高中數(shù)學(xué)最全必修一函數(shù)性質(zhì)詳解與知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型詳解

1、(經(jīng)典)高中數(shù)學(xué)最全必修一函數(shù)性質(zhì)詳解及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型詳解分、函數(shù)的概念與表示1、映射：對映射定義的理解。判斷一個(gè)對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映集合A,B是平面直角坐標(biāo)系上的兩個(gè)點(diǎn)集，給定從人8的映射七僅加叫人/刈,求象(5,2)的原象13 *已知集合A到集合B=0,1,2,3的映射f:x-xijjUM合A中的元素最多有幾個(gè)？寫出元素最多時(shí)的集合A.兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同1、下列各對函數(shù)中，相同的是X =2B、.(X) lg X , g(x) 2lg x f (X) Igf,、 R +5"D、f (x) =x, u) -,g(v)=1 u1 v2

2、、M x|0 x 2. Ny |0y尋給出下列四個(gè)圖形,N的函數(shù)關(guān)系的有4 0個(gè)巾1個(gè)C、f 2個(gè)111二、函數(shù)的解析式與定義域函數(shù)解析式的七種求法+1-,()決 1)+3(-2、xX=)f (X) X其中能表示從集合M到集合D、1個(gè)二21待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。2、函數(shù)。構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域?qū)?yīng)法則值域配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的(刈的表達(dá)式，求的解析式，的(x)的表達(dá)式容易配成g(x)的運(yùn)算形式 時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是g(x)的值域。例2已知f(x+ 丁亍+(XO尸，求f(x)的解析式2XX三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)

3、fg(x)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求心)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。廣+=+廣+例 3 已知 f(x1)x2x ,求 f (x1)四、代人法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法。+2 x y g x例4已知：函數(shù)yx與()的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，求g(x)的解析式五、構(gòu)造方程組法：若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過1解方程組求得函數(shù)解析式。例5設(shè)f(x)滿足f(x) 2枳)X 1例6設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f，試求f(x)和g(x)的解析式(X) g(x)X 1六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較

4、多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值, =4使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例7已知:f (0)1，對于任意實(shí)數(shù)x、y,等式f (x y) f(x) y(2x y D恒成立，求f(x)七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或+ 二 + 二 + 一者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。例8設(shè)f(x)是N上的函數(shù)，滿足ffl) 1，對任意的自然數(shù)a,b都有f(a) f (b) f (a b) ab,求1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：分式的分母不為零； 代產(chǎn)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于6-

5、(05江蘇卷)函數(shù)丫 log (4xlx)的定義域?yàn)?.52求函數(shù)定義域的兩個(gè)難點(diǎn)問題已知f(x)的定義域是12同求f(2x+3)的定義域。（2）已知f（N.的定義域是卜1,3,求“”的定義域的定義域?yàn)槔?諭=二，貝j 一_） f （）-=、頭yf、H2R一求f （義）的定義域。三、函數(shù)的值域1求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量勺范圍出發(fā)，推。（X）的取值范圍，適合于簡換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適一判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次匪的芬無分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式（X有范圍限制時(shí)要畫圖）； 單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象

6、法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域；利用對號(hào)函數(shù)幾何意興法，由數(shù)形結(jié)合廠轉(zhuǎn)化距離等求值域里要是缶本酸2x 12x（直 接s+f （x） 2x3 %22242XX3.（換元法）4.（法）y5.3xC3x1 y<+ X4=+- >（2x4）7（單卑性）VI* X 一y)y 一一 S>J離常數(shù)法一18.7 X 1 X 19.(圖象 /去)y32xx (1x2) 10 .(對勾函8數(shù)) 2x (X4)X”(幾何意對yx2xiu四-函數(shù)的奇偶性1 定義2性質(zhì)y=f(x)是偶函數(shù)尸的圖象關(guān)于y軸對稱y=f(x)是 奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱若函數(shù)”)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱劇=。要關(guān)于原

7、點(diǎn)對稱3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱看f(x)與(X)的關(guān)系已知函數(shù)是定義在(一乂 +)上的偶函數(shù).當(dāng)x ( 一H寸,f(x)亍F,貝IJ當(dāng)(0,時(shí),f(x)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)2十是奇函數(shù)。求亦的值;X 1 a若對任意的t R,不等式f(t 2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范圍十3已知f(x)在上有定義，且滿足)，1 xy奇土奇奇偶土偶偶 奇X奇偶 偶X偶偶 奇X偶奇兩函數(shù)的定義域D.,D2,7(A)(0,1)訐明：f(x)存(-仁彳)卜為奇湎數(shù);4若奇函數(shù)f(x)(xR)滿足”2)1 , f(X 2) f (x) f (2),貝 lj f (5)五、函數(shù)的單調(diào)性()】

8、(1、函數(shù)單調(diào)性的定義：2設(shè)yfgx是定義在M上的函數(shù)也/!)與g(x)的單調(diào)性相反，則yfgx上是減函數(shù)；若與g(x)的單謫性相同，則ysg=在/上是增函數(shù)。2例 函數(shù)f(x)對任意的R,都有f(m n)f (m) f (n) 1，并且當(dāng) x0 時(shí),f(x) 1 ,證”在R上是譬數(shù)；4,解不等式2 a求5)23函數(shù)ylogo (6 x 2x )的單調(diào)增區(qū)間是1 )x 4a, x 14(|Sj考真題)已知f(x)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是logs x,x 1(C)-：函數(shù)單調(diào)性的證明1 取值2,作差3. 定號(hào) 4,結(jié)論 =| - - I =二:函數(shù)單調(diào)性的判定，求單調(diào)區(qū)間7y =log=T

9、L2 (xQy0 X_+ 2x21 J y2x+1.r234ay x(a °)=+ >Xo)>f f(2)f (D:函數(shù)單調(diào)性的圃1比較大小例：如果函數(shù)< <.那么A、 f f(DfB、2f(x x b5F C對任意實(shí)數(shù)t)< <fC、 f f (4)都有f(l)2解不等式例：庭濟(jì)在(-1.(蘇制勺函數(shù) 心)是減髡:國滿足：北少性/飲)+畸數(shù)&的取值范圍例：餐定義在上的增函數(shù)，/«+/(八-3)v2求滿足不等式/(x)=2(。-l)x即2的哼畀3 ,取值范圍:函數(shù)r上是減函數(shù)，的取值范圍是f(x)l(3a1)x 4alogaXA.

10、 (0,1)B.©)3=+24次函數(shù)最值例：探究函數(shù)f(x)x2是R王的減函數(shù)，那么了的取值范圍是(1 1 1t 3ax + 1在區(qū)閘的最大值和最小值。例:探究函數(shù)f(x)例：已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,)，當(dāng)X1時(shí)，f(x)。，且 f(xy)(X) f(y)1的最大值和最小值。5抽象函數(shù)單調(diào)性判斷2 XX2 1在區(qū)間+01如果f()3求fd),證明)在定義域上是增函數(shù)1,求滿足不等式f(x)f(; >2的x的取值范圍x2例:已知函數(shù)f(x)對于任意x,y電 總有f(x) + f(y)二日勺+ y),且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)vO,耳1)= 一求證:f(x)在R上是減函數(shù)

11、；求f(x)在.3,3上的最大值和最小值.Xi例:已知定義在區(qū)間+8 )上的函數(shù)f(x)滿足f() = f(xj- f(X2),且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)vo.六函數(shù)的周期性:1 (定義)若f(x力Mx)(TO)Hfg是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期。說明：nT也是f(x)的周 期(推廣)若的)扣b什貝IJf(x)是周期函數(shù)，ba是它的一個(gè)周期對照記憶劃豐(x8佩明:f(ax)(a=x)說明:2 若 f (x +) =f。)；(X t)=; f(X t)f(x)1z則f(x)周期是2a f(x)(D)2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=.f(x),則,f的值為(A)-1(B)0(C

12、)1定義在R上的偶函數(shù)心)，滿足f(2x) + f(2=x),在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減，設(shè)一 b匚廠，貝IJIb,c的大小順序?yàn)?15),(2).(5)1 -f(x)已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f(x2)，若f(l) 23,則<1f(x)f (2005)= 4已知 財(cái)是(-,)上的奇函數(shù)，f(2 x)f (x),f(7昂X恒滿足f(2當(dāng)例11設(shè)f餓:玻君/£嫡韶(鸚任意實(shí)數(shù)x 0,2時(shí)2f(x)2xx求證：f(x)是周期函數(shù)；當(dāng)X 2,4時(shí)，求f(x)的解析式;+oO計(jì)算:二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)> =2 mx2 + mx +=2、方程mx 21

13、0肴一根大于1另一根小于1則實(shí)根m的取值范圍指數(shù)式與又寸數(shù)式1 -幕的有關(guān)概念二豐零指數(shù)幕a 1 (。)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕a O.n(>6正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕_ 0, ,za _ a J m n An負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 0, m,n) )( 。的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于。,。的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義-2有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì) 8r 8rr81 a a a a 0,r, s Q 2 aa a O,r,s3 ab3 根式t艮式的性質(zhì)：當(dāng)b叫做以1對數(shù)的概念:如果a N(a 0,a1)> >豐對數(shù)的性質(zhì)：零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)啕，1。 G對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二logMN=logM+logN廠=i i=(Cha 03為底N的對數(shù)

14、，記log N(a O.a 1)4 .對數(shù)>D log a a 1log N對數(shù)換底公式：log a N(NO,a。且 m 1)log a對數(shù)的降幕公式：。. N 門loga N（N 0,a 。且 a 1）1 3(48bi(2)h)-8 Iglg5 ig 20-1)Y2 3125 ig0.1(1)0ig十.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)y翔與對數(shù)函數(shù)y=iogax（a>0 , aH勺互為反函數(shù)名稱 指數(shù)函數(shù) 一般形式 丫二寸（少。且&為）定義域(R 0?值域(0,+ H過定點(diǎn)(0,1)(3,+ °?.CX3F 為（1,0）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)y=|og-0,

15、a7八）圖象關(guān)于尸x對稱圖象I AA=logax (a>l)y=ax (0<a<lA壬 Q a>l)0單調(diào)性少1,在（令于上為增函數(shù)0vav1,在（-令°?上為減函姒a>1,在（0,+為上為增函數(shù)0vav1,在（0,+竽上為減函數(shù)值分布72.比較兩個(gè)幕值的大小，是一類易錯(cuò)題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對數(shù)式比較大小同理）記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象:04 y3、研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的

16、絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的里調(diào)性是解決問題的重要途* 反口二工丁 w忌口 q女d工&1 ' （D y igfig（5 3x）的定義域?yàn)?；的值域?yàn)?3)ylg(log2 +x2 x= +01-4）的遞增回 ，值,+ ® _ 卜 8 >x 4X3、要使函數(shù)yia在x ,1 士y 0恒成立。求a的取值范圍24.若尹+，VaX.2 2 <i<o（a>O且彳占），求y=2a2x-3ax+4的值域十函數(shù)的圖象變換一（1）1、平移變換：（左+右-，上+下-）即f(x)f (X)左移yf(Xh)T=k 0 ,； k

17、0 ,下移T= 上移_yf(x)窈稱變換：（麗底雀不變，亦稱原點(diǎn)塞變）f(x)f(x)f(x)f ( x)x)x)(3 ) y=2 ixi ；IV-f (幼而原點(diǎn)V f( x)y f （ x）''軸右邊不變，左邊酋邊部分的對稱圖f (X保留XX軸上方圖,帶下方圖上翻f (X)fWtf做碩f酬）的瓦豳數(shù)的圖象可盧2,y=|2x-i| ；)函數(shù)圖像的變換函數(shù)圖象及變規(guī)闡握幾類基本的初等函數(shù)圖像是學(xué)好本內(nèi)容的題K基本函數(shù)一次函數(shù)、（2）二次函數(shù)、（3）反比例函數(shù)、（4）指數(shù)函數(shù)、（5）對數(shù)函數(shù)、（6）三角函數(shù)。2、圖象的變換平移變換（左加右減函數(shù)y=f(x+2)的圖象是把函數(shù)Ex)的圖像沿由向左平移2個(gè)單位得到的；反之向右移2個(gè)單位函數(shù)y=f(x)-3(的圖象是把函數(shù)尸f(x)的圖像仔由向下平移3個(gè)單位得到的；反之向上移3個(gè)單位(2)對稱函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=(x)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；如果函數(shù)尸f(x)對于一垛八都有f(x+a)=f(x-a)那么y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱。力口(x)與y=f(x)關(guān)于直線對稱y=f(x)MQx|)、伸縮換y=af(x)(a>0)的圖象，可將(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長