中南大學材料力學第2章(軸向拉伸及壓縮、剪切)

1、一、定義一、定義 等直桿沿軸線受到一對大小相等方向相反的力作用，稱為等直桿沿軸線受到一對大小相等方向相反的力作用，稱為軸向拉壓軸向拉壓。桿件受到的外力或其合力的作用線沿桿件軸線。桿件受到的外力或其合力的作用線沿桿件軸線。桿件沿軸線方向發(fā)生伸長或縮短。桿件沿軸線方向發(fā)生伸長或縮短。 二、受力特點二、受力特點 三、變形特點三、變形特點 四、工程實例四、工程實例 一、軸力一、軸力 1 1 截面法截面法求軸向拉壓桿件橫截面上的內(nèi)力求軸向拉壓桿件橫截面上的內(nèi)力- -軸力軸力建立分離體的靜力平衡方程求出內(nèi)力。建立分離體的靜力平衡方程求出內(nèi)力。 將桿件假想地沿某一橫截面開將桿件假想地沿某一橫截面開取分離體，

2、用內(nèi)力表示去掉部分對保留部分的作用取分離體，用內(nèi)力表示去掉部分對保留部分的作用0PNFFPNFF 0 xF2 2 軸力的符號規(guī)定軸力的符號規(guī)定 拉力為正（方向背離桿件截面）拉力為正（方向背離桿件截面）FN 0FN FN FN 1 (1.33.0) 二、強度條件二、強度條件 Nmaxmax()FA 1) 強度校核強度校核 2)截面設計截面設計 3)許用載荷確定許用載荷確定 NFA NFA NFA :max 工作時最大應力工作時最大應力 : 許用應力許用應力 強度條件的三個方面應用：強度條件的三個方面應用： Example圖示貨架由梁圖示貨架由梁 AC 和拉桿和拉桿AB 組成，梁組成，梁 AC由兩

3、根由兩根 808080807 7 的的角鋼組成，拉桿角鋼組成，拉桿AB由兩根由兩根 NO.10NO.10的工字型鋼組成，材料的許用應的工字型鋼組成，材料的許用應力力 =200MPa =200MPa 試求：試求：1 1若若 FP=120kNkN，請校核強度，請校核強度 2 2求結構最大的外載荷求結構最大的外載荷 FP 解：解：0yF 0 xFFN1sin30-FP =0 FN2- FN1cos30=0 FN1=2FP FN2=1.732 FP 1 1 節(jié)點節(jié)點A A的平衡方程的平衡方程2 桿件軸力桿件軸力FP=120kN， FN1=2FP =240kN，F(xiàn)N2 =1.732 FP=207.8kN

4、 3 應力應力2621m102172mm10862A2622m102860mm14302A5 .110Pa10105. 1m102172N10240826311NMPaAF66.72Pa10266. 7m102860N108 .207726322NMPaAF4 結論：結構安全結論：結構安全5 5 求結構允許的最大載荷求結構允許的最大載荷 AFN kNAFN24.369Pa10170m10217262611 kNAFN20.486Pa10170m10286062622kN7 .280732. 1kN20.486732. 1kN6 .1842kN24.36922NP21NP1FFFFkN6 .18

5、4,min21PPPFFF一、拉壓桿的軸向變形一、拉壓桿的軸向變形1. 1. 軸向變形軸向變形 軸向線應變軸向線應變 L1L1LLLLL 軸向變形軸向變形 NFA ll NF llEA E EA ：抗拉壓剛度抗拉壓剛度N( )dd( )( )FxxlEA x N( )d( )lFxxlEA x 2 軸力和截面積軸力和截面積 是變量，是變量，則桿件的總伸長量為：則桿件的總伸長量為：分析：分析：1 拉壓桿件分為材料、截面積和長度不同的幾段，則桿件的總伸長量為：拉壓桿件分為材料、截面積和長度不同的幾段，則桿件的總伸長量為：niiiiAElFl1Ni二、拉壓桿的橫向變形二、拉壓桿的橫向變形1. 1.

6、橫向變形橫向變形 橫向線應變橫向線應變 1bbb bb 1aa1bb橫向變形系數(shù)（泊松比）橫向變形系數(shù)（泊松比）在彈性范圍內(nèi)：在彈性范圍內(nèi)：2. 2. 泊松比泊松比 圖所示鋼螺栓，內(nèi)徑圖所示鋼螺栓，內(nèi)徑d1 = 15.3mm ，被連接部分的總長度，被連接部分的總長度l = 54mm，擰緊時螺栓，擰緊時螺栓ABAB段的伸長段的伸長l = 0.04mm，鋼的彈性模量，鋼的彈性模量E = 200GPa，泊松比，泊松比 = 0.3。試計算螺栓橫截面上的正應力及。試計算螺栓橫截面上的正應力及螺栓的橫向變形。螺栓的橫向變形。 解：螺栓的軸向正應變解：螺栓的軸向正應變 螺栓橫截面上的正應力螺栓橫截面上的正應

7、力 螺栓的橫向正應變螺栓的橫向正應變 螺栓的橫向變形螺栓的橫向變形 3430.04 107.41 1054 10ll 94200 107.41 10148.2MPaE 440.3 7.41 102.22 10 43612.22 1015.3 103.4 10 mdd Example圖所示桁架，在節(jié)點圖所示桁架，在節(jié)點A 處作用鉛垂載荷處作用鉛垂載荷F = 10kN ，已知，已知1 桿用鋼桿用鋼制成，彈性模量制成，彈性模量E1 = 200GPa ，橫截面面積，橫截面面積A1 = 100mm2 ，桿長，桿長l1 = 1m ，2 桿用硬鋁制成，彈性模量桿用硬鋁制成，彈性模量E2 = 70GPa ，橫

8、截面面積，橫截面面積A2 = 250mm2 ，桿長，桿長l2 = 0.707m 。試求節(jié)點。試求節(jié)點A的位移。的位移。 解：以節(jié)點解：以節(jié)點A 為研究對象，建立平衡方程為研究對象，建立平衡方程 解得：解得： 0:xF 0:yF ( (拉拉) )( (壓壓) )oN1N2cos450FF oN1sin450FFN1214.14kNFF N210kNFF Example34N1 11961114.14 1017.07 10 m200 10100 10F llE A 34N2 22962210 100.7074.04 10 m70 10250 10F llE A xAAl4A224.04 10 m

9、yllAAA A312A445oo1.404 10 msin45tan45 計算桿計算桿1、2 的變形量的變形量 節(jié)點節(jié)點A 的水平位移的水平位移 節(jié)點節(jié)點A 的垂直位移的垂直位移 ( (拉拉) )( (壓壓) )N1214.14kNFF N210kNFF 靜不定問題：靜不定問題：未知力數(shù)目多余獨立平衡方程數(shù)目，未知未知力數(shù)目多余獨立平衡方程數(shù)目，未知力不能由平衡方程全部求出。力不能由平衡方程全部求出。 二、靜不定問題的解法二、靜不定問題的解法 變形協(xié)調(diào)方程（變形幾何關系）變形協(xié)調(diào)方程（變形幾何關系）靜定問題：靜定問題：未知力數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目，未知力未知力數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目，未知

10、力可由平衡方程全部求出。可由平衡方程全部求出。三關系法三關系法靜力方程（靜力關系）靜力方程（靜力關系）物理方程（物理關系）物理方程（物理關系）一、定義一、定義 圖示結構，已知桿圖示結構，已知桿1 、2 的拉壓剛度為的拉壓剛度為E1A1，長度為，長度為l1，3 桿的桿的拉壓剛度為拉壓剛度為E3A3。試求桿。試求桿1、2、3 的內(nèi)力。的內(nèi)力。 ExampleCPABD123PAFN1FN3FN20:xF N1N2sinsin0FF 0:yF N1N2N3coscos0FFFF 解：解：1 1 以節(jié)點以節(jié)點A 為研究對象，建立平衡方程為研究對象，建立平衡方程 2 2 由變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程由

11、變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程 3 3 物理關系：由胡克定律可得物理關系：由胡克定律可得 求解得：求解得： 13cosll N1 1111F llE A N3 3N3 133333cosF lF llE AE A 2N1 1N3 11133cosF lF lE AE A 2N1N223311cos2cos/FFFE AE A N33113312cos/FFE AE A CABD123A11L2L3L 例：圖所示結構，桿例：圖所示結構，桿1 、2 的彈性模量為的彈性模量為E ，橫截面面積均為，橫截面面積均為A ，梁，梁BD 為剛體，載荷為剛體，載荷F = 50kN ，許用拉應力，許用拉應力t =

12、160MPa，許用壓應力許用壓應力c = 120MPa , ,試確定各桿的橫截面面積。試確定各桿的橫截面面積。 以梁為研究對象，建立平衡方程以梁為研究對象，建立平衡方程 由變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程由變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程 由胡克定律可得由胡克定律可得 B()0:MF oN1N2sin45220FlFlFl 2122 2lCCl N1 1N112F lF llEAEAN2 2N22F lF llEAEA N2N14F lF lEAEA由解得：由解得： 2 桿的橫截面面積桿的橫截面面積 1 桿的橫截面面積桿的橫截面面積 N111.49kNF N245.9kNF 342N226t15.9

13、102.87 10 m160 10FA 所以桿所以桿1 、2 的橫截面面積為的橫截面面積為2.8710-4m2352N116c11.49 109.58 10 m120 10FA oN1N2sin45220FlFlFl N2N14F lF lEAEA ( (拉拉) )( (壓壓) )三、裝配應力三、裝配應力 構件制造尺寸誤差，構件制造尺寸誤差，靜不定結構靜不定結構裝配后構件產(chǎn)生的附加應力。裝配后構件產(chǎn)生的附加應力。 例：圖示靜不定桿系，已知桿例：圖示靜不定桿系，已知桿1 、2 的拉壓剛度為的拉壓剛度為E1A1 ，3 桿的拉壓剛度為桿的拉壓剛度為E3A3 ，3 桿有誤差桿有誤差，強行將三桿鉸接。試

14、，強行將三桿鉸接。試求各桿的內(nèi)力。求各桿的內(nèi)力。 ABC12DA13解：解：1 1 以節(jié)點以節(jié)點A 為研究對象，建立平衡方程為研究對象，建立平衡方程 2 2 由變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程由變形幾何關系可得變形協(xié)調(diào)方程 3 3 由物理關系可得由物理關系可得 0:xF 0:yF N1N2sinsin0FFN1N2N3sinsin0FFF 13cosll N1 1N111111cosF lF llE AE A N3 3N333333F lF llE AE A N1N321133cosF lF lE AE A A1FN1FN2FN3AA13l2l1l由解得：由解得： 33N1N2333112cos

15、(1)2cosE AFFE AlE A 33N333311(1)2cosE AFE AlE A N1N2sinsin0FFN1N2N3sinsin0FFF N1N321133cosF lF lE AE A 三、溫度應力三、溫度應力 由于溫度的變化引起由于溫度的變化引起靜不定結構靜不定結構中構件產(chǎn)生的附加應力。中構件產(chǎn)生的附加應力。 例：圖所示管長度為例：圖所示管長度為l ，橫截面面積為，橫截面面積為A ，材料彈性模，材料彈性模量為量為E ，材料線膨脹系數(shù)為，材料線膨脹系數(shù)為 ，溫度升高，溫度升高t ，試求管的溫度，試求管的溫度應力。應力。 解：解：將管子端的約束解除，溫度升高，則伸長量為將管子

16、端的約束解除，溫度升高，則伸長量為 管子兩端固定，相當于有一壓力將管子進行壓縮，設壓力為管子兩端固定，相當于有一壓力將管子進行壓縮，設壓力為，則壓縮長度為，則壓縮長度為 管的總伸長量為零，則管的總伸長量為零，則 解得：解得： tll t RBFllEA RBt0Fllll tEA RBFEAt RBFEtA 一、剪切的概念和實例一、剪切的概念和實例連接件連接件：工程實際中，經(jīng)常需要將構件相互連接：工程實際中，經(jīng)常需要將構件相互連接橋梁桁架結點處的鉚釘橋梁桁架結點處的鉚釘(或螺栓或螺栓)連接連接機械中的軸與齒輪間的鍵連接機械中的軸與齒輪間的鍵連接木結構中的榫齒連接木結構中的榫齒連接兩作用力間桿件

17、橫截面發(fā)生相對錯動。兩作用力間桿件橫截面發(fā)生相對錯動。 桿件兩側受一對大小相等、方向相反、作用線相距很近的桿件兩側受一對大小相等、方向相反、作用線相距很近的橫向力作用。橫向力作用。 1 剪切剪切受力特點受力特點2 2 剪切剪切變形特點變形特點nnFP FP nnFP FP FP nnFQ 剪切面剪切面剪切面剪切面：n-n 截面截面剪切面上的內(nèi)力：剪切面上的內(nèi)力：FQ 若有若有n n個鉚釘，則每一個鉚釘受力個鉚釘，則每一個鉚釘受力nF /nF /mm一、連接件的實用強度計算一、連接件的實用強度計算拉壓破壞拉壓破壞：鋼板在受螺栓孔削弱的截面處被拉斷。：鋼板在受螺栓孔削弱的截面處被拉斷。FP FP

18、nnFP FP 剪切破壞剪切破壞：構件兩部分沿：構件兩部分沿n-n剪切面發(fā)生滑移、錯動剪切面發(fā)生滑移、錯動實驗表明實驗表明,連接處的破壞可能性有三種：連接處的破壞可能性有三種：擠壓破壞擠壓破壞：在接觸區(qū)的局部范圍內(nèi)，產(chǎn)生顯著塑性變形：在接觸區(qū)的局部范圍內(nèi)，產(chǎn)生顯著塑性變形而使連接松動而使連接松動1 剪切的實用強度計算剪切的實用強度計算 忽略彎曲、摩擦，假設剪切面上切應力均勻分布忽略彎曲、摩擦，假設剪切面上切應力均勻分布 FP nnFQ ttAFQQF3 3）剪切強度條件）剪切強度條件1) 1) 截面法：剪力截面法：剪力FQ 2) 2) 剪切面上的切應力剪切面上的切應力許用切應力許用切應力 常由

19、實驗方法確定常由實驗方法確定 t2 擠壓的實用計算擠壓的實用計算 1 1） 擠壓破壞擠壓破壞 在局部接觸表面由于很大的壓應力使局部區(qū)域產(chǎn)生塑在局部接觸表面由于很大的壓應力使局部區(qū)域產(chǎn)生塑性變形或破壞。性變形或破壞。 2 擠壓力與擠壓面擠壓力與擠壓面 有效擠壓面積為實際擠壓面有效擠壓面積為實際擠壓面在垂直于擠壓方向的平面上在垂直于擠壓方向的平面上的投影面積的投影面積有效擠壓面積有效擠壓面積dtAbspbsFF 擠壓力：擠壓力：有效擠壓面積：有效擠壓面積：bsA3 3 擠壓的強度條件擠壓的強度條件 bsbsbsbsAF許用擠壓應力許用擠壓應力 常由實驗方法確定常由實驗方法確定bs3 拉壓的強度計算

20、拉壓的強度計算 桿件削弱截面的抗拉計算 minmaxAFN已知已知：F = 80 kN, = = 10 mm, b = 80 mm, d = 16 mm, t t = 100 MPa, bs = 300 MPa, = 160 MPa試校核接頭的強度試校核接頭的強度Example解：解：1 1 接頭受力分析接頭受力分析4QFF MPa 5 .99422QttdFdF2 2 鉚釘?shù)募羟袕姸龋恒T釘?shù)募羟袕姸龋?/F4/FbsbsbsMPa 125dFdF3 3 鉚釘與鋼板的擠壓強度：鉚釘與鋼板的擠壓強度：MPa 125)(1N11 dbFAFMPa 125)2(432N22 dbFAF4 鋼板的拉伸

21、強度：鋼板的拉伸強度：5 5 結論：接頭強度足夠結論：接頭強度足夠厚度為厚度為t2 = 20mm 的鋼板，上、下用兩塊厚度為的鋼板，上、下用兩塊厚度為t1 = 10mm 的蓋板和的蓋板和直徑直徑d = 26mm 的鉚釘連接，每邊鉚釘數(shù)的鉚釘連接，每邊鉚釘數(shù)n = 3。若鋼的許用應力。若鋼的許用應力 = 100MPa ，bs = 280MPa ，= 160MPa 。試求接頭所能承受的。試求接頭所能承受的最大許用拉力。若將蓋板厚度改為最大許用拉力。若將蓋板厚度改為t1=12mm ，則所能承受的最大拉，則所能承受的最大拉力值是多少。力值是多少。 Example 鉚釘?shù)募羟袕姸茹T釘?shù)募羟袕姸?S22S/62/43FFFAddt tt t 22663232610100 10318.6kN2Fdtt 鉚釘與板的擠壓強度鉚釘與板的擠壓強度 bsbsbsbs22/33FFFAt dt d 2bs33633 20 1026 10280 10436.8kNFt d 鋼板的拉伸強度鋼板的拉伸強度 蓋板和中間板的軸力圖如圖，經(jīng)分析蓋板蓋板和中間板的軸力圖如圖，經(jīng)分析蓋板