對連帶勒讓德函數(shù)的討論

1、第26卷第6期2010年6月 貴州師范學院學報Journa l o f G uizhou N or m a l Coll egeJun.2010對連帶勒讓德函數(shù)的討論劉保童,吳玉林,劉啟源(天水師范學院物理與信息科學學院,甘肅天水 741000摘要:在對數(shù)學物理方法中連帶勒讓德方程的解進行簡要介紹的基礎上,著重分析討論了連帶勒讓德函數(shù)的施列夫利積分表示為定積分的問題,經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導,進一步論證了用變量 表示的連帶勒讓德函數(shù)的定積分表示方法 拉普拉斯積分。關鍵詞:連帶勒讓德函數(shù);施列夫利(Schl a fli積分;定積分;拉普拉斯方程中圖分類號:O174.3 文獻標識碼:A 文章編號:167

2、4-7798(201006-0015-02D iscussi on on the associ ated L egendre functi onL I U Bao-tong,WU Yu-lin,L I U Q i-yuan(Schoo l o f P hys i cs and Infor m ation Science,T ianshui N or m a l College,T i anshui,741000China Abstrac t:The foca l po i nt o f th i s paper is how to express Sch l afli i ntegral o

3、f the asso ciated L egendre f unc tion i n t he for m of defi n ite i ntegra.l A fter br i e f i ntroducti on on the so l ution o f the assoc i ated L egendre equati on,t he expres s i on w it h var i ab l e on defi n ite i nteg ral of the assoc i a ted L egendre f uncti on-L ap l ace i ntegra l is

4、f u rt her proved.K ey word s:t he associated L egendre f unction;Schl afli i nteg ra;l de fi nite integ ra;l L aplace equa ti on在球坐標系中對亥姆霍茲方程和拉普拉斯方程分離變量而得到連帶勒讓德方程1(1-x2d2d x2-2xdd x+l(l+1- m21-x2=0 (x=cos ,(1其中m,l,x可以是任何復數(shù)2,但在實際中最常見的是l和m都等于整數(shù)的情形,在數(shù)學物理方法中一般只討論-1!x!1,l和m都等于整數(shù)的情況。方程(1有三個奇點:-1,1,而且都是正則

5、奇點2,3。因此這個方程屬于超幾何方程的類型,其解可用P符號表示為2(1-x2m2P1000l+m+1;1-x2-m-m-l+m.連帶勒讓德方程(1和自然邊界條件(解在x =#1為有限構成本征值問題1,2,本征值是l(l +1,(l=0,1,2,本征函數(shù)則是連帶勒讓德函數(shù)P m l(x=(1-x2m2Pml(x (l%m%0, -1!x!1,(2式中Pml(x是P l(x的m階導數(shù)。(2式的積分表示式為1,4P m l(x=(1-x2m22l12i(l+m!l!&C (z2-1l(z-xl+m+1d z,(3式中C為z平面上圍繞z=x點的任一閉合回路,這也叫做施列夫利(Sc h l a

6、 fli積分?；芈贩e分式(3還可以進一步表示為定積分。取C為圓周:圓心在z=x,半徑為x2-1(x #1。在C上的任一點z可表示為z=x+ x2-1e i! (-!。(4從而15*收稿日期:2010-05-15基金項目:甘肅省教育廳科研項目(0908B-1作者簡介:劉保童(1965-,男,甘肅天水人,副教授,博士,主要從事數(shù)學物理方法、大學物理和數(shù)字信號處理的教學與研究工作。z -x =x 2-1e i !,(5d z =ix 2-1e i !d ! (- !.(6式中各個量的意義見圖1所示。 圖1 在復平面上選取的積分回路因為在連帶勒讓德方程中x 與 的關系為x =cos ,所以x !1。因

7、此,在這里,x 2-1<0,故|x 2-1|=1-x 2,由(5、(6式可以得如下關系z -x =|x 2-1|e i !=1-x 2e i !,(1-x 212=1-x 2=(z -x e,d z =i 1-x 2e i !d !.于是,(3式成為P m l(x =12 i (l+m !2l l !&C z -x ei !m(z 2-1l(z -x l+m+1d z=12 i (l+m !2ll !&C e -im !(z 2-1l(z -x l+1d z=12 i (l+m !2l !(- e -i m !(x +1-x 2e i !2-1l1-x 2e i !l+1

8、i1-x 2e i !d !=12 (l+m !l !(- e -i m !x 2+2x 1-x 2e i !+(1-x 2e i 2!-121-x 2e i !ld !=12 (l+m !l !(-e -i m !2x1-x 2e i !+(1-x 2(ei 2!-121-x 2ei !ld !=12 (l+m !l !(-e -i m !x +1-x 212(e i !-e -i !ld !=12 (l +m !l !( -e -im !x +i1-x 2sin !ld !.(7現(xiàn)在,令x =co s (0< < ,得到用變量 表示的連帶勒讓德函數(shù)的定積分表示式P ml(cos =12 (l +m !l !(-e -i m !co s +i sin sin !ld !.(8參考文獻:1梁昆淼.數(shù)學物理方法(第三版M .北京:高等教育出版社,1998.2E W H obson .Spherical and e lli pso i dal har m onicsM .Ca m bridge U niversit y P ress ,1931.3K F R il ey ,M P Hobson ,S J Bence .M athe m atica l m et hods for phys i cs and e