高一上學期函數(shù)的單調(diào)性-奇偶性與周期性知識點和題型

1、(一)函數(shù)的單調(diào)性14 / 17知識梳理1 .函數(shù)單調(diào)性定義：對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對于任意Xi,X2 C D,當x1<x2時，都有f(x1) <f(x2),則稱f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞增區(qū)間.當Xi<X2時，都有f(x 1 )> f(X2),則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞減區(qū)間.2 .函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：(1)從直觀上看，函數(shù)圖象從左向右看，在某個區(qū)間上，圖象是上升的，則此函數(shù)是 增函數(shù)，若圖象是下降的， 則此函數(shù)是減函數(shù)。(2) 一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I .如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間A上的任意兩

2、個自變量的值x1,x2，且 x1x2,則 x1 x20f x1f x2UE(1) f x1 - f x20則 0 X x2即f(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)；X1 X2r r f X1f X2r(2) f X1f x2則 0 x1 x2 即f(x)在區(qū)間 A上是減函數(shù).x1 x2如果函數(shù)y f (x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做yf (x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，因此函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，應以定義域為前提；必須指明在某個區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)(3)復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法：設 y f u ,u g x ,x a,b

3、 ,u m, n若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相同，則y f gx 在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增，若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相反時，則y f g x 在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減.(同增異減)3.常見結論若f(x)為減函數(shù)，則-f(x)為增函數(shù)；若f(x)>0 (或<0)且為增函數(shù)，則函數(shù) ,在其定義域內(nèi)為減函數(shù). f(x)【題型一、單調(diào)性的判斷】例、寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,、2,(3) y ax bx c .k(1) y kx b, (2) y x它是增函如圖是定義在區(qū)間 5, 5上的函數(shù)y=f（x）,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上, 數(shù)還是減函數(shù)？【題型二、用定義法證明單調(diào)性】例、定義法

4、證明函數(shù)y=2x+3在（，）的單調(diào)性.解：答：由出章得：訐明：設修產(chǎn)q8i + oo）巧 （ 心22/+ 3_（2工? + 3）=2（叫所以y=2熊+3函數(shù)是燧函數(shù)綜_1所述結論是：4二2工+3在（-是熠窗數(shù).例、判斷函數(shù)f (x) = x 在(0,1)上的單調(diào)性.危)=工-在回D上的單闔遞減.Imn 1理由如下：設。<1,則丸m) - Am=(m - n I= (m - n) , 71771 JTH 71由干 fl < m < n < 1 ，則 m 肛 <。,mn < 1 ，即 mn 1 < 0 ,則丸e) - An) )即五m) > 1ff叫

5、則有人均=工十在(仇】)上的年調(diào)遞減口 第x 2【變式訓練1】證明函數(shù)f(x) 在(1,)上是增函數(shù).【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的定義法來進行判別，記好步驟。【題型三、單調(diào)性的運用】2例、已知f(x) ( k 3k 4)x 2k 1在R上是增函數(shù)，則k的取值范圍.解答:因為是增函數(shù)則-fc2+3Jf+4>0M-3IVQlfc-4Xfr+l)<0答案為*例、函數(shù)f(x) x2 2(a 1)x 2在(，4上是減函數(shù)，則求a的取值范圍.解答：= z2 + 2(口 - 1)+ 2=(h + 口 1) 2 + 2 -(0 一 )2 ,其對稱軸為：x=l - a:函數(shù)/(加=療十2(。一 1)七十2

6、 在(00*41上是減函數(shù)1 。2 4+ a $ -32【變式訓練2】已知函數(shù)f(x) x 2ax 2,x5,5上是單調(diào)函數(shù)，a的取值范圍是.【變式訓練3】函數(shù)f (x)是R上的減函數(shù)，求f (a2a+1)與f (二)的大小關系【題型四、抽象函數(shù)的單調(diào)性及其應用】例、已知y=f(x)是定義在(-2, 2)上的增函數(shù)，若 f(m-1) Vf(1-2m),則m的取值范圍是.解答：由題意得：m 1 > 2121 2m< 2,解得；-tm 1 < 1 2m*故答案為：(一:()例、設f (x)定義在R+上，對于任意a、bCR+,有f (ab) = f (a) + f (b) 求證：(

7、1) f (1) =0;(2) f (工)=f (x)； x(3)若xC (1, +8)時，f (x) v 0,則f (x)在(1, +川上是減函數(shù).解答：證明；C)由題意知，任意人 院區(qū)_,有犬由=六力十加 令n =1代入上式香二丸1) +/ ,= 2/(1), "(1) = 0.(2)令口 =工2 H+i b =1 代入/(血)=口)一汽財 工得 JU) = */ + /(：),，'/工。一丹工2)< 0,即,5在億+8)上果減函數(shù)0【題型五、復合函數(shù)的單調(diào)性】例、求函數(shù)f(x) Vx2 2x 3的單調(diào)遞減區(qū)間。解答:令t = a? + 2:r 3 .對于函數(shù)9=

8、丫硬工2二二有”十如一，0,解可得工冬-3或工八 即其定義域為-W或工云1 又由二欠函數(shù)的性質(zhì),可得當工莖-3時d = /+21- 3為減苗數(shù)，當二31時一=爐十紅 3為增函數(shù)， 即當章3時函數(shù)y = v'產(chǎn)+2工1的單調(diào)遞減:即函數(shù)4 = 十以-3的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,-3| ,求f(x) = v,x2 4x 5的單調(diào)區(qū)間課后作業(yè)：一、選擇題1、函數(shù)f(x)= |x|和g(x) = x(2x)的遞增區(qū)間依次是()A. ( 8, 0, (8, 1 B. ( 8, 0, 1,+8)C. 0, +8), (8, 1D. 0, +8), 1,+8)2、當|x| 1時，函數(shù)y ax 2a

9、1的值有正也有負，則實數(shù) a的取值范圍是()A111A - a B. a 1 C.-1 a D.-1 a 3333、若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)上為增函數(shù)，在區(qū)間(b, c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,6上()A.必是增函數(shù)B.必是減函數(shù)C.是增函數(shù)或是減函數(shù) D.無法確定增減性二、填空題 一 一 一 一 24、函數(shù)f(x) 2x mx 3 ,當x 2,)時，是增函數(shù)，當(,2時是減函數(shù) 則f(1)=5、已知 f (x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且f (x) 0,在其定義域內(nèi)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性: y f (x) a(a為常數(shù))是: y a f(x)(a為常數(shù))是12y 是；y

10、| f (x) |是f(x)6、函數(shù)f(x) = ax2+4(a+1)x3在2, 十 遞減，則 a的取值范圍是_.2x+ 1, x> 1 ,、7、若函數(shù)f(x)=則f(x)的遞減區(qū)間是 .5 x, x<1 ,三、解答題8、討論函數(shù)f(x)x2 2ax 3在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性。9、設f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，f(2)=1 ,且f(xy尸f(x)+f(y),求滿足不等式f(x)+f(x-3) w2的x的取值范圍.(二)函數(shù)的奇偶性知識梳理1、函數(shù)奇偶性定義:1、 一般地，如果對于函數(shù)f x的定義域內(nèi)任意一個 X,都有f x f x ,那么就稱函數(shù) f x為偶函數(shù).偶函

11、數(shù)圖象關于 y軸對稱.2、 一般地，如果對于函數(shù)f x的定義域內(nèi)任意一個 x,都有f x f x ,那么就稱函數(shù)f x為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關于原點對稱.如果函數(shù)f(x)不具有上述，f質(zhì)，則 f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).2、函數(shù)奇偶性的判定方法：定義法、圖像法(1)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；確定f( x)與f(x)的關系；作出相應結論：若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ,則 f(x)是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或 f( x) + f(x) =

12、0 或 f(x)=-f(-x),則 f(x)是奇函數(shù).(2)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關于原點對稱.(3)利用圖像判斷函數(shù)奇偶性的方法：圖像關于原點對稱的函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù).3、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù) 在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有 相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有 相反的單調(diào)性.4、(1)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱。若 x是定義域中的一個數(shù)值，則x也必然在定義域中，因此，函數(shù)y f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關于原點對稱。換言之，

13、所給函數(shù)的定義域若不關于原點對稱，則這個函數(shù)必不具奇偶性。(2)若奇函數(shù)f (x)在x 0處有定義，則f(0) 0。(3) (x) f(x) f ( x)為偶函數(shù)，F(xiàn)2(x)f(x) f ( x)為奇函數(shù)。(4)函數(shù)的奇偶性是相對于整個定義域來說的，而單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是局部性質(zhì)?！绢}型一、有關函數(shù)奇偶性的判斷或證明的問題例、判斷下列函數(shù)的奇偶性。1 x f (x)9 x2 f(x) (x 1)島 f (x)2x x (x 0)2x x (x 0) f(x)一 x2 11 x2 f (x)|x 2| 2【方法技巧】判斷函數(shù)的奇偶性，第一步是要先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對

14、稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數(shù)，如果對稱，接下去再去找f(x)與f(-x)之間的關系，牢記好，在 定 義 域 內(nèi)f(x)=f(-x)則為偶函數(shù)，f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)。1【變式訓練4】函數(shù)f (x) x (x 0)是() xA.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D .既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【變式訓練5若函數(shù)y x2 bx c是偶函數(shù)，則有()A. b R,c R B. b R,c 0 C. b 0,c 0 D. b 0,c R【變式訓練6】設函數(shù)f(x) ax3 2bx 1,且£( 1) 3,則f等于()A.-3B.3C.-5D.5【題型二、應用函數(shù)奇偶性求值、求

15、解析式】例、(1)已知偶函數(shù)f (x)的定義域是(,0) (0,)，當x 0時f(x) x3 1 ,求f(X)的解析式.(2)已知奇函數(shù)g(x)的定義域是R,當x 0時g(x) x2 2x,求g(x)的解析式.解答：當 。時,x< 00時/工)二工"+ 1 ,二/(一) = (一4* 十 1 =十 1(%)又“=加)是偶函數(shù)一勾="勾,*,工>0時司=I分)綜上：相=( R分)I J： + L 1 > U由題意工型)="當才Q時，則一工>01)=(一丁+2( " = /一?工一f(x)是定義域為R上的奇翦數(shù)丁(工尸一/( 一行=一

16、一一2工/()=*綜匕所述:+ 2r.r>0一 /+ 2q jWO【變式訓練7】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x 0時，f (x) x2 2x 3,求f(x)的解析【題型三、抽象函數(shù)的奇偶性的判斷】例、設函數(shù)f(x), g(x)的定義域為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是()A . f(x)g(x)是偶函數(shù)B. f(x)|g(x)是奇函數(shù)C. f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D. |f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析:記則林-工)=/(-/鞏-4二-/(常諷丁尸f(。所以否定人,選擇c：另外，對丁G(工尸雙工M.巧，內(nèi)6(一時=儀了用(一)=|一人口城曾尸出浦

17、網(wǎng)工尸G(.r),從而C(1)T/(t)帆幻是儡南數(shù)，否定8對F "=俄抽,有印一句=見砌(一項,網(wǎng)咖(叫="(磯從而紈工尸因了耐打是偶 函數(shù)，否定夕【變式訓練8】設f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x) f (x) f( x),在R上一定是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D .非奇非偶函數(shù).【題型四、有關函數(shù)奇偶性的綜合問題 】例、設奇函數(shù)f(x)在(0,)上為增函數(shù)，且f(1) 0,則不等式f(x) f( x) 0的解集為 xA、(, 1) (1,)B、(，1) (0,1)C、( 1,0)(1,)D、(1,0)(0,1)解答7.f(x)為奇函數(shù).

18、且在(o.+e) ±®8函數(shù)/二o ,= (-1) = 0T Sf-w.O)內(nèi)也是增函數(shù)f(x)-f(-x)2f(x)口: -« 0 卡xxan/>0exv 口叫僅)<0 或，f(x)>0根據(jù)在巴0)和(01+吟 內(nèi)是都是增函數(shù)解得：xe (-1,0) U (0,1)2例、已知函數(shù)f(x) ax bx c是定義在2a,1 a上的偶函數(shù)，則a , b解答：已知函數(shù)f(x)*F+bx+(;是定義在2aJ-a上的偶函數(shù) 所以定義域關于原點對稱函數(shù)關于y軸對稱,即對稱軸品邨 0iU2a+1 -a=0,-b/2a=0所以a=1b=。例、設函數(shù)f(x)對任意

19、x, y R ,都有f(x y) f (x) f(y),求證f(x)是奇函數(shù);已知了(工才那十/.令工工號句君/0=*。)。),二,(。)=口令& = 一 七,得 f 一工)=f (工)+ 1一 H),即 f( 一了)= 一式 )所以奇函數(shù)【變式訓練9】設f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c是常數(shù))且f( 7) 7,則f=若 y= (m1) x2+2mx+3 是偶函數(shù)，則 m =解答If"尸(什1* + 2Mx+3E2mx+3因為是楣函數(shù)，根據(jù)偶圖數(shù)定義f(x)=f(-x)所以(m-1 " +2rnx+3=(m-1 ；x2 -2mx+34mx=0m=O2x

20、2x, x 0,已知函數(shù)f(x)= 0,x 0, 是奇函數(shù).求實數(shù) m的值；2x mx, x 0解答：設”0 , M-r>0，所以為工)=萬十2(一句=一屋一" ,又可勾 為奇函數(shù)，所以人工)=A句.于是時，丸4 =，+ 2工=/+皿 ，所以m=2.)函數(shù)的周期性1 .周期函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任彳s'值時，都有f(x+ T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱 T為這個函數(shù)的周期.2 .最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.例、設

21、3;J)是(，)上的奇函數(shù)，f(x 2) f(x),當x 0,1時，f(x) x,求f(7.5)的值。* Ja + 2) + 2 =2) = f(x)二也岸以4為周期的函數(shù)，又.函數(shù)7W 是(一叫+M上的奇函數(shù)，當Otl時* = * ,7(7.5) =f(8-0.5)例、已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)=f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則 ()A. f(-25)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D. f(25)<f(80)<f(11)解：-f e 滿足f=

22、-f(了)，二f (1-8)= f £工)，函數(shù)是以S為周期的周期函配,則/(-25)_/ <-n , /(80)- f(0)j r ci) 4r C3)*又f (w)在h上是奇函數(shù)，f CO) =o,得了 (80 =/ (0) =0, / (-25) =/ (-1) 而由.f(7-41 =-/ O)得f ci) =f(3)=-y ji)=y(i),又了工)在區(qū)間o，司上是增函數(shù)./(H在正上是奇函數(shù)“在區(qū)間-2, 2上是增函數(shù)./Cl) >f (0) > / (-1),即f <-25) < f (SO) < f (11),【變式訓練】設f(x)是

23、(一8, + OO止的奇函數(shù)，f(x+2) = f(x),當00：W1時，f(x)=x.求f(兀的值；(2)當一4aW4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(一8, + oo內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.tJt lj (1)由f。十第 =-f O)得，f(1+4) =4 (r+2) +* = / S+包)=f W 1所以f <.r)是以為周明的周明函數(shù)r:4=f (-1 x44ff) = f (?r-4) -/ (4-tr)-(4-ff) -n-4.C2)由，GO 是奇函數(shù)與/(h+2) =-/ (i) + 鬲 fl +2=-/ C«-l) =/- (x-1) r

24、 Bp/ Cl+i) =/ (It).故知函數(shù)的圖象關于直線工=1對稱.又0可丁三1酎，f=，h H/ <3-)的國聾美于月點或中心對稱，則f (工)的圖象如岳所示.當-4"“時，f B 的圖象與工相田成的圖形面積為S,則12X2X1)=4. 函數(shù)f(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為【4止-1,-*1單調(diào)通瀛區(qū)間心41, 4Jt43 (fceG課后作業(yè)1 ,函數(shù)f(x)=4x2mx+5在區(qū)間2, +可 上是增函數(shù)，在區(qū)間 (8, 2)上是減函數(shù)，則f等于()A. 7B. 1C. 17D. 252 .已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)，且f(a)f(b)v0,則方程f(x)=0在區(qū)間a,

25、b內(nèi)()A.至少有一實根B.至多有一實根C.沒有實根D.必有唯一的實根3 .已知函數(shù) f(x)=8 + 2xx2,如果 g(x)=f( 2 x2 ),那么函數(shù) g(x)()A.在區(qū)間(一1, 0)上是減函數(shù)B.在區(qū)間(0, 1)上是減函數(shù)C.在區(qū)間(一2, 0)上是增函數(shù)D.在區(qū)間(0, 2)上是增函數(shù)4 .若函數(shù)y f(x)(x R)是奇函數(shù)，則下列坐標表示的點一定在函數(shù)y f (x)圖象上的是()A . (a, f (a) B. ( a,f(a)C. (a,f( a)D. (a, f( a)5 .下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A. y & B. y x C. y23x D. y x 1

26、6.A已知函數(shù)f(x)a 2x a 22x 11B.2(x R)是奇函數(shù)，則a的值為(C. 1D. 27.設偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當x 0,時，f(x)是增函數(shù)，則f( 2), f( ), f( 3)的大小關系是A f()f( 3)f( 2)B f( )f( 2)f( 3)Cf()f( 3)f( 2)D f( )f( 2)f( 3)8 .若函數(shù)y f(x)是奇函數(shù)，f(1) 3,則f( 1)的值為.9 .已知分段函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x 0,)時的解析式為y x2,則這個函數(shù)在區(qū)間(，0)上的解析式為.10 .判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：35_,、2，一、 f(x) x x x ；(2

27、) f (x) x ,x ( 1,3)；2 f(x) x ；(4) f(x) 5x 2；(5) f (x) (x 1)(x 1).11.已知函數(shù) f(x) = x2 + a (xw0.) x ''(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(1) = 2,試判斷f(x)在2, + 8止的單調(diào)性.33 ,12.已知定義在R上的函數(shù)y = f(x)滿足條件fx + 2 =f(x),且函數(shù)y=fx 4為奇函數(shù)，給出以下四個命 題：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；3函數(shù)f(x)的圖象關于點一：，0對稱；函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù).其中真命題的序號為.變式訓練答案:夠: