儒廓夫斯基函數(shù)及其反函數(shù)

1、儒廓夫斯基函數(shù)=及其反函數(shù)我們已經知道，函數(shù)=分別在單位圓內 和在單位圓外 都是單葉的，而且除掉z=0和z=外是解析的. 為了研究它的映照情況，我們令z=r， 并且把實部和虛部分開，便得著. （4-18）于是，我們看到，每一個圓周在這個映照下被映照成橢圓：， （4-19）其中 . 這橢圓當時，被壓縮成軸上的一段直線段-1，1，當時趨向無窮遠. 因此，這函數(shù)把單位圓的內部單葉地映到線段-1，1的外部上，并且把下半單位圓周映照成直線段-1，1的下沿，把上半單位圓周映照成直線段-1，1的. 我們還可以看到，半徑再這個函數(shù)的映照下被映照成雙曲線. （4-20）這些雙曲線的焦點與那些橢圓（4-19）的焦

2、點相同，都位于-1和1這兩個點. 這個把單位圓外單葉地共形映照成全平面出去裂紋-1，1的儒廓夫斯基函數(shù)=，再平面流體力學，彈性力學和斷裂力學等領域內，特別在平面機翼的繞流問題方面有杰出的應用. 這個函數(shù)的反函數(shù) （4-21）是一個雙值函數(shù)，和是它的支點，再全平面除去線段-1，1的區(qū)域上，它被分成兩個單值連續(xù)分支函數(shù)， ， 它們是區(qū)域 上的單葉解析函數(shù)，是 上的共形映照，而且. 當時，若取定是正值的一支，則把區(qū)域 單葉的共形映照成單位圓的外部，把那些橢圓（4-19）映照成單位圓外的同心圓，把那些雙曲線（4-20）映照成單位圓外的那部分半射線. 從關系式（4-18）我們還可以看出，儒廓夫斯基函數(shù)也

3、把單位圓內的圓周映照成具有半軸，的橢圓. 這些橢圓與由圓周映照成的那些橢圓（4-19）相同，不過方向相反. 因此，這函數(shù)把單位圓的內部也映照到軸上的線段-1，1的外部區(qū)域 D 上，這時上半單位圓周 ABC 被映照成裂縫-1，1的下沿 ADC ，而下半圓周CDA 被映照成裂縫-1，1的上沿CBA . 這個函數(shù)的反函數(shù)把區(qū)域 D 單葉地共形映照成單位圓的內部，把這些橢圓映照成同心圓，把那些雙曲線（4-20）映照成單位圓內的半徑. 下面我們來介紹儒廓夫斯基翼形，這是一種借助于儒廓夫斯基變換所得到的機翼剖面的翼形. 再將機翼剖面映照成近似圓周曲線的實際問題中，變換 （4-22）是重要的. 若機翼再后緣

4、有一尖點，記，則是機翼剖面再這一點的上部和下部切線的夾角. 若在平面上畫一個圓，它通過點，并把點包圍在其內部，且與連接和兩點的連線交于，是小的，則這個圓被變換（4-22）映照成平面上機翼形狀的曲線. 特別當，時，我們將詳細地討論. 再研究空氣繞機翼流動的實際問題中，所要求的變換是這樣的變換：它把機翼剖面的外部區(qū)域映照成圓或近似圓周曲線的外部區(qū)域. 當，時，（4-22）式成為， （4-23）它把平面上經過點和包含點 的圓周映照成平面上的翼形曲線，即所謂儒廓夫斯基剖面. 我們容易地看出，（4-23）式是與已經討過的變換 （4-24）是一樣的. 若C是平面上經過點且使得點在其內部的圓周，則變換（4-24）共形地將C的外部映照到儒廓夫斯基剖面F的外部. 曲線F的形狀能容易地從C得到. 事實上，可用作圖法求得. 對C上的每一點z，把矢量z與矢量相加，即得在變換（4-24）下的像. 我們還可以將變換（4-23）看成下列三個變換的復合： ， . 圓周C被第一個變換映照成t平面上經過t=0的圓；第二個變換將圓變成平面上的心臟曲線，其尖點位于；第三個變換將心臟線變換成平面上的翼形曲線F. 由于對