自控原理(第四章)

1、第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法Introduction Thebasicconceptoftheroot-locus Thegeneralrulesforconstructingroot-locusEmphases Systemanalysisbyusingroot-locusmethod4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 根軌跡概念根軌跡概念 根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能 閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 根軌跡方程根軌跡方程 根軌跡法根軌跡法是分析和設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法是分析和設(shè)計(jì)線性定

2、常控制系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡(jiǎn)便，特別在進(jìn)行多回路系統(tǒng)的分析時(shí)，應(yīng)用根軌跡法比用其它方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用廣泛應(yīng)用。 本節(jié)主要介紹根軌跡的基本概念，根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，并從閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系推導(dǎo)出根軌跡方程根軌跡方程，然后將向量形式的根軌跡方程轉(zhuǎn)化為常用的相角條件相角條件和模值條件模值條件形式，最后應(yīng)用這些條件繪制簡(jiǎn)單系統(tǒng)的根軌跡。1. 根軌跡概念根軌跡概念 根軌跡根軌跡簡(jiǎn)稱根跡，它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在在 s 平面平面上變化的軌跡。

3、上變化的軌跡。 當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)沒有零點(diǎn)與極點(diǎn)相消時(shí)，閉環(huán)特征方程式閉環(huán)特征方程式的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，我們常簡(jiǎn)稱為的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，我們常簡(jiǎn)稱為閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)。 因此，從已知的從已知的開環(huán)零、極點(diǎn)位置開環(huán)零、極點(diǎn)位置及及某一變化的參數(shù)某一變化的參數(shù)來(lái)求取來(lái)求取閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)的分布，實(shí)際上就是解決閉環(huán)特征方程式的分布，實(shí)際上就是解決閉環(huán)特征方程式的求根問(wèn)題。的求根問(wèn)題。 當(dāng)特征方程的階數(shù)高于四階時(shí)，求根過(guò)程是比較復(fù)雜的。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)特征方程式根的影響，就需要進(jìn)行大量的反復(fù)計(jì)算，同時(shí)還不能直觀看出影響趨勢(shì)。因此對(duì)于高階系統(tǒng)的求根問(wèn)題來(lái)說(shuō)，解析法就顯得很不方便。 19

4、48年，W. R伊文思在“控制系統(tǒng)的圖解分析”一文中提出了根軌跡法根軌跡法。當(dāng)開環(huán)增益或其它參數(shù)改變時(shí)，其全當(dāng)開環(huán)增益或其它參數(shù)改變時(shí)，其全部數(shù)值對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)均可在根軌跡圖上簡(jiǎn)便地確定。部數(shù)值對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)均可在根軌跡圖上簡(jiǎn)便地確定。因?yàn)橄到y(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，而系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能又與閉環(huán)零、極點(diǎn)在 s 平面上的位置密切相關(guān)，所以根軌跡圖不僅可以直接給出閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息，而且可以指明開環(huán)零、極點(diǎn)應(yīng)該怎樣變化才能滿足給定的閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。 除此而外，用根軌跡法求解高階代數(shù)方程的根，比用其它近似求根法簡(jiǎn)便。 下面具體說(shuō)明根軌跡的概念，設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-1所示，

5、其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：KssKsRsCs222)()()(20222Kss于是特征方程式可寫為：顯然特征方程式的根是： 如果令開環(huán)增益 K 從零變到無(wú)窮，可以用解析的方法求出閉環(huán)極點(diǎn)的全部數(shù)值，將這些數(shù)值標(biāo)注在 s 平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，如圖4-2所示。圖中，粗實(shí)線就是系統(tǒng)的根軌跡，根軌跡上的箭頭表示隨著 K 值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)，而標(biāo)注的數(shù)值則代表與閉環(huán)極點(diǎn)位置相對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益 的數(shù)值。KsKs211211212.2.根軌跡與系統(tǒng)性能根軌跡與系統(tǒng)性能 有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能。下面以圖4-2為例進(jìn)行說(shuō)明：（1）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性 當(dāng)開環(huán)增益從零變到無(wú)窮時(shí)，圖4-2上的根軌

6、跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn)入右半 s 平面，因此圖因此圖4-1系統(tǒng)對(duì)所有的系統(tǒng)對(duì)所有的 值都是值都是穩(wěn)定的，穩(wěn)定的，這與我們?cè)诘?-4節(jié)所得出的結(jié)論完全相同。如果分析高階系統(tǒng)的根軌跡圖， 那么根軌跡有可能越過(guò)虛軸進(jìn)入 s右半平面，此時(shí)根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的 值，就是值，就是臨界臨界開環(huán)增益開環(huán)增益。（2）穩(wěn)態(tài)性能）穩(wěn)態(tài)性能 由圖4-2可見，開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，所以系統(tǒng)屬 I 型系統(tǒng)，因而根軌跡上的 K 值就是靜態(tài)誤差系數(shù)。如如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡可以確定閉環(huán)極點(diǎn)果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。位置的容許范圍。在一般情況下，根

7、軌跡圖上標(biāo)注出來(lái)的參數(shù)不是開環(huán)增益，而是所謂的根軌跡增益根軌跡增益。下面將要指出，開環(huán)增益和根開環(huán)增益和根軌跡之間，僅相差一個(gè)比例常數(shù)，很容易進(jìn)行換算。軌跡之間，僅相差一個(gè)比例常數(shù)，很容易進(jìn)行換算。對(duì)于其他參數(shù)變化的根軌跡圖，情況是類似的。（3）動(dòng)態(tài)性能）動(dòng)態(tài)性能 由圖4-2可見，當(dāng) 00.5 時(shí)，所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)（系統(tǒng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)（ 1），單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程；當(dāng)=0.5，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)（界阻尼系統(tǒng)（ =1），單位階躍響應(yīng)仍為非周期過(guò)程，但響應(yīng)速度較 00.5 情況為快；當(dāng) 0.5 時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)（欠阻

8、尼系統(tǒng)（0 n的情況。當(dāng)K* =0時(shí)，必有mn條根軌跡的起點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。因?yàn)楫?dāng)s 時(shí)，有： 如果把無(wú)窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)看成無(wú)限極點(diǎn)，于是我們同樣可以說(shuō)，根軌跡必起于開環(huán)極點(diǎn)。圖4-4是表示根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)的圖形。nmspszsKmnsniimjjs,limlim111* 法則法則22 根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性。根軌跡的根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)有限零點(diǎn)數(shù)m 和有限極點(diǎn)數(shù)和有限極點(diǎn)數(shù)n 中的大者相等，中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。它們是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。 證明證明 按定義，根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)特征方程式的根在

9、 s 平面上的變化軌跡。因此，根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程式根的數(shù)目相一致根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程式根的數(shù)目相一致。由特征方程(4-11)可見，閉環(huán)特征方程根的數(shù)目就等于m 和 n 中的大者，所以根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)有限零、極點(diǎn)數(shù)中的大者相同。 由于閉環(huán)特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益 K* 的函數(shù)，所以當(dāng)K*從零到無(wú)窮大連續(xù)變化時(shí)，特征方程的某些系數(shù)也隨之而連續(xù)變化，因而特征方程式根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。 根軌跡必對(duì)稱于實(shí)軸的原因是顯然的，因?yàn)殚]環(huán)特征方程式的根只有實(shí)根和復(fù)根兩種，實(shí)根位于實(shí)軸上，復(fù)根必共軛，而根軌跡是根的集合，因此根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。 根據(jù)對(duì)稱性

10、，只需做出根據(jù)對(duì)稱性，只需做出上半上半s 平面的根軌跡部分，然平面的根軌跡部分，然后利對(duì)稱關(guān)系就可以畫出下半后利對(duì)稱關(guān)系就可以畫出下半s 平面的根軌跡平面的根軌跡部分。部分。 法則法則33 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線。當(dāng)開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù) n 大于有限零點(diǎn)數(shù) m 時(shí)，有nm 條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 、交點(diǎn)為 的一組漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有： aa1,2,1,0,;) 12(mnkmnkamnzpnimjjia11（4-12） 式中 ，當(dāng) s 值很大時(shí)，式（4-12）可近似為： 證明證明 漸近線就是 s 值很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對(duì)稱于實(shí)軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項(xiàng)式形式，得：nnnn

11、mmmmniimjjasasasbsbsbsKpszsKsHsG 111111*11*)()()()(mjjzb11niipa11111*)()()(mnmnsbasKsHsG（將（將（4-124-12）式分子、分母多項(xiàng)式同時(shí)除以分子多項(xiàng)式可得此結(jié)果。）式分子、分母多項(xiàng)式同時(shí)除以分子多項(xiàng)式可得此結(jié)果。）由 得漸進(jìn)線方程： 1)()(sHsG（4-13） 或者根據(jù)二項(xiàng)式定理 在s值很大時(shí)，近似有：（4-14）*11)1 (KsbasmnmnmnKsbas1*111)()1 ( 21111111)(11(1! 21)(1)1 (sbamnmnsmnbasbamnsmnbasbamn)(1)1 (1

12、1111（4-15）現(xiàn)在以 代入式（4-15），得：令實(shí)部和虛部分別相等，有：將式(4-14)代入式(4-13)，漸近線方程可表示為：mnKsmnbas1*11)()(1 js1, 1, 0) 12(sin) 12(cos)(*11mnkmnkjmnkKjmnbamnmnkKmn) 12(sin*mnkKmnbamn) 12(cos)(*11（4-16） 式中 （4-17）從最后兩個(gè)方程中解出：aaamnKcossin*aatg)(1,2,1,0,;) 12( mnkmnkamnzpmnbanimjjia1111)(（4-19）（4-18） 在 s 平面上，式（4-17）代表直線方程，它與實(shí)軸

13、的交角為 ，交點(diǎn)為 。當(dāng) k 取不同值時(shí)，可得 n-m 個(gè) 角，而 不變，因此根軌跡漸近線是n-m條與實(shí)軸交點(diǎn)為 ，交角為 的一組射線，如圖4-5所示(圖中只畫了一條漸近線)。 aaaaaa 下面舉例說(shuō)明根軌跡漸近線的作法。設(shè)控制系統(tǒng)如圖4-6(a)所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)試根據(jù)已知的三個(gè)基本法則，確定繪制根軌跡的有關(guān)數(shù)據(jù)。)22)(4() 1()(2*sssssKsG 首先將開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)注在 s 平面的直角坐標(biāo)系上，以“”表示開環(huán)極點(diǎn)，以“O”表示開環(huán)零點(diǎn)，如圖 4-6(b) 所示。注意，在根軌跡繪制過(guò)程中，由于需要對(duì)相角和模值進(jìn)行圖解測(cè)量，所以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)必須采用相同的坐標(biāo)比例尺。 由法則

14、1，根軌跡起于 G(s) 的極點(diǎn) p1=0，p2= 4, p3= 1 +j 和p4= 1j 。終于G(s)的有限零點(diǎn) z1= 1 以及無(wú)窮遠(yuǎn)處。 由法則2，根軌跡的分支數(shù)有4條，且對(duì)稱于實(shí)軸。由法則3，有n m=3條根軌跡漸近線，其交點(diǎn): 67. 13) 1()1140(3411jjzpiia交角：0,60) 12(kmnka1,180) 12(kmnka2,300) 12(kmnka 法則法則44 根軌跡在實(shí)軸上的分布根軌跡在實(shí)軸上的分布。實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 證明證明 設(shè)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-7所示。 圖中，s0是實(shí)軸上的某一個(gè)測(cè)

15、試點(diǎn)， j ( j=1, 2, 3 ) 是各開環(huán)零點(diǎn)到s0向量的相角， i ( j=1, 2, 3, 4 ) 是各開環(huán)極點(diǎn)到 s0 點(diǎn)向量的相角。由圖4-7可見，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸上任意一點(diǎn)（包括s0）的向量相角和為2。如果開環(huán)系統(tǒng)存在復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)，情況同樣如此。 因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)的影響環(huán)零、極點(diǎn)的影響。 由圖還可見，s0點(diǎn)點(diǎn)左邊左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向點(diǎn)的向量相角為零，而量相角為零，而s0點(diǎn)點(diǎn)右邊右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量點(diǎn)的向量相角均等于相角均等于 。式

16、中，(2k+1) 為奇數(shù)。如果令 代表 s0 點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量相角和， 代表s0點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)到s0點(diǎn)的向量相角和，那么 s0 點(diǎn)位于根軌跡上的充分必要條件，是下列相角條件成立： ji 在上述相角條件中，考慮到這些相角中的每一個(gè)相角都等于，而 與 代表相同角度，因此減去 角就相當(dāng)于加上 角。于是，s0位于根軌跡上的等效條件是：) 12( kij) 12( kij式中，(2k+1)為奇數(shù)。于是本法則得證。 對(duì)于圖4-7系統(tǒng)，根據(jù)本法則可知， 和 之間、 和 之間,以及 和 之間的實(shí)軸部分，都是根軌跡的一部分。1z1p2z4p3z 法則法則55 根軌跡的分離點(diǎn)與分離角根

17、軌跡的分離點(diǎn)與分離角。兩條或兩條以上兩條或兩條以上根軌跡分支在根軌跡分支在s 平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡平面上相遇又立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)分離點(diǎn)的坐標(biāo)d 是下列方程的解： （4-20） 式中， 為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值； 為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值；分離角為 ，l 為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡數(shù)。 jziplk/) 12(niimjjpdzd1111 分離點(diǎn)的特性分離點(diǎn)的特性：因?yàn)楦壽E是對(duì)稱的，所以根軌跡的分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面中。一般情況下，常見的根軌跡分離點(diǎn)是位于實(shí)軸上的兩條根軌跡分支的分離點(diǎn)。 如果根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間，

18、其中一個(gè)可以是無(wú)限極點(diǎn)，則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間至少存在一個(gè)分離點(diǎn)； 同樣，如果根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間，其中一個(gè)可以是無(wú)限零點(diǎn)，則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間也至少有一個(gè)分離點(diǎn)。參見上頁(yè)圖4-8。 證明證明 由根軌跡方程 ，有： 所以閉環(huán)特征方程0)()()(1*1mjjniizsKpssD 根軌跡在根軌跡在s 平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程有重根有重根出現(xiàn)出現(xiàn)。設(shè)重根為 d，根據(jù)代數(shù)中重根條件，有：0)()(111*niimjjpszsK0)()(1sHsG0)()()(1*1mjjniizsKpssD0 )()()(1*1mjjniizsKpsdsdsD或 mjjn

19、iizsKps1*1)()(mjjniizsdsdKpsdsd1*1)()(將式（4-21）除式（4-22）得（4-21） （4-22） 代入：mjjmjjniiniizszsdsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmjjnii11)(ln)(lnniiniipsps11)ln()(lnmjjmjjzszs11)ln()(ln)()(1)(ln)(ln)(sfsfdsddsdyydsdyydyddssfdsfy利用關(guān)系：可得：得：從上式中解出s，即為分離點(diǎn) d。 這里不加證明地指出：當(dāng)l 條根軌跡分支進(jìn)入并立即離開分離點(diǎn)時(shí)，分離角可由 決定，其中k=0, 1, , l1

20、。需要說(shuō)明的是，分離角定義為分離角定義為根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。顯然，當(dāng)l=2 時(shí)，分離角必為直角。 mjjniidszsddspsd11)ln()ln(mjjniizsps1111lk/) 12( 例例4-l 4-l 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-9所示，試?yán)L制其概略根軌跡。 解解 由法則4，實(shí)軸上區(qū)域0,-1和-2,-3是根軌跡，在圖4-9中以粗實(shí)線表示。 由法則2，該系統(tǒng)有三條根軌跡分支，且對(duì)稱于實(shí)軸。 由法則1，一條根軌跡分支起于開環(huán)極點(diǎn)(0)，終于開環(huán)有限零點(diǎn)(-1)，另外兩條根軌跡分支起于開環(huán)極點(diǎn) (-2)和(-3)，終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處(無(wú)限

21、零點(diǎn))。 由法則3，兩條終止于無(wú)窮的根軌跡的漸近線與實(shí)軸交角為90o和270o，交點(diǎn)坐標(biāo)為： 213) 1()320(311mnzpijjia 由法則5，實(shí)軸區(qū)域-2,-3必有一個(gè)根軌跡的分離點(diǎn)d，它滿足下述分離點(diǎn)方程：考慮到 d 必在-2和-3之間，初步試探時(shí)，設(shè)d =-2.5，算出： 和因方程兩邊不等，所以d=-2.5不是欲求的分離點(diǎn)坐標(biāo)?，F(xiàn)在重取d =-2.47，方程兩邊近似相等，故本例d-2.47。最后畫出的系統(tǒng)概略根軌跡，如圖4-9(b)所示。 3121111dddd67. 011d4 . 031211ddd 例例4-2 4-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡

22、。 解解首先將G(s)寫成零、極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)形式： 本例K* =K 。將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在坐標(biāo)比例尺相同的 s 平面中，如圖4-l0所示。15 . 0) 15 . 0()(2sssKsG)1)(1()2()(*jsjssKsG 由法則15可知，本例有兩條根軌跡分支，它們分別起始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) (1j)，終止于有限零點(diǎn) (-2) 和無(wú)限零點(diǎn)。因此，在發(fā)2，)的實(shí)軸上，必存在一個(gè)分離點(diǎn)d，其方程為：經(jīng)整理得：這是一個(gè)二階分離點(diǎn)方程，可以用解析法求得d =-3.414或d =-0.586，顯然應(yīng)取d =-3.414。jdjdd1111210242 dd 應(yīng)用相角條件，可以畫出本例系統(tǒng)的準(zhǔn)確根軌跡，如圖 4-

23、10 所示，其復(fù)數(shù)根軌跡部分是圓的一部分其復(fù)數(shù)根軌跡部分是圓的一部分。 從圖4-8和圖4-10可以發(fā)現(xiàn)；由兩個(gè)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)K*從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。這在數(shù)學(xué)上是可以嚴(yán)格證明的。 應(yīng)當(dāng)指出，如果開環(huán)系統(tǒng)無(wú)無(wú)有限零點(diǎn)，則在分離點(diǎn)方程(4-20)中，應(yīng)取： 另外，分離點(diǎn)方程(4-20)，不僅可用來(lái)確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)d，而且可以用來(lái)確定復(fù)平面上的分離點(diǎn)坐標(biāo)。只有當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn)。此時(shí)，一般

24、可采用求分離點(diǎn)方程根的方法來(lái)確定所有的分離點(diǎn)。 實(shí)質(zhì)上，根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)，就是K*為某一特定值時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的實(shí)數(shù)等根等根或復(fù)數(shù)等根等根的數(shù)值。 011mjjzd（4-23）（4-24） 法則法則66根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角與終止角。根軌跡離開開環(huán)根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角，以 標(biāo)志；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角稱為終止角，以 表示。這些角度可按如下關(guān)系式求出：ipizmjnijjpppzpijijik1)(1)() 12( ,

25、2, 1, 0kmijjnjzpzzzijijik)(11)() 12( , 2, 1, 0k 證明證明 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有 m 個(gè)有限零點(diǎn)，n 個(gè)有限極點(diǎn)。在十分靠近待求起始角 （或終止角） 的復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或復(fù)數(shù)零點(diǎn)）的根軌跡上，取一點(diǎn)s1。由于 s1 無(wú)限接近于求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn) （或求終止角的復(fù)數(shù)零點(diǎn) ），因此，除（或 ）外，所有開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量相角和，都可以用它們到（或）的向量相角（ 或 ）和 或）來(lái)代替，而（或）到s1點(diǎn)的向量相角即為起始角 （或終止角 ）。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足相角條件，應(yīng)有：ipipipiziziz1szj1spjijpzijzzijppijzpipizipiz（4-

26、25） 移項(xiàng)后，立即得到式(4-23)和式(4-24)。應(yīng)當(dāng)指出，在根軌跡的相角條件中，(2k+1)與 (2k+1) 是等價(jià)的，所以為了便于計(jì)算起見，在上面最后兩式的右端有的有的用(2k+1) 表示。 ) 12() 12()(111)(1kkmijjnjzpzzzpmjnijjpppzijiijiijij 例例4-3 4-3 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。 解解 將開環(huán)零、極點(diǎn)畫在圖4-11中。然后，按如下典型步驟繪制根軌跡：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()(*jsjsssjsjssKsG（1) 確定實(shí)軸上的根軌跡確定

27、實(shí)軸上的根軌跡。 本例實(shí)軸上區(qū)域 , 1.5 和 2.5,為根軌跡。（2）確定根軌跡的漸近線確定根軌跡的漸近線。 本例 n=4，m=3， 故只有一條180o 的漸近線，它正好與實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域 2.5, 重合，所以在n-m=1的情況下，不必再去確定根軌跡的漸近線。（3）確定分離點(diǎn)確定分離點(diǎn)。 一般說(shuō)來(lái)，如果根軌跡位于實(shí)軸上一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)或無(wú)限零點(diǎn)）之間，則在這兩個(gè)相鄰的零、極點(diǎn)之間，或者不存在任何分離點(diǎn)，或者同時(shí)存在離開實(shí)軸和進(jìn)入實(shí)軸的兩個(gè)分離點(diǎn)。本例無(wú)分離點(diǎn)。（4）確定起始角與終止角確定起始角與終止角。本例概略根軌跡如圖4-11所示。為了比較準(zhǔn)確地畫出這一根軌跡圖，應(yīng)

28、當(dāng)確定根軌跡的起始角和終止角的數(shù)值。先求起始角。作各開環(huán)零、極點(diǎn)到復(fù)數(shù)極點(diǎn)(-0.5+j1.5)的向量，并測(cè)出相應(yīng)角度，如圖4-12(a)所示。按式(4-23)算出根軌跡在極點(diǎn)(-0.5+j1.5)處的起始角為：根據(jù)對(duì)稱性，根軌跡在極點(diǎn)(-0.5-j1.5)處的起始角為-79o。 用類似方法可算出根軌跡在復(fù)數(shù)零點(diǎn)(-2+j)處的終止角為149.5o。各開環(huán)零、極點(diǎn)到(-2+j)的向量相角如圖4-12(b)所示。79)()(1804313212p 法則法則77 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的 K* 值和 值可用勞思判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的 s =j

29、，然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。 證明證明 若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛根，這意味著 K* 的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此令勞思表第一列中包含 K* 的項(xiàng)為零，即可確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的 K* 值。此外，因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相異的根， 所以利用勞思表中s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸交點(diǎn)上的 值。如果根軌跡與正虛軸（或者負(fù)虛軸） 有一個(gè)以上交點(diǎn)，則應(yīng)采用勞思表中冪大于 2 的 s 偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。 確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)處參數(shù)的另一種方法，是將s =j 代入閉環(huán)特征方程，得到： 令上述方程的實(shí)部和虛部分別為

30、零，有：和利用這種實(shí)部方程和虛部方程，不難解出根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的 K* 值和 值。0)()(1jHjG0)()(1RejHjG0)()(1ImjHjG 例例4-4 4-4 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 解解 接下述步驟繪制概略根軌跡： 1)確定實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上0,-3區(qū)域必為根軌 跡。 2)確定根軌跡的漸近線。由于 n-m=4， 故有四條根軌跡漸近線，其：)22)(3()(2*ssssKsG25. 1a135,45a3)確定分離點(diǎn)。本例沒有有限零點(diǎn)，故 是分離點(diǎn)方程為： 用試探法算出d-2.3。 4)確定起始角。量測(cè)各向量相角，算得 6 .71ip5)確定根軌跡與

31、虛軸交點(diǎn)。本例閉環(huán)特征方程式為： niipd10101111311jdjddd0685*234Kssss對(duì)上式應(yīng)用勞思判據(jù)，有：令勞思表中 s1 行的首項(xiàng)為零，得K* =8.16 。根據(jù)，s2行的系數(shù)，得如下輔助方程:0534*2 Ks代入K* =8.16并令s =j，解出交點(diǎn)坐標(biāo)= 1.1。 根軌跡與虛軸相交時(shí)的參數(shù)，也可用閉環(huán)特征方程直接求出。將 s =j 代入特征方程，可得實(shí)部方程為：虛部方程為： 在虛部方程中，=0顯然不是欲求之解，因此根軌跡與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為 = 1.1。將所得 值代入實(shí)部方程，立即解出 K* =8.16。所得結(jié)果與勞思表法完全一樣。整個(gè)系統(tǒng)概略根軌跡如圖4-13所示

32、。 065308*24K 法則法則88 根之和根之和。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在nm的一般情況下，可以有不同形式的表示： 式中為閉環(huán)特征根。is0)()()()()(11111111*1 niinniinniinnnnmjjniissssssasasaszsKps當(dāng)n-m2時(shí)，特征方程第二項(xiàng)系數(shù)與K*無(wú)關(guān)，無(wú)論 K* 取何 值，開環(huán)n個(gè)極點(diǎn)之和總是等于閉環(huán)特征方程n個(gè)根之和： niniiips11 開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個(gè)不變的常數(shù)。所以，當(dāng)開環(huán)增益 K 增大時(shí)，若閉環(huán)某些根在 s 平面上向左移動(dòng)，則另一部分根必向右移動(dòng)。 此法則對(duì)判斷根軌跡的走向是很有用的。2. 2. 閉環(huán)極點(diǎn)的確定閉環(huán)極點(diǎn)

33、的確定 對(duì)于特定K*值下的閉環(huán)極點(diǎn)，可用模值條件確定。 一般說(shuō)來(lái)，比較簡(jiǎn)單的方法是先用試探法確定實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值，然后用綜合除法得到其余的閉環(huán)極點(diǎn)。如果在特定K*值下，閉環(huán)系統(tǒng)只有一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，那么可以直接在概略根軌跡圖上，用上述方法獲得要求的閉環(huán)極點(diǎn)。 例例4-5 在圖4-13上，試確定K* =4 的閉環(huán)極點(diǎn)。 解解 圖4-13上的根軌跡是準(zhǔn)確的。由于m=0, n=4，所以模值條件為：對(duì)于本例，應(yīng)有： 在實(shí)軸上任選s點(diǎn)，經(jīng)過(guò)幾次簡(jiǎn)單試探，找出滿足上式的兩個(gè)閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)為：4|41*iipsK4| )3(| )1( | )1(|0|*sjsjssK21s51. 22s各向量模值的取法，見圖4

34、-14。因?yàn)橄到y(tǒng)特征方程為（見書上第150頁(yè)例例4-4）： 應(yīng)用綜合除法，即：所以，若將K* =4，s1 = 2，s2 = 2.51代入上述特征方程，即可得： 0685*234Kssss)()(51. 2)(2(468543234ssssssssss86. 024. 03js86. 024. 04js)()51. 2)(2(468543234ssssssssss可得：幾種常見的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡：4-3 廣義根軌跡廣義根軌跡 參數(shù)根軌跡 環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的根軌跡 零度根軌跡 在控制系統(tǒng)中，除根軌跡增益 K* 以外，其他情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡廣義根軌跡。包

35、括： 通常，將負(fù)反饋系統(tǒng)中K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根常規(guī)根軌跡軌跡。 1. 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 以以非開環(huán)增益非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根參數(shù)根軌跡軌跡，以區(qū)別于以開環(huán)增益K為可變參數(shù)的常規(guī)根軌跡。 繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的法則完全相同全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)等效傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則，均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。為此，需要對(duì)閉環(huán)特征方程：0)()(1sHsG（4-26）進(jìn)行等效變換。將其寫成如下形式：（4-27） （4-28） 根

36、據(jù)式（4-28），可得等效單位反饋系統(tǒng)等效單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞開環(huán)傳遞函數(shù)函數(shù)為：（4-29） 其中，為除K*外，系統(tǒng)任意的變化參數(shù)，而P(s)和Q(s) 為兩個(gè)與無(wú)關(guān)的首一多項(xiàng)式。顯然，式（4-27）應(yīng)與式（4-26）相等，即：)()()()(11sQsPAsHsG0)()(1)()(sHsGsAPsQ1)()(sQsPA0)()(1sQsPA 利用式（利用式（4-29）畫出的根軌跡，就是參數(shù)）畫出的根軌跡，就是參數(shù)A 變化變化時(shí)候的參數(shù)根軌跡。時(shí)候的參數(shù)根軌跡。 需要強(qiáng)調(diào)指出，等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)是根據(jù)式（4-28）得來(lái)的，因此“等效”的含義僅在閉環(huán)極點(diǎn)相同這一點(diǎn)上成立，而

37、閉環(huán)零點(diǎn)一般是不同的。由于閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有影響，所以由閉環(huán)零、極點(diǎn)分布來(lái)分析和估算系統(tǒng)性能時(shí)，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點(diǎn)，但必須采用原來(lái)閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。這一處理方法和結(jié)論，對(duì)于繪制開環(huán)零極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡，同樣適用。 例例4-6設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖4-16所示。圖中，系統(tǒng)I為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)II為比例-微分控制系統(tǒng)，系統(tǒng)III為測(cè)速反饋控制系統(tǒng)，Ta表示微分器時(shí)間常數(shù)或測(cè)速反饋系數(shù)。試分析 Ta 對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并比較系統(tǒng) II 和 III 在具有相同阻尼比=0.5時(shí)的有關(guān)特點(diǎn)。 解解 顯然，系統(tǒng)II和系統(tǒng)III具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，即：但它們的閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞

38、函數(shù)是不相同的，即： （4-30） （4-31） 從式 (4-30) 和式 (4-31) 可以看出，兩者具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)(在Ta相同時(shí))，但是系統(tǒng)II具有閉環(huán)零點(diǎn)(1/ Ta)，而系統(tǒng)III不具有閉環(huán)零點(diǎn)。)51 ()1 (5)()(sssTsHsGa)1 (5)51 ()1 (5)(sTsssTsaaII)1 (5)51 (5)(sTsssaIII現(xiàn)在將系統(tǒng) II 或 III 的閉環(huán)特征方程式閉環(huán)特征方程式： （4-32） 如果令：則式 (4-32) 代表一個(gè)根軌跡方程，其根軌跡如圖4-17所示。圖中，當(dāng)Ta =0時(shí)（對(duì)應(yīng)兩條根軌跡的起點(diǎn)），閉環(huán)極點(diǎn)位置為：S1, 2= 0.1j0.995

39、，它也是系統(tǒng) I 的閉環(huán)極點(diǎn)（因?yàn)門a =0時(shí)，系統(tǒng) II 和系統(tǒng) III 都變成了系統(tǒng) I）。 01)2 . 0(1sssTa1)2 . 0()()(11sssTsHsGa0)1 (5)51 (sTssa寫成：)995. 01 . 0)(995. 01 . 0(1)2 . 0()()(11jsjssTsssTsHsGaa和而系統(tǒng) I 的閉環(huán)傳遞函數(shù)與Ta值無(wú)關(guān)，應(yīng)是：為了確定系統(tǒng) II 和 III 在 =0.5 時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在圖4-17中作 =0.5 線（參看書上P88頁(yè)式（3-18）和圖3-11），可得閉環(huán)極點(diǎn)為 S1, 2= 0.5 j0.87，相應(yīng)的 Ta 值由模值條件算出為0.

40、8，于是有：)87. 05 . 0)(87. 05 . 0()25. 1(8 . 0)(jsjsssII)87. 05 . 0)(87. 05 . 0(1)(jsjssIII)995. 01 . 0)(995. 01 . 0(1)(jsjssI上述三種單位階躍響應(yīng)曲線，如圖4-18所示。 )995. 0sin1 . 0995. 0(cos1)(1 . 0ttethtI)87. 0sin347. 087. 0(cos1)(5 . 0ttethtII)87. 0sin578. 087. 0(cos1)(5 . 0ttethtIII各系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，可以由拉氏反變換法確定為： 由圖可見，對(duì)于系統(tǒng)

41、 II，由于微分控制反映了誤差信號(hào)的變化率，能在誤差信號(hào)增大之前，提前產(chǎn)生控制作用，因此具有良好的時(shí)間響應(yīng)特性，呈現(xiàn)最短的上升時(shí)間，快速性較好；對(duì)于系統(tǒng)III，由于速度反饋加強(qiáng)了反饋?zhàn)饔?，在上述三個(gè)系統(tǒng)中，具有最小的超調(diào)量。如果位置隨動(dòng)系統(tǒng)承受單位斜坡輸入信號(hào)，則同樣可由拉氏反變換法確定它們的單位斜坡響應(yīng)：（4-33）（4-34）此時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)速度誤差，其數(shù)值為 essII=0.2 和 essIII=1.0。系統(tǒng) I 的速度誤差，可利用終值定理法求出為essI=0.2。根據(jù)式（4-33）和（4-34），可以畫出系統(tǒng)和的單位斜坡響應(yīng)，見圖4-19。最后，將位置隨動(dòng)系統(tǒng)的性能比較結(jié)果，列于表4-

42、2)87. 0sin19. 587. 0(cos2 . 02 . 0)(5 . 0ttettctII)87. 0sin58. 087. 0(cos1)(5 . 0ttettctIII例例4-7設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 其中開環(huán)增益K可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)Ta對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 解解 由已知開環(huán)傳遞函數(shù)，可得閉環(huán)特征方程為： 上式可改寫如下：令A(yù)=Ta，Q(s)=s(s+1)+K，P(s)=s2(s+1)，得等效開環(huán)傳遞函數(shù)： ) 1)(1()(sTssKsGa0) 1)(1(KsTssa0) 1() 1(2ssTKssa 為了繪制參數(shù)根軌跡，需要求出G1(s)的極點(diǎn)。對(duì)于本例而言，

43、等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為：KssssTsGa) 1() 1()(21Kp4/12/12, 1等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為：z1= z2= 0，z3= 1 由于K 可自行選定，因此可以取 K 為不同值，然后將G1(s)的零、極點(diǎn)畫在s 平面上，再令Ta 從零變到無(wú)窮，便可繪出 Ta 變化時(shí)的參數(shù)根軌跡，見圖4-20。該圖實(shí)際上是 K 和 Ta 均可變化的根軌跡簇。由圖可見：Ta1 時(shí)，開環(huán)增益K應(yīng)小于2，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)1K0時(shí)，取任何正實(shí)數(shù)Ta 時(shí)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。 圖 4-20 根軌跡簇還給我們指明了這樣的事實(shí)：對(duì)于給定的開環(huán)增益K，如果增大 Ta 值，將使可變開環(huán)極點(diǎn)（即根軌跡的起點(diǎn)）向坐

44、標(biāo)原點(diǎn)方向移動(dòng)，那么閉環(huán)極點(diǎn)就會(huì)向右半 s 平面方向移動(dòng)，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。 當(dāng)開環(huán)增益K 0.25時(shí)， G1(s)具有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，參數(shù)根軌跡如圖4-21所示。圖中選取的K = 0.098。由圖可見，取任何Ta值都不會(huì)使閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定，而且有可能使系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程不發(fā)生振蕩。然而，由于開環(huán)增益太小，系統(tǒng)在單位斜坡輸入函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值將至少等于 4。 2. 2. 附加開環(huán)零點(diǎn)的作用附加開環(huán)零點(diǎn)的作用 在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，我們常用附加位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)的方法來(lái)改善系統(tǒng)性能。因此，研究開環(huán)零點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡變化，有很大的實(shí)際意義。 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：（4-35） 式中，z1為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)

45、零點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇。當(dāng)z1 時(shí)，表示有限零點(diǎn)z1不存在的情況。)22()()()(21*ssszsKsHsG 令z1為不同數(shù)值，對(duì)應(yīng)于式(4-35)的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如圖 4-22 所示。由圖可見，當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)位置不變，而在系統(tǒng)由圖可見，當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)位置不變，而在系統(tǒng)中附加開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，可使系統(tǒng)根軌跡向中附加開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，可使系統(tǒng)根軌跡向s 左半平面左半平面方向彎曲，方向彎曲，或者說(shuō)，附加開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)， 將使系統(tǒng)的根軌跡圖發(fā)生趨向附加零點(diǎn)方向的變形， 而且這種影響將隨而且這種影響將隨開環(huán)零點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)開環(huán)零點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)。 如果附加的開環(huán)零點(diǎn)不是負(fù)

46、實(shí)數(shù)零點(diǎn)，而是具有負(fù)實(shí)部的共軛零點(diǎn)， 那么它們的作用與負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn)的作用完全相同。此外，根據(jù)圖 4-22，利用勞思判據(jù)的方法不難證明, 當(dāng)z12時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡與虛軸存在交點(diǎn); 而當(dāng)z12時(shí), 系統(tǒng)的根軌跡與虛軸不存在交點(diǎn)。因此，在在s 左半平面內(nèi)的適當(dāng)位置上附加開左半平面內(nèi)的適當(dāng)位置上附加開環(huán)零點(diǎn)，可以顯著改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性環(huán)零點(diǎn)，可以顯著改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 附加開環(huán)零點(diǎn)的目的，除了要求改善系統(tǒng)穩(wěn)定性外，附加開環(huán)零點(diǎn)的目的，除了要求改善系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還要求對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有明顯改善還要求對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能有明顯改善。然而，穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能對(duì)附加開環(huán)零點(diǎn)位置的要求，有時(shí)并不一致。以圖4-22為例，

47、圖(d)對(duì)穩(wěn)定性最有利，但對(duì)動(dòng)態(tài)性能的改善卻并不利。 為了更好地說(shuō)明這一問(wèn)題，請(qǐng)參看圖4-23中所表示的兩種情況。圖(a)表示附加開環(huán)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn) z1 位于負(fù)實(shí)極點(diǎn) p2 和 p3 之間的根軌跡上；圖(b)表示 z1位于 p1和 p2之間的根軌跡上。從穩(wěn)定性觀點(diǎn)來(lái)看(指穩(wěn)定裕度，第五章)，圖(b)優(yōu)于圖(a)，然而從動(dòng)態(tài)性能觀點(diǎn)來(lái)看，卻是圖(a)優(yōu)于圖(b)。 在圖(a)中，當(dāng)根軌跡增益為K1*時(shí)，復(fù)數(shù)極點(diǎn)s1和s2為閉閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，實(shí)數(shù)極點(diǎn) s3 距虛軸較遠(yuǎn)，為非主導(dǎo)極點(diǎn)非主導(dǎo)極點(diǎn)。在這在這種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng)，種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng)，其過(guò)渡過(guò)程由于阻

48、尼比適中而具有不大的超調(diào)量、較快的響應(yīng)速度和不長(zhǎng)的調(diào)節(jié)時(shí)間，正是設(shè)計(jì)一般隨動(dòng)系統(tǒng)所希望具備的動(dòng)態(tài)特性。 在圖(b)中，實(shí)數(shù)極點(diǎn)s3 3為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)等價(jià)此時(shí)系統(tǒng)等價(jià)于一階系統(tǒng)，于一階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)過(guò)程雖然可能是單調(diào)的，但卻具有較慢的響應(yīng)速度和較長(zhǎng)的調(diào)節(jié)時(shí)間。這里，需要對(duì)“可能”一詞進(jìn)行必要的說(shuō)明，不難理解，增加開環(huán)零點(diǎn)也就是增加了閉環(huán)零點(diǎn)，閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，相當(dāng)于減小閉環(huán)閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，相當(dāng)于減小閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼，從而使系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程有出現(xiàn)超調(diào)的趨勢(shì)，系統(tǒng)的阻尼，從而使系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程有出現(xiàn)超調(diào)的趨勢(shì)，并且這種作用將隨閉環(huán)零點(diǎn)接近坐標(biāo)原點(diǎn)的程度而加強(qiáng)

49、。 3. 3. 零度根軌跡零度根軌跡 如果所研究的控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)，則有時(shí)不能采用常規(guī)根軌跡的繪制法則來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡，因?yàn)槠湎嘟亲裱?0+2k 條件，而不 180+2k 條件，故一般稱之為零度根軌跡零度根軌跡。 這里所謂的這里所謂的非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)，系指在 s 右半平面具有開環(huán)零點(diǎn)的控制系統(tǒng)，其定義和特性將在下章詳細(xì)介紹。此外，如果有必要繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡正反饋系統(tǒng)的根軌跡，那么也必然會(huì)產(chǎn)生 0+2k 的相角條件。 零度根軌跡包括：零度根軌跡包括： （1 1）非最小相位系統(tǒng)的根軌跡；）非最小相位系統(tǒng)的根軌跡； （2 2）正反饋系統(tǒng)的根軌跡。）正反饋系統(tǒng)

50、的根軌跡。 一般說(shuō)來(lái)，零度根軌跡的來(lái)源有兩個(gè)方面：（1）是非最小相位系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子負(fù)的因子；（2）是控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路正反饋內(nèi)回路。 前者是由于被控對(duì)象，如飛機(jī)、導(dǎo)彈的本身特性所產(chǎn)生的，或者是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換過(guò)程中所產(chǎn)生的；后者是由于某種性能指標(biāo)要求，使得在復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，必須包含正反饋內(nèi)回路所致。 零度根軌跡零度根軌跡的繪制方法，與常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制方法略有不同。以正反饋系統(tǒng)為例以正反饋系統(tǒng)為例，設(shè)某個(gè)復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖4-24所示，其中內(nèi)回路采用正反饋，這種系統(tǒng)通常由外回路加以穩(wěn)定。為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的性能，首先要確定內(nèi)回路的零

51、、極點(diǎn)。用根軌跡法確定內(nèi)回路的零、極點(diǎn)時(shí)，就相當(dāng)于繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。 在圖4-24中，正反饋內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 于是，得到正反饋的根軌跡方程： )()(1)()()(sHsGsGsRsC（4-36） 上式可等效為下列兩個(gè)方程：（4-37）和（4-38） 前者稱為零度根軌跡零度根軌跡的相角條件相角條件，后者叫做零度根軌跡的模值條件模值條件。式中各符號(hào)的意義與以前指出的相同。1)()(sHsG , 2, 1, 020)()(11kkpszsmjniijmjjniizspsK11*| 將式(4-37)和(4-38)與常規(guī)根軌跡的相應(yīng)公式(4-9)和(4-10)相比可知，它們的它們的模值條

52、件模值條件完全相同，僅完全相同，僅相角相角條件條件有所改變。有所改變。因此，常規(guī)根軌跡的繪制法則，原則上可以應(yīng)用于零度根軌跡的繪制，但在與相角條件有關(guān)的一些法則中，需作適當(dāng)調(diào)整。從這種意義上說(shuō)，零度根軌跡也是常規(guī)根軌跡的一種推廣。 繪制零度根軌跡時(shí)，應(yīng)調(diào)整的繪制法則有：繪制零度根軌跡時(shí)，應(yīng)調(diào)整的繪制法則有： 法則法則3 漸近線的交角應(yīng)改為：（4-39）mnka21, 1, 0mnk 法則法則4 根軌跡在實(shí)軸上的分布應(yīng)改為：實(shí)軸上的某實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為一區(qū)域，若其右方開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)偶數(shù)，則，則該區(qū)域必是根軌跡。該區(qū)域必是根軌跡。 法則法則5 根軌

53、跡的起始角和終止角應(yīng)改為：起始角為其它零、極點(diǎn)到所求起始角復(fù)數(shù)極點(diǎn)的諸向量相角之差，即：（4-40） 終止角等于其它零、極點(diǎn)到所求終止角復(fù)數(shù)零點(diǎn)的諸向量相角之差的負(fù)值，即：（4-41） mjnijjpppzpijijik1)(1)(2mijjnjzpzzzijijik)(11)(2 例例4-8設(shè)正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-24中的內(nèi)回路所示內(nèi)回路所示，其中試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 本例根軌跡繪制可分以下幾步： 1）在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn) p1 = 1+j， p2 = 1j， p3 = 3 以及開環(huán)零點(diǎn) z1 = 2 。當(dāng)K* 從零增到無(wú)窮時(shí)，根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，而終于開環(huán)零點(diǎn)（包括

54、無(wú)限零點(diǎn)）。 2）確定實(shí)軸上的根軌跡。在實(shí)軸上，根軌跡存在于在實(shí)軸上，根軌跡存在于 2與與+ 之間之間以及以及 3與與之間之間。 3）確定根軌跡的漸近線。對(duì)于本例，有 nm=2條根軌跡趨于無(wú)窮，其交角：1)(sH)22)(3()2()(2*ssssKsG這表明根軌跡漸近線位于實(shí)軸上。 4）確定分離點(diǎn)和分離角。由方程：經(jīng)整理得：顯然，分離點(diǎn)位于實(shí)軸上，故取d= 0.8，而分離角為90o。5）確定起始角。對(duì)于復(fù)數(shù)極點(diǎn) p1 = 1+j，根軌跡的起始角：1800132和ka1, 0kjdjddd111131210)24. 67 . 1)(8 . 0(2ddd6 .71)6 .2690(451p根據(jù)對(duì)

55、稱性，根軌跡從 p2 = 1j 的起始角p2=71.6。整個(gè)系統(tǒng)概略零度根軌跡如圖4-25所示。 6）確定臨界開環(huán)增益。由圖4-25可見，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為臨界值，可由模值條件求出為： 由于K=K*/3，于是臨界開環(huán)增益Kc =1。因此，為了使該正反饋系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益應(yīng)小于1。注：將開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)改寫成式(3-85)的標(biāo)準(zhǔn)形式，出現(xiàn)的增益稱為開環(huán)增益開環(huán)增益K。3| )2(0| )3(0| )1(0| )1(0|*jjKc例例4-9 設(shè)飛機(jī)在縱向運(yùn)動(dòng)時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中，A、B、和n為與氣動(dòng)力參數(shù)有關(guān)的系數(shù)，均為正值。試?yán)L出飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的根軌跡的零度根軌跡圖零度根軌跡圖。

56、解解 將飛機(jī)開環(huán)傳遞函數(shù)寫為如下形式：)2()()()(222*nnsssBAssKsHsG1)2()()2()()()(22*222*nnnnsssbsasKsssBAssKsHsG式中， ； 。顯然，|a|b|。飛機(jī)的開環(huán)極點(diǎn)為 p1=0， ；開環(huán)零點(diǎn)為z1= a和z2= b。見圖4-26。2/ )4(2BAAa2/ )4(2ABAb23 , 21nnjp由圖可見，在在s 右半平面有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)右半平面有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z2=b，故，故屬屬非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)。此時(shí)， 雖然整個(gè)系統(tǒng)是負(fù)反饋的，但因傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式中s最高次冪系數(shù)為負(fù)，從而使系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。若令：則閉環(huán)特征方程為：

57、 上式與正反饋系統(tǒng)根軌跡方程(4-36)相同。所以，用G1(s) H1(s) 作為開環(huán)傳遞函數(shù)畫出的根軌跡，必然是零度根軌跡。)2()()()(22*11nnsssbsasKsHsG1)()(11sHsG 根據(jù)表4-3給出的零度根軌跡繪制法則，不難在圖4-26中繪出飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的概略根軌跡。圖中，d為分離點(diǎn)坐標(biāo)，在 b, 區(qū)間中確定；p2 和 p3 為起始角，它們大小相等符號(hào)相反；c 和Kc* 為根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)系數(shù)A、B、 和 c 為具體值時(shí)，這些特征數(shù)據(jù)均不難求得。4-4 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評(píng)價(jià)取決于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要評(píng)價(jià)取決于系統(tǒng)

58、的單位階躍響應(yīng)。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。應(yīng)用根軌跡法，可“迅速確定系統(tǒng)在某一開環(huán)增益或某一參數(shù)值下的閉環(huán)零、極點(diǎn)位置，從簡(jiǎn)得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。這時(shí)，可以利用拉氏反變換法確定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，由階躍響應(yīng)不難求出系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。然而，在系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)過(guò)程中，重要的方面往往不是如何求出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，而是如何根據(jù)已知如何根據(jù)已知的閉環(huán)零、極點(diǎn)去定性地分析系統(tǒng)的性能。的閉環(huán)零、極點(diǎn)去定性地分析系統(tǒng)的性能。l. l. 閉環(huán)零、極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng)閉環(huán)零、極點(diǎn)與時(shí)間響應(yīng) 一旦用根軌跡法求出了閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)，便可以立即寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，于是，或用拉氏反變換法，或用計(jì)算機(jī)求根程序，都不難得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)

59、。然而，在工程實(shí)踐中，常常采用在工程實(shí)踐中，常常采用主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析。近似分析。例如研究具有如下閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)：該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： )22)(10(20)(2ssss)129cos(55. 1024. 01)(10teethtt上式表明，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能基本上由接近虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)上式表明，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能基本上由接近虛軸的閉環(huán)極點(diǎn)確定。確定。這樣的極點(diǎn)，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)這樣的極點(diǎn)，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。因此，主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)定義定義為對(duì)整個(gè)時(shí)間響應(yīng)過(guò)程起主要作用的閉環(huán)極點(diǎn)為對(duì)整個(gè)時(shí)間響應(yīng)過(guò)程起主要作用的閉環(huán)極點(diǎn)。要注意，時(shí)間響應(yīng)分量的消逝速度，除取決于相

60、應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部值外，還與該極點(diǎn)處的留數(shù)留數(shù)，即閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的相互位置有關(guān)。所以，只有既接近虛軸，又不十分接近閉環(huán)零只有既接近虛軸，又不十分接近閉環(huán)零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，才可能成為點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)，才可能成為主導(dǎo)極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)。式中，指數(shù)項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)是由閉環(huán)極點(diǎn) s1= 10產(chǎn)生的；衰減余弦項(xiàng)衰減余弦項(xiàng)是由閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) s2,3= 1j 產(chǎn)生的。比較兩者可見，指數(shù)項(xiàng)比較兩者可見，指數(shù)項(xiàng)衰減迅速且幅值很小，因而可略。衰減迅速且幅值很小，因而可略。于是：)129cos(55. 11)(tetht 如果閉環(huán)閉環(huán)零、極點(diǎn)相距很近，那么這樣的閉環(huán)零、極點(diǎn)常稱為偶極子偶極子。偶極子有實(shí)數(shù)偶極子實(shí)數(shù)偶極子和復(fù)數(shù)偶極子復(fù)