx 由導(dǎo)出返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分 補(bǔ)：補(bǔ)： 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù) 雙曲正弦函數(shù)：雙曲正弦函數(shù)：sin2xxeehx雙曲余弦函數(shù)：雙曲余弦函數(shù)：cos2xxeehx雙曲正切函數(shù)：雙曲正切函數(shù)：sintancoshxhxhx雙曲余切函數(shù)：雙曲余切函數(shù)：cossinhxcothxhx返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分y=sinhx與y=coshx的圖象：y=sinhxy=coshxyxO1sin2xxeehxcos2xxeehx返

6、回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分 由雙曲函數(shù)的定義，不難推出類似于三角函由雙曲函數(shù)的定義，不難推出類似于三角函數(shù)的一些恒等式數(shù)的一些恒等式15頁）：頁）： (1) cosh2x-sinh2x=1 (2) sinh2x=2sinhxcoshx, cosh2x=cosh2x+sinh2x (3) sinh2x=(cosh2x-1)/2, cosh2x=(cosh2x+1)/2 (4)sin ()sincoscossinh xyhxhyhxhycos ()coscossinsinh xyhxhyhxhy返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分2 sinln(

7、1)arhxxx反雙曲正弦函數(shù)2 cosln(1)arhxxx反雙曲余弦函數(shù)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則重點(diǎn)）三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則重點(diǎn)）定理定理3 3：).()(,)(,)()(,)(xufuyydxdududydxdyxxfyxuuufyxxuxux 或或且且可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)若若返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),

8、 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例3 3、22cos(1)sin (2)21(3)lntan (4)arctan21xyxyxxyyx求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分22(1)(sinh )cosh , (cosh )sinh ;11(2).(sinh ), (cosh );11xxxxarxarxxx類似可證類似可證返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例4 4、sinsincos(1)

9、(2)(cos )(sin )xxxyxyxx求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：( )( )ln( )( )g xg xf xf xe返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例5 5、求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：( )22(1),();(2) ,( )( ).xf xfyf eef gyfxgx可導(dǎo)非零可導(dǎo)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分考慮考慮: 假設(shè)假設(shè))(uf 存在存在 , 如何求如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同這兩個(gè)記號(hào)含義

10、不同返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分問題：?jiǎn)栴}：? )()(22有有何何區(qū)區(qū)別別和和 xfxf答案：答案：;)(22求求導(dǎo)導(dǎo)表表示示對(duì)對(duì)xxf . )(2求求導(dǎo)導(dǎo)表表示示對(duì)對(duì)xxf 返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaa

11、xln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù)為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證由定義證 ,說明說明: 最基本的公式最基本的公式uyd

12、dxudd其它公式其它公式用求導(dǎo)法則推出用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例7. 求求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例8. 設(shè)設(shè)求求23211ln,42xyx.y返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例9. 設(shè)設(shè)解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.yaaxln),0( aaaxyxaaaxa返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分

13、例例10. 求求,1arctan2sin2xeyx.y關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 不漏不重，適當(dāng)化簡(jiǎn)不漏不重，適當(dāng)化簡(jiǎn)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對(duì)嗎對(duì)嗎? ?2114341xx返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分2.

14、 設(shè)設(shè), )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法正確解法:)(af 時(shí)時(shí), 下列做法是否正確下列做法是否正確?在求在求處連續(xù)處連續(xù),返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分2203. y=f,( )arctan(1),1xxdyfxxdxx已知求返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分4. 設(shè)設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(l

15、im)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分練練 習(xí)習(xí) 題題)(cos)(sin)4( )(ln)(ln)3()29(9(2005()2( )()2()1(.,)(. 122xfxfyxfxfyxfffyxffyyxfx 求求可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分11lnarctan)8( arccos(7) arcsin22)6( 2)5(cossin)4(

16、 tan1sin)3(lnln)2( lgsin)1(. 2222222ln xxxxxnxeeeyxyaxaxaxyynxxyxxxyxxxxyxxey求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)).(0 00 )1ln()(. 322xfxxxxfx 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第四節(jié)第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd

17、(ddtst即即)( sa引例：變速直線運(yùn)動(dòng)引例：變速直線運(yùn)動(dòng)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)可導(dǎo), ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) , 記作記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱返回第二章第二章 一元函數(shù)

18、微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分設(shè)設(shè),2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次類推依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.可得可得返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分考慮考慮: 設(shè)設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(ny( )()(1)(2)(1)nnxnx 問問特別地特別地 ，( )( )()!, ()0 ()nnmnxnxmn( )11( 1)!( )nnnnxx返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分nx)1 ( 例例2. 設(shè)設(shè)求求解解:特別有特別有:解解:! )

19、 1( n規(guī)定規(guī)定 0 ! = 1考慮考慮:,xaey .)(nyxanneay)(xnxee)()(例例3. 設(shè)設(shè), )1(lnxy求求.)(ny)(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nynxn)1 (! ) 1(返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例4. 設(shè)設(shè),sinxy 求求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分練

20、習(xí)：練習(xí)：( )(1) ( )arctan ,(0)1(2) ( ),( )nf xxff xfxaxb求；求；( )1(1)(0)2!(2)( ).()nnnnfn afxaxb ；=(-1)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例5 . 設(shè)設(shè)bxeyxasin求為常數(shù) , ),(ba.)(ny222)()(nnbay)arctan(ab)sin(nbxexa返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分例例6. 設(shè)設(shè),3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高._n2階數(shù)階數(shù)返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分二、

21、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有都有 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) , 那那么么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù)為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)vunn) 1(返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分間接法間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式( )11( 1)!( )nnnnxxnx)1 ( ! ) 1( n( )ln(1)nx1) 1(nxxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 例例7. 返回第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)微積分微積分231