1.2羅爾中值定理及其應用ppt課件

1、定理定理3.2 (羅爾定理羅爾定理) (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導內(nèi)可導;(3)()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f3.2 羅爾中值定理及其應用羅爾中值定理及其應用ab1 2 xyo)(xfy C證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在因因baxf若函數(shù)若函數(shù) f (x) 滿足滿足:必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.,)1(mM 若若,)(,Mxfbax 則則),(ba . 0)( f有有),(),(bafM 設設. 0)( f,),(,)2(內(nèi)內(nèi)取取得得在在則則最最大大、最最

2、小小值值有有一一個個若若bamM ),()(, fxfbax 則則由費爾馬引理由費爾馬引理 推論推論: 可微函數(shù)可微函數(shù) 的任意兩個零點之間至少有的任意兩個零點之間至少有 的一個零點的一個零點)(xf)(xf (1) (1) 定理條件不全具備定理條件不全具備, , )()(10 xxxf1 ,1, |)( xxxf結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. . 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間ba(1)(1)(2)(2);),(內(nèi)內(nèi)可可導導在在開開區(qū)區(qū)間間ba(3)(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得.

3、 0)( f1xyO(1),(2)(1),(2)滿足滿足(3)不滿足結(jié)論不成立結(jié)論不成立. . (1),(3)(1),(3)滿足滿足(2)不滿足結(jié)論不成立結(jié)論不成立. . (1),(2)(1),(2)滿足滿足(3)不滿足結(jié)論成立結(jié)論成立. . ,)(113 xxxf1 yxO1yxO1 1注：注：例例1.1.3, 132)( 2 在在區(qū)區(qū)間間驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxxf解解: :32)( 2 xxxf又又因因為為),)(13 xx, 0)3()1( ff所所以以,3 , 1)( 上連續(xù)上連續(xù)在在因為因為 xf,)3 , 1(上上可可導導在在 所以滿足羅爾定理條件所以滿足羅爾定理條件. .0)( x

4、f方程方程, 11 x.)(0 f即即., 并求出一個并求出一個上滿足羅爾定理條件上滿足羅爾定理條件(1)(1)驗證定理的假設條件滿足驗證定理的假設條件滿足(2)(2) 結(jié)論正確結(jié)論正確,)()(012 xxf即即有實根有實根1 取取),(31 .符符合合要要求求例例2 2 設常數(shù)設常數(shù) 滿足滿足: :01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根.nccc,10證證 設設,12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在

5、xf, 0)1()0( ff且且 由羅爾定理由羅爾定理,)1 , 0( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在, 0)( f使使得得即即, 010 nnccc .為為所所求求實實根根即即 x在在(0, 1)內(nèi)可導內(nèi)可導,例例3.3.10155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證: :, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 1)0( f且且 由零點定理由零點定理),1 , 0(0 x即方程有小于即方程有小于1 1的正實根的正實根. .(1)(1)存在性存在性. 3)1( f. 0)(0 xf使使,),1 , 0(011xxx 假

6、假設設另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性爾定理爾定理為端點的區(qū)間上滿足羅為端點的區(qū)間上滿足羅以以在在10,)(xxxf例例3.3.10155的正實根的正實根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證: :,),1 , 0(011xxx 假假設設另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性爾定理爾定理為端點的區(qū)間上滿足羅為端點的區(qū)間上滿足羅以以在在10,)(xxxf 至至少少存存在在一一個個. 0)( f)1(5)(4 xxf但但, 0 .有有唯唯一一實實根根使得使得)1 , 0( x矛盾矛盾, ,),(10之之間間介介于于xx故假設不真！故假設不真

7、！在在0, 10, 1上二階可導上二階可導, , 且且)(xf, 0)1()0( ff則在則在 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點, ),()(xxfxF ),1,0(1 例例4 4 假假設設證證)1 ,0(使得使得. 0)( F使得使得. 0)(1 F),()()(xfxxfxF 0)()0(1 FF上使用羅爾定理上使用羅爾定理, , 0)(1 在在對對xF ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( F上上在在對對 1 , 0)()(xxfxF 使用羅爾定理使用羅爾定理, ,兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法： 1. 常數(shù)常數(shù)k 法構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù) 基本思路是令待證等

8、式中的常數(shù)為基本思路是令待證等式中的常數(shù)為k k， 通過通過恒等變形將含有的式子寫成恒等變形將含有的式子寫成 的形式，的形式， )()(bFaF 然后用羅爾定理然后用羅爾定理那么那么 就是需要的輔助函數(shù)就是需要的輔助函數(shù), ,)(xF進行證明進行證明. .例例5 5 設設證證明明內(nèi)內(nèi)可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf分析分析證證，設設kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在對對,)(baxF羅爾定理羅爾定理, ,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( F故故).()

9、()()( ffabaafbbf ，0)()( kff 即即使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,),( ba2. 通過對待證等式的恒等變形尋找輔助函數(shù)通過對待證等式的恒等變形尋找輔助函數(shù) 然后再觀察所得函數(shù)是哪個函數(shù)的導數(shù)，這個函數(shù)然后再觀察所得函數(shù)是哪個函數(shù)的導數(shù)，這個函數(shù)就是我們需要的輔助函數(shù)就是我們需要的輔助函數(shù). . 因為等式中出現(xiàn)的中值因為等式中出現(xiàn)的中值 一定是對某個函數(shù)一定是對某個函數(shù)使用中值定理得到的使用中值定理得到的, , 因而因而, , 可以首先把可以首先把 還原為還原為 x x， 如果待證等式出現(xiàn)如果待證等式出現(xiàn) 的形式，的形式， )()()()(xvxfxuxf 則可以考慮形如則可以考慮形如 的輔助函數(shù)的輔助函數(shù). .)()()(xgxfxF )(2)(ff 問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證設輔助函數(shù)設輔助函數(shù)),()(2xfxxF )(xF在在0, 10, 1上用羅爾定理上用羅爾定理, , )1 ,