習(xí)題課 振動及波動

1、大學(xué)物理習(xí)題課大學(xué)物理習(xí)題課振動與波動振動與波動習(xí)題課內(nèi)容習(xí)題課內(nèi)容 振動振動 波動波動內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答習(xí)題解答內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答習(xí)題解答振動內(nèi)容總結(jié)振動內(nèi)容總結(jié) 簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動定義與判據(jù) 簡諧運動的描述簡諧運動的描述 簡諧運動的合成簡諧運動的合成 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動簡諧運動定義與判據(jù)簡諧運動定義與判據(jù) 定義定義：物體運動時，離開平衡位置的位移按：物體運動時，離開平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時間變化的運動。動。 判據(jù)判據(jù) 動力學(xué)判據(jù)動力學(xué)判據(jù): 受到與對平衡位置的位移成正比受到與對平衡位置的位移成正比

2、而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量能量判據(jù)：動能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。不變。 運動學(xué)判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦運動學(xué)判據(jù)：位置隨時間變化符合正弦或余弦形式。形式。簡諧運動的描述簡諧運動的描述 數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式x= A cos ( t+ ) 基本特征量基本特征量 角頻率角頻率 振幅振幅A 初相初相 能量能量 動力學(xué)方程動力學(xué)方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk02022xdtxdkmTmk2,0022020arctan,xvvxA簡諧運動的合成簡諧運動的合成 同方向的兩個同頻率振動同方向的兩個同頻率振動 合振動振

3、幅決定于兩個振動振幅和相差合振動振幅決定于兩個振動振幅和相差 同方向不同頻率振動同方向不同頻率振動 頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差頻率差很小時存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動頻率差 相互垂直的兩個同頻率振動相互垂直的兩個同頻率振動 圓、橢圓或線段圓、橢圓或線段 相互垂直的兩個不同頻率的振動相互垂直的兩個不同頻率的振動 利薩如圖利薩如圖簡諧運動的動力學(xué)方程簡諧運動的動力學(xué)方程0222xdtxd阻尼運動阻尼運動受到與運動速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做受到與運動速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做功，運動能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。功，運動能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。三種情況三

4、種情況欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼022022xdtdxdtxd受迫振動受迫振動 在驅(qū)動力作用下的振動。在驅(qū)動力作用下的振動。 穩(wěn)態(tài)的振動頻率等于驅(qū)動力的頻率；穩(wěn)態(tài)的振動頻率等于驅(qū)動力的頻率； 驅(qū)動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生驅(qū)動力頻率等于振動系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)可以最大限度地從外共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)可以最大限度地從外界吸收能量。界吸收能量。重點內(nèi)容重點內(nèi)容 重點概念重點概念相位相位 初相、相差、同相、反相初相、相差、同相、反相 重點公式重點公式x = A cos ( t+ ) 振幅、相位、頻率、初相振幅、相位、頻率、初相 重點方法重點方法旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 簡

5、諧運動與圓周運動的聯(lián)系簡諧運動與圓周運動的聯(lián)系波波 動內(nèi)容總結(jié)動內(nèi)容總結(jié) 行波行波 簡諧波簡諧波 波動的微分方程與波的傳播速度波動的微分方程與波的傳播速度 波的能量波的能量 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加與駐波波的疊加與駐波 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)行波行波 波函數(shù)的一般形式：波函數(shù)的一般形式： 波形曲線：某一時刻的波形曲線：某一時刻的yx曲線。曲線。 波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速u的平移。的平移。()xyf tuxy簡諧波簡諧波 波函數(shù)形式：波函數(shù)形式： 注意簡諧波形曲線與簡諧振動曲線的區(qū)別。注意簡諧波形曲線與簡諧振動曲線的區(qū)別。coscos22xtxyAtAuTTu

6、T各量關(guān)系：周期 波速 波動的微分方程與波的傳播速度波動的微分方程與波的傳播速度波動方程：波動方程：222221yyxut棒中波速：棒中波速：拉緊繩中波速：拉緊繩中波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：/EulltFu/Gut液體、氣體中縱波波速：液體、氣體中縱波波速：/Kul波的能量波的能量簡諧波在一個周期內(nèi)的平簡諧波在一個周期內(nèi)的平均能量密度：均能量密度：波動在傳播振動形式的同時傳播能量。波動在傳播振動形式的同時傳播能量。2212wA平均能流：平均能流：PwuS平均能流密度（波的強度）：平均能流密度（波的強度）：2212IwuA u在均勻媒質(zhì)中，平面波的強度不變，球面波強度

7、與在均勻媒質(zhì)中，平面波的強度不變，球面波強度與半徑的平方成反比。半徑的平方成反比。22221122A rA r惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中任一波陣面上的惠更斯原理：介質(zhì)中任一波陣面上的各點各點，都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源，其后任一，其后任一時刻，這些時刻，這些子波的包跡子波的包跡就是就是新新的的波振面波振面。應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折射現(xiàn)象。射現(xiàn)象。波的疊加與駐波波的疊加與駐波波的疊加原理波的疊加原理：幾列波可以保持各自特點通過同一介：幾列波可以保持各自特點通過同一介質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點的位移，為各

8、質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點的位移，為各波單獨在該點產(chǎn)生位移的合成。波單獨在該點產(chǎn)生位移的合成。波的干涉加強和減弱條件波的干涉加強和減弱條件兩列頻率、振動方向和振幅都相同而傳播方向相反兩列頻率、振動方向和振幅都相同而傳播方向相反的簡諧波疊加形成駐波。表達式為：的簡諧波疊加形成駐波。表達式為：txAycos2cos2其實質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。其實質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動，有波節(jié)和波腹。注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時存在注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時存在半波損失，此點只能是波節(jié)。半波損失，此點只能是波節(jié)。多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運動的

9、接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運動的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)。RRSSuvuvSSRRvuvu相向運動相向運動相背運動相背運動機械波機械波一般情況一般情況 coscosRRSSu Vu V例例1. 兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振動表達式為動表達式為 x1= Acos( t + )，當(dāng)?shù)谝粋€振子從振動的正方向回，當(dāng)?shù)谝粋€振子從振動的正方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點。(1) 求第二個振子的振動表達式和二者的相差；求第二個振子的振動表達式和二者的相

10、差；(2) 若若 t =0 時，時，x1= A/2，并向，并向 x 負方向運動，畫出二負方向運動，畫出二者的者的 x-t 曲線及相量圖。曲線及相量圖。解：解：(1) 由已知條件畫出相量圖，可見由已知條件畫出相量圖，可見第二個振子比第一個振子相位落后第二個振子比第一個振子相位落后 /2，故故 = 2 1 = /2，第二個振子的振動函數(shù)為第二個振子的振動函數(shù)為 x2= Acos( t + + ) = Acos( t + /2) A1A2xO A1A2xO 32(2) 由由 t = 0 時，時，x1= A/2 且且 v 0，則，則sin 0 0 0= - /2故振動表達式為：故振動表達式為：)22c

11、os(tAy波函數(shù)為：波函數(shù)為：2)(2cosuxtAy入射波函數(shù)為：入射波函數(shù)為：2)(2cosuxtAy即即222cosxutAy入射波到達界面入射波到達界面P點的振動為點的振動為)2cos(2232cos24322costAtAutAyP由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，P點反點反射的振動為射的振動為tAyP2cos反射波的波函數(shù)：反射波的波函數(shù)：34222522222xyAtAtxAtxuucoscoscos反合成駐波合成駐波: 反入駐yyy22cos2cos2)222cos()222cos(txuAxutAxutA波節(jié)的位置為波節(jié)的位置為4)

12、 12(kx在在OP區(qū)間區(qū)間4x在在 處為入射波、反射波干涉相消的處為入射波、反射波干涉相消的靜止點。靜止點。43x例題例題5飛機在上空以速度飛機在上空以速度v=200m/s作水平飛行，發(fā)出頻作水平飛行，發(fā)出頻率為率為 02000Hz的聲波，靜止在地面的觀察者測的聲波，靜止在地面的觀察者測定飛機發(fā)出的聲波頻率，當(dāng)飛機越過觀察者上空定飛機發(fā)出的聲波頻率，當(dāng)飛機越過觀察者上空時，觀察者在時，觀察者在4s內(nèi)測出的頻率從內(nèi)測出的頻率從 12400Hz降為降為 21600Hz，已知聲波在空氣中的速度為，已知聲波在空氣中的速度為u=340m/s。試求飛機的飛行高度試求飛機的飛行高度h。AMB 在在M點接收

13、到飛機在點接收到飛機在A點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察者的速度為者的速度為cosAMvv按照多普勒效應(yīng)公式按照多普勒效應(yīng)公式001cosvuuvuuAM解出解出275. 0cos101uv在在M點接收到飛機在點接收到飛機在B點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察點發(fā)出的聲波，飛機相對觀察者的速度為者的速度為cosvvBM002cosvuuvuuBM解出解出4125. 0cos202uvAMB 由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系ctgctghvtABmvtctgctgvth3221008. 1cos1coscos1cos故故AMB 例例6：已知：已知 t = 2s 時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

14、時一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及 O 點的振動函數(shù)。點的振動函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou = 0.5m/s123解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程xTtAy2cos已知已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s由由25 . 0422cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty得得223即即2所以波函數(shù)為所以波函數(shù)為)m(22cos5 . 0 xtyO 點的振動函數(shù)為點的振動函數(shù)為)m(22cos5 . 0Oty 例例7 如圖如圖, 一列沿一列沿x軸正向傳播的簡諧波軸正向傳播的簡諧波方程為方程為 (m)（1）在在1，2兩種介質(zhì)分界面上點兩種

15、介質(zhì)分界面上點A與坐標(biāo)原點與坐標(biāo)原點O相距相距L=2.25 m.已知介質(zhì)已知介質(zhì)2的波阻大于介質(zhì)的波阻大于介質(zhì)1的波阻的波阻,假設(shè)反射波與入射波的振幅相等假設(shè)反射波與入射波的振幅相等, 求：求： （a）反射波方程反射波方程;（b）駐波方程駐波方程;（c）在在OA之間波節(jié)和波腹的位置坐標(biāo)之間波節(jié)和波腹的位置坐標(biāo).yLOAx12 )200(200cos1031xtyyLOAx12解解 （a）設(shè)反射波方程為設(shè)反射波方程為（2）由式由式（1）得得A點的反射振動方程點的反射振動方程（3）)200(200cos10032xty(m)200(200cos1031LtyA(m) 由式由式（2）得得A點的反射振動方程點的反射振動方程（4） 由式由式( (3) )和式和式( (4) )得：得：舍去舍去)200(200cos10032LtyA2-4-3.520L20(m) 所以反射波方程為：所以反射波方程為：2)200(200cos1032xty(m)（b）)4200cos()4co