習(xí)題課 振動(dòng)及波動(dòng)

1、大學(xué)物理習(xí)題課大學(xué)物理習(xí)題課振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)與波動(dòng)習(xí)題課內(nèi)容習(xí)題課內(nèi)容 振動(dòng)振動(dòng) 波動(dòng)波動(dòng)內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答習(xí)題解答內(nèi)容總結(jié)內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答習(xí)題解答振動(dòng)內(nèi)容總結(jié)振動(dòng)內(nèi)容總結(jié) 簡諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù) 簡諧運(yùn)動(dòng)的描述簡諧運(yùn)動(dòng)的描述 簡諧運(yùn)動(dòng)的合成簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù) 定義定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移按：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)。 判據(jù)判據(jù) 動(dòng)力學(xué)判據(jù)動(dòng)力學(xué)判據(jù): 受到與對(duì)平衡位置的位移成正比受到與對(duì)平衡位置的位移成正比

2、而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判據(jù)：動(dòng)能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量能量判據(jù)：動(dòng)能與勢能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。不變。 運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：位置隨時(shí)間變化符合正弦或余弦運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：位置隨時(shí)間變化符合正弦或余弦形式。形式。簡諧運(yùn)動(dòng)的描述簡諧運(yùn)動(dòng)的描述 數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式x= A cos ( t+ ) 基本特征量基本特征量 角頻率角頻率 振幅振幅A 初相初相 能量能量 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk02022xdtxdkmTmk2,0022020arctan,xvvxA簡諧運(yùn)動(dòng)的合成簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 同方向的兩個(gè)同頻率振動(dòng)同方向的兩個(gè)同頻率振動(dòng) 合振動(dòng)振

3、幅決定于兩個(gè)振動(dòng)振幅和相差合振動(dòng)振幅決定于兩個(gè)振動(dòng)振幅和相差 同方向不同頻率振動(dòng)同方向不同頻率振動(dòng) 頻率差很小時(shí)存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動(dòng)頻率差頻率差很小時(shí)存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動(dòng)頻率差 相互垂直的兩個(gè)同頻率振動(dòng)相互垂直的兩個(gè)同頻率振動(dòng) 圓、橢圓或線段圓、橢圓或線段 相互垂直的兩個(gè)不同頻率的振動(dòng)相互垂直的兩個(gè)不同頻率的振動(dòng) 利薩如圖利薩如圖簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程0222xdtxd阻尼運(yùn)動(dòng)阻尼運(yùn)動(dòng)受到與運(yùn)動(dòng)速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做受到與運(yùn)動(dòng)速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做功，運(yùn)動(dòng)能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。功，運(yùn)動(dòng)能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。三種情況三

4、種情況欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼022022xdtdxdtxd受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。 穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率；穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率； 驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率時(shí)發(fā)生驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率時(shí)發(fā)生共振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)可以最大限度地從外共振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)可以最大限度地從外界吸收能量。界吸收能量。重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容 重點(diǎn)概念重點(diǎn)概念相位相位 初相、相差、同相、反相初相、相差、同相、反相 重點(diǎn)公式重點(diǎn)公式x = A cos ( t+ ) 振幅、相位、頻率、初相振幅、相位、頻率、初相 重點(diǎn)方法重點(diǎn)方法旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 簡

5、諧運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系簡諧運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系波波 動(dòng)內(nèi)容總結(jié)動(dòng)內(nèi)容總結(jié) 行波行波 簡諧波簡諧波 波動(dòng)的微分方程與波的傳播速度波動(dòng)的微分方程與波的傳播速度 波的能量波的能量 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加與駐波波的疊加與駐波 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)行波行波 波函數(shù)的一般形式：波函數(shù)的一般形式： 波形曲線：某一時(shí)刻的波形曲線：某一時(shí)刻的yx曲線。曲線。 波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速u的平移。的平移。()xyf tuxy簡諧波簡諧波 波函數(shù)形式：波函數(shù)形式： 注意簡諧波形曲線與簡諧振動(dòng)曲線的區(qū)別。注意簡諧波形曲線與簡諧振動(dòng)曲線的區(qū)別。coscos22xtxyAtAuTTu

6、T各量關(guān)系：周期 波速 波動(dòng)的微分方程與波的傳播速度波動(dòng)的微分方程與波的傳播速度波動(dòng)方程：波動(dòng)方程：222221yyxut棒中波速：棒中波速：拉緊繩中波速：拉緊繩中波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：/EulltFu/Gut液體、氣體中縱波波速：液體、氣體中縱波波速：/Kul波的能量波的能量簡諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平簡諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平均能量密度：均能量密度：波動(dòng)在傳播振動(dòng)形式的同時(shí)傳播能量。波動(dòng)在傳播振動(dòng)形式的同時(shí)傳播能量。2212wA平均能流：平均能流：PwuS平均能流密度（波的強(qiáng)度）：平均能流密度（波的強(qiáng)度）：2212IwuA u在均勻媒質(zhì)中，平面波的強(qiáng)度不變，球面波強(qiáng)度

7、與在均勻媒質(zhì)中，平面波的強(qiáng)度不變，球面波強(qiáng)度與半徑的平方成反比。半徑的平方成反比。22221122A rA r惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中任一波陣面上的惠更斯原理：介質(zhì)中任一波陣面上的各點(diǎn)各點(diǎn)，都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源，其后任一，其后任一時(shí)刻，這些時(shí)刻，這些子波的包跡子波的包跡就是就是新新的的波振面波振面。應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折射現(xiàn)象。射現(xiàn)象。波的疊加與駐波波的疊加與駐波波的疊加原理波的疊加原理：幾列波可以保持各自特點(diǎn)通過同一介：幾列波可以保持各自特點(diǎn)通過同一介質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的位移，為各

8、質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的位移，為各波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生位移的合成。波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生位移的合成。波的干涉加強(qiáng)和減弱條件波的干涉加強(qiáng)和減弱條件兩列頻率、振動(dòng)方向和振幅都相同而傳播方向相反兩列頻率、振動(dòng)方向和振幅都相同而傳播方向相反的簡諧波疊加形成駐波。表達(dá)式為：的簡諧波疊加形成駐波。表達(dá)式為：txAycos2cos2其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動(dòng)，有波節(jié)和波腹。其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動(dòng)，有波節(jié)和波腹。注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時(shí)存在注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時(shí)存在半波損失，此點(diǎn)只能是波節(jié)。半波損失，此點(diǎn)只能是波節(jié)。多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運(yùn)動(dòng)的

9、接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)。RRSSuvuvSSRRvuvu相向運(yùn)動(dòng)相向運(yùn)動(dòng)相背運(yùn)動(dòng)相背運(yùn)動(dòng)機(jī)械波機(jī)械波一般情況一般情況 coscosRRSSu Vu V例例1. 兩個(gè)諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動(dòng)。第一個(gè)振子的振兩個(gè)諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動(dòng)。第一個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式為動(dòng)表達(dá)式為 x1= Acos( t + )，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動(dòng)的正方向回，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動(dòng)的正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。到平衡位置時(shí)，第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。(1) 求第二個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式和二者的相差；求第二個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式和二者的相

10、差；(2) 若若 t =0 時(shí)，時(shí)，x1= A/2，并向，并向 x 負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，畫出二負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，畫出二者的者的 x-t 曲線及相量圖。曲線及相量圖。解：解：(1) 由已知條件畫出相量圖，可見由已知條件畫出相量圖，可見第二個(gè)振子比第一個(gè)振子相位落后第二個(gè)振子比第一個(gè)振子相位落后 /2，故故 = 2 1 = /2，第二個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)為第二個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)為 x2= Acos( t + + ) = Acos( t + /2) A1A2xO A1A2xO 32(2) 由由 t = 0 時(shí)，時(shí)，x1= A/2 且且 v 0，則，則sin 0 0 0= - /2故振動(dòng)表達(dá)式為：故振動(dòng)表達(dá)式為：)22c

11、os(tAy波函數(shù)為：波函數(shù)為：2)(2cosuxtAy入射波函數(shù)為：入射波函數(shù)為：2)(2cosuxtAy即即222cosxutAy入射波到達(dá)界面入射波到達(dá)界面P點(diǎn)的振動(dòng)為點(diǎn)的振動(dòng)為)2cos(2232cos24322costAtAutAyP由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，P點(diǎn)反點(diǎn)反射的振動(dòng)為射的振動(dòng)為tAyP2cos反射波的波函數(shù)：反射波的波函數(shù)：34222522222xyAtAtxAtxuucoscoscos反合成駐波合成駐波: 反入駐yyy22cos2cos2)222cos()222cos(txuAxutAxutA波節(jié)的位置為波節(jié)的位置為4)

12、 12(kx在在OP區(qū)間區(qū)間4x在在 處為入射波、反射波干涉相消的處為入射波、反射波干涉相消的靜止點(diǎn)。靜止點(diǎn)。43x例題例題5飛機(jī)在上空以速度飛機(jī)在上空以速度v=200m/s作水平飛行，發(fā)出頻作水平飛行，發(fā)出頻率為率為 02000Hz的聲波，靜止在地面的觀察者測的聲波，靜止在地面的觀察者測定飛機(jī)發(fā)出的聲波頻率，當(dāng)飛機(jī)越過觀察者上空定飛機(jī)發(fā)出的聲波頻率，當(dāng)飛機(jī)越過觀察者上空時(shí)，觀察者在時(shí)，觀察者在4s內(nèi)測出的頻率從內(nèi)測出的頻率從 12400Hz降為降為 21600Hz，已知聲波在空氣中的速度為，已知聲波在空氣中的速度為u=340m/s。試求飛機(jī)的飛行高度試求飛機(jī)的飛行高度h。AMB 在在M點(diǎn)接收

13、到飛機(jī)在點(diǎn)接收到飛機(jī)在A點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察者的速度為者的速度為cosAMvv按照多普勒效應(yīng)公式按照多普勒效應(yīng)公式001cosvuuvuuAM解出解出275. 0cos101uv在在M點(diǎn)接收到飛機(jī)在點(diǎn)接收到飛機(jī)在B點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察者的速度為者的速度為cosvvBM002cosvuuvuuBM解出解出4125. 0cos202uvAMB 由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系ctgctghvtABmvtctgctgvth3221008. 1cos1coscos1cos故故AMB 例例6：已知：已知 t = 2s 時(shí)一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

14、時(shí)一列簡諧波的波形如圖，求波函數(shù)及 O 點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou = 0.5m/s123解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程xTtAy2cos已知已知 A = 0.5m， = 2m，T = / u = 2 / 0.5 = 4s由由25 . 0422cos5 . 0)5 . 0, 2(5 . 0 xty得得223即即2所以波函數(shù)為所以波函數(shù)為)m(22cos5 . 0 xtyO 點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)為點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)為)m(22cos5 . 0Oty 例例7 如圖如圖, 一列沿一列沿x軸正向傳播的簡諧波軸正向傳播的簡諧波方程為方程為 (m)（1）在在1，2兩種介質(zhì)分界面上點(diǎn)兩種

15、介質(zhì)分界面上點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O相距相距L=2.25 m.已知介質(zhì)已知介質(zhì)2的波阻大于介質(zhì)的波阻大于介質(zhì)1的波阻的波阻,假設(shè)反射波與入射波的振幅相等假設(shè)反射波與入射波的振幅相等, 求：求： （a）反射波方程反射波方程;（b）駐波方程駐波方程;（c）在在OA之間波節(jié)和波腹的位置坐標(biāo)之間波節(jié)和波腹的位置坐標(biāo).yLOAx12 )200(200cos1031xtyyLOAx12解解 （a）設(shè)反射波方程為設(shè)反射波方程為（2）由式由式（1）得得A點(diǎn)的反射振動(dòng)方程點(diǎn)的反射振動(dòng)方程（3）)200(200cos10032xty(m)200(200cos1031LtyA(m) 由式由式（2）得得A點(diǎn)的反射振動(dòng)方程點(diǎn)的反射振動(dòng)方程（4） 由式由式( (3) )和式和式( (4) )得：得：舍去舍去)200(200cos10032LtyA2-4-3.520L20(m) 所以反射波方程為：所以反射波方程為：2)200(200cos1032xty(m)（b）)4200cos()4co