大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)緒論誤差與不確定度

1、1第一章第一章 測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)第一節(jié)第一節(jié) 測(cè)量與測(cè)量誤差測(cè)量與測(cè)量誤差一、測(cè)量與誤差一、測(cè)量與誤差 1. 測(cè)量的定義測(cè)量的定義：在一定條件下，利用儀器，：在一定條件下，利用儀器，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，把被測(cè)量與作為計(jì)量單位的標(biāo)通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，把被測(cè)量與作為計(jì)量單位的標(biāo)準(zhǔn)量相比較的過(guò)程?；蛘哒f(shuō)，測(cè)量就是測(cè)定待測(cè)準(zhǔn)量相比較的過(guò)程?；蛘哒f(shuō)，測(cè)量就是測(cè)定待測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位的倍數(shù)關(guān)系。量和標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位的倍數(shù)關(guān)系。 任何一種測(cè)量結(jié)果，其物理量都是由任何一種測(cè)量結(jié)果，其物理量都是由數(shù)值和數(shù)值和單位構(gòu)成。單位構(gòu)成。（一）測(cè)量（一）測(cè)量22. 測(cè)量分類測(cè)量分類直接測(cè)量：直接測(cè)

2、量：用儀器直接讀出測(cè)量值的測(cè)量。用儀器直接讀出測(cè)量值的測(cè)量。例如：用刻度尺測(cè)例如：用刻度尺測(cè)長(zhǎng)度長(zhǎng)度；用電流表測(cè)；用電流表測(cè)電流電流等。等。間接測(cè)量：間接測(cè)量：根據(jù)直接測(cè)量所得到的數(shù)據(jù)，利用一定根據(jù)直接測(cè)量所得到的數(shù)據(jù)，利用一定的物理公式，通過(guò)運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。的物理公式，通過(guò)運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。例如，直接測(cè)出單擺的長(zhǎng)度例如，直接測(cè)出單擺的長(zhǎng)度L L和周期和周期T T，應(yīng)用公，應(yīng)用公式式 ，計(jì)算出重力加速度，計(jì)算出重力加速度g g。gL2T 3（二）誤差（二）誤差 1. 真值與誤差的定義真值與誤差的定義 真值真值 x真真：物理量的客觀存在值。由于儀器準(zhǔn)確物理量的客觀存在值。由于儀器準(zhǔn)確度、測(cè)量方

3、法、環(huán)境影響等條件的限制，任何實(shí)度、測(cè)量方法、環(huán)境影響等條件的限制，任何實(shí)際測(cè)量總得不到真值。際測(cè)量總得不到真值。 測(cè)量誤差：測(cè)量誤差：測(cè)量值測(cè)量值x與真值與真值x真真的差異稱為測(cè)量誤的差異稱為測(cè)量誤差，簡(jiǎn)稱誤差。差，簡(jiǎn)稱誤差。 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 誤差存在于一切測(cè)量中！誤差存在于一切測(cè)量中！ 真xx 4 相對(duì)誤差：相對(duì)誤差：測(cè)量的絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比稱測(cè)量的絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比稱為相對(duì)誤差，常用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，又稱為相對(duì)誤差，常用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，又稱百分誤差百分誤差。%100%100 xxE真2. 誤差的分類誤差的分類 根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，誤差可分為根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因和性質(zhì)，誤差可分

4、為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差。5 系統(tǒng)誤差定義：系統(tǒng)誤差定義：在同一條件下，多次測(cè)量同一在同一條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，誤差的大小和符號(hào)始終保持不變，或物理量時(shí)，誤差的大小和符號(hào)始終保持不變，或在條件改變時(shí)，誤差的大小和符號(hào)按一定規(guī)律變?cè)跅l件改變時(shí)，誤差的大小和符號(hào)按一定規(guī)律變化，這類誤差叫化，這類誤差叫系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。（1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差u 系統(tǒng)誤差的來(lái)源：系統(tǒng)誤差的來(lái)源：由于測(cè)量?jī)x器不完善、精度不夠高或安裝調(diào)試由于測(cè)量?jī)x器不完善、精度不夠高或安裝調(diào)試不當(dāng)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)也稱不當(dāng)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)也稱儀器誤差儀器誤差。 例如：刻度不準(zhǔn)、零點(diǎn)不對(duì)、應(yīng)該水平放例如：刻度不準(zhǔn)

5、、零點(diǎn)不對(duì)、應(yīng)該水平放置的儀器沒有放水平等。置的儀器沒有放水平等。系統(tǒng)誤差的特征：系統(tǒng)誤差的特征：確定性。確定性。6由于外界環(huán)境的變化對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)也稱由于外界環(huán)境的變化對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)也稱環(huán)境誤差環(huán)境誤差。 例如：溫度、壓力、電磁場(chǎng)等發(fā)生變化對(duì)例如：溫度、壓力、電磁場(chǎng)等發(fā)生變化對(duì)測(cè)量的影響。測(cè)量的影響。由于測(cè)量者生理或心理因素，缺乏經(jīng)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)的由于測(cè)量者生理或心理因素，缺乏經(jīng)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)也稱影響。有時(shí)也稱觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差。 例如：斜視讀數(shù)、顏色辯別能力差等。例如：斜視讀數(shù)、顏色辯別能力差等。由于實(shí)驗(yàn)原理或?qū)嶒?yàn)方法不完善對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。由于實(shí)驗(yàn)原理或?qū)嶒?yàn)方法不完善對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。有時(shí)

6、也稱有時(shí)也稱理論誤差理論誤差。 例如：計(jì)算公式的近似或忽略一些其他因素例如：計(jì)算公式的近似或忽略一些其他因素的影響等。的影響等。7u 系統(tǒng)誤差的消除：系統(tǒng)誤差的消除：消除產(chǎn)生的原因。對(duì)測(cè)量過(guò)程及測(cè)量裝置進(jìn)行分消除產(chǎn)生的原因。對(duì)測(cè)量過(guò)程及測(cè)量裝置進(jìn)行分析和研究，找出可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，并采析和研究，找出可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，并采取相應(yīng)措施使系統(tǒng)誤差減小和消除。取相應(yīng)措施使系統(tǒng)誤差減小和消除。對(duì)測(cè)量結(jié)果加以修正。如在計(jì)算公式中加修正對(duì)測(cè)量結(jié)果加以修正。如在計(jì)算公式中加修正項(xiàng)等。項(xiàng)等。采用適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法。如天平兩臂不等長(zhǎng)，可采用適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法。如天平兩臂不等長(zhǎng)，可采用采用復(fù)稱法復(fù)稱法稱衡。稱衡

7、。8 偶然誤差定義（也稱隨機(jī)誤差）：偶然誤差定義（也稱隨機(jī)誤差）：在相同條件在相同條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，即使系統(tǒng)誤下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，即使系統(tǒng)誤差減小到最小程度，測(cè)量值仍會(huì)出現(xiàn)一些難以預(yù)料差減小到最小程度，測(cè)量值仍會(huì)出現(xiàn)一些難以預(yù)料和無(wú)法控制的起伏，而且測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)和無(wú)法控制的起伏，而且測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)也隨機(jī)地變化，這類誤差稱為也隨機(jī)地變化，這類誤差稱為偶然誤差偶然誤差。 偶然誤差的特點(diǎn)：偶然誤差的特點(diǎn)：隨機(jī)性。隨機(jī)性。 （2）偶然誤差）偶然誤差9u偶然誤差的來(lái)源：偶然誤差的來(lái)源：主要來(lái)源于人們視覺、聽覺和主要來(lái)源于人們視覺、聽覺和觸覺能力的限制以

8、及實(shí)驗(yàn)環(huán)境偶然因素的干擾。觸覺能力的限制以及實(shí)驗(yàn)環(huán)境偶然因素的干擾。例如：溫度、濕度的變化、電源電壓的起伏，氣流例如：溫度、濕度的變化、電源電壓的起伏，氣流波動(dòng)及振動(dòng)等因素的影響。波動(dòng)及振動(dòng)等因素的影響。 另有一種粗大誤差，在數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)予剔除。另有一種粗大誤差，在數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)予剔除。正態(tài)分布的特征可用曲線形象描述正態(tài)分布的特征可用曲線形象描述3. 偶然誤差的正態(tài)分布（亦稱高斯分布）偶然誤差的正態(tài)分布（亦稱高斯分布）正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線10 圖中橫坐標(biāo)為誤差圖中橫坐標(biāo)為誤差，縱坐標(biāo)為誤差縱坐標(biāo)為誤差的概率密度分布函數(shù)的概率密度分布函數(shù)()。偶然誤差的正態(tài)分布曲線偶然誤差的正態(tài)分布曲線11遵

9、從正態(tài)分布的偶然誤差的四個(gè)特征遵從正態(tài)分布的偶然誤差的四個(gè)特征 單峰性：?jiǎn)畏逍裕航^對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的可能性絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的可能性（概率）大，大誤差出現(xiàn)的可能性小。（概率）大，大誤差出現(xiàn)的可能性小。 對(duì)稱性：對(duì)稱性：大小相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，大小相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，對(duì)稱分布于真值的兩側(cè)。對(duì)稱分布于真值的兩側(cè)。 有界性：有界性：非常大的正負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性幾乎非常大的正負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性幾乎為零。為零。 抵償性：抵償性：當(dāng)測(cè)量次數(shù)非常多時(shí)，正負(fù)誤差相互抵當(dāng)測(cè)量次數(shù)非常多時(shí)，正負(fù)誤差相互抵消，誤差的代數(shù)和趨向于零。消，誤差的代數(shù)和趨向于零。12第二節(jié)第二節(jié) 測(cè)量結(jié)果的誤差估算測(cè)

10、量結(jié)果的誤差估算一、算術(shù)平均值、算術(shù)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差一、算術(shù)平均值、算術(shù)平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值算術(shù)平均值 設(shè)在相同條件下對(duì)某一個(gè)物理量進(jìn)行了多設(shè)在相同條件下對(duì)某一個(gè)物理量進(jìn)行了多次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量值分別為：次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量值分別為： x1 , x2 , , xi , , xn 為算術(shù)平均值。為算術(shù)平均值。當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí)， 無(wú)限接近于真值，所以算術(shù)平均值是真無(wú)限接近于真值，所以算術(shù)平均值是真值的最佳估計(jì)值。值的最佳估計(jì)值。x n1iixn1 nxxxxxni21則則132. 算術(shù)平均偏差算術(shù)平均偏差 由于真值無(wú)法測(cè)得，實(shí)際中總是用算術(shù)平均值代由于真值無(wú)法測(cè)得，實(shí)際中總是用算術(shù)平均值代替真值，為

11、了加以區(qū)別，稱替真值，為了加以區(qū)別，稱為為偏差偏差。xxxii 有一組測(cè)量值有一組測(cè)量值x1, x2, , xi , xn 各次測(cè)量值的偏各次測(cè)量值的偏差為：差為： ，i = 1, 2, ,n. xxxii14式中取絕對(duì)值是考慮了全體偏差的貢獻(xiàn)。式中取絕對(duì)值是考慮了全體偏差的貢獻(xiàn)。nxxxxxxn21xn1iixxn1定義算術(shù)平均偏差為定義算術(shù)平均偏差為 :3. 標(biāo)準(zhǔn)偏差（測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差）標(biāo)準(zhǔn)偏差（測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差）1)(122nxxnxiix15物理意義：物理意義：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差不是測(cè)量的實(shí)際誤差，它實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差不是測(cè)量的實(shí)際誤差，它只是一組測(cè)量數(shù)據(jù)可靠性的估計(jì)。它表示任意一次只是一組測(cè)量數(shù)

12、據(jù)可靠性的估計(jì)。它表示任意一次測(cè)量的值落在測(cè)量的值落在 之間的可能性為之間的可能性為68.3% . 它是表示測(cè)量結(jié)果的分散程度的量。它是表示測(cè)量結(jié)果的分散程度的量。又稱測(cè)量列的又稱測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差。1)(2n(nxxnixx表示表示真值處于真值處于 區(qū)間內(nèi)的概率為區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%。xx 4. 算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差x165. 測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果的表示 設(shè)測(cè)量列的算數(shù)平均值及其總的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別設(shè)測(cè)量列的算數(shù)平均值及其總的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為為 和和 ，則測(cè)量結(jié)果可以表示為：，則測(cè)量結(jié)果可以表示為：xx xxx x （或（或 ）%100 xExx （或（或 ）(有

13、單位有單位)(無(wú)單位無(wú)單位)17二、直接測(cè)得量的誤差估算二、直接測(cè)得量的誤差估算(一一) 單次測(cè)量的誤差估算應(yīng)根據(jù)測(cè)得量的實(shí)際情況單次測(cè)量的誤差估算應(yīng)根據(jù)測(cè)得量的實(shí)際情況和儀器誤差進(jìn)行。和儀器誤差進(jìn)行。1. 儀器誤差儀器誤差N儀儀：卡尺、千分尺一類一般分度儀卡尺、千分尺一類一般分度儀器常用器常用“示值誤差示值誤差”進(jìn)行估算；電工儀表常用進(jìn)行估算；電工儀表常用“基本誤差的允許極限基本誤差的允許極限”進(jìn)行估算。例如，進(jìn)行估算。例如，025mm的千分尺，示值誤差為的千分尺，示值誤差為0.004mm。182. 單次測(cè)量單次測(cè)量 最大誤差估算最大誤差估算N估估：當(dāng)儀器沒有給出當(dāng)儀器沒有給出“示值誤差示值

14、誤差”或或“基本誤差的允許極限基本誤差的允許極限”時(shí)，可用時(shí)，可用儀器的最小分度值（或最小分度值的儀器的最小分度值（或最小分度值的1/2）進(jìn)行估算。）進(jìn)行估算。數(shù)字儀器可取末位一個(gè)單位估算。數(shù)字儀器可取末位一個(gè)單位估算。3. 單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差估算單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差估算3儀N 游標(biāo)卡尺游標(biāo)卡尺，不可估讀，不可估讀 取最小分度值取最小分度值0.02mm米尺米尺，可以估讀，可以估讀 取最小分度的一半取最小分度的一半0.5mm19注意注意：以系統(tǒng)誤差為主的儀器，用標(biāo)準(zhǔn)誤差評(píng)價(jià)測(cè)以系統(tǒng)誤差為主的儀器，用標(biāo)準(zhǔn)誤差評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果沒有多大意義。量結(jié)果沒有多大意義。4. 單次直接測(cè)量的結(jié)果表示單次直接測(cè)量的結(jié)果

15、表示儀儀測(cè)測(cè) xx儀儀 （或（或 ）(有單位有單位)(無(wú)單位無(wú)單位)%100 xExx （或（或 ）205. 儀器讀數(shù)：儀器讀數(shù)：一般來(lái)講，儀器讀數(shù)應(yīng)讀到儀器最一般來(lái)講，儀器讀數(shù)應(yīng)讀到儀器最小分度值后再估讀一位。下列情況不需估讀：小分度值后再估讀一位。下列情況不需估讀： 儀器本身不能估讀。如游標(biāo)卡尺。儀器本身不能估讀。如游標(biāo)卡尺。 待測(cè)對(duì)象或測(cè)量方法較粗糙。待測(cè)對(duì)象或測(cè)量方法較粗糙。 儀器的分度值優(yōu)于儀器誤差。儀器的分度值優(yōu)于儀器誤差。 xxni1x算術(shù)平均偏差算術(shù)平均偏差1)()(2nnxxix標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差x（二）（二） 多次測(cè)量用算術(shù)平均偏差多次測(cè)量用算術(shù)平均偏差 或用標(biāo)準(zhǔn)偏或用標(biāo)準(zhǔn)偏

16、差差 進(jìn)行估算。進(jìn)行估算。x 21三、間接測(cè)得量的誤差估算三、間接測(cè)得量的誤差估算 間接測(cè)得量的誤差估算，可以通過(guò)誤差傳遞間接測(cè)得量的誤差估算，可以通過(guò)誤差傳遞公式得到。公式得到。1. 間接測(cè)量的誤差傳遞公式間接測(cè)量的誤差傳遞公式 設(shè)間接測(cè)量量設(shè)間接測(cè)量量y是各相互獨(dú)立的直接測(cè)得量是各相互獨(dú)立的直接測(cè)得量x1, x2, , xm的函數(shù)的函數(shù)y = f(x1, x2, , xm) 若各直接量的絕對(duì)誤差估算值分別為若各直接量的絕對(duì)誤差估算值分別為x1, x2, , xm, 將上將上 式求全微分式求全微分:22mmxxfxxfxxfydddd2211由于由于x1, x2, , xm 是很小量，可代替

17、是很小量，可代替dx1, dx2, , dxm, 則上式可寫成則上式可寫成mmxxfxxfxxfy2211考慮每個(gè)直接量誤差的貢獻(xiàn)，得到考慮每個(gè)直接量誤差的貢獻(xiàn)，得到:23相對(duì)誤差的估算值為：相對(duì)誤差的估算值為：mmxxfxxfxxfy2211miiixxfyyyE11miiixxf1 242. 標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式標(biāo)準(zhǔn)偏差的傳遞公式22221)()()(21mxmxxyxfxfxf22221)()()(121mxmxxyxfxfxfyyEmxxx , ,21 若各個(gè)獨(dú)立的直接量的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為若各個(gè)獨(dú)立的直接量的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為則間接量則間接量y的標(biāo)準(zhǔn)偏差為的標(biāo)準(zhǔn)偏差為:25第三節(jié)第三節(jié) 測(cè)量不

18、確定度的評(píng)定測(cè)量不確定度的評(píng)定一、測(cè)量不確定度一、測(cè)量不確定度 （一）不確定度的基本概念（一）不確定度的基本概念 不確定度是指測(cè)量結(jié)果不能確定的程度不確定度是指測(cè)量結(jié)果不能確定的程度.其表示其表示測(cè)量結(jié)果具有離散性的一個(gè)參數(shù)測(cè)量結(jié)果具有離散性的一個(gè)參數(shù),即提供測(cè)量結(jié)果的即提供測(cè)量結(jié)果的范圍或區(qū)域范圍或區(qū)域,使被測(cè)量的值能以一定的概率位于其中使被測(cè)量的值能以一定的概率位于其中. 測(cè)量不確定度小測(cè)量不確定度小,表示測(cè)量結(jié)果的離散性小表示測(cè)量結(jié)果的離散性小,測(cè)量測(cè)量結(jié)果與真值越接近結(jié)果與真值越接近;反之反之, 測(cè)量結(jié)果與真值差別越大測(cè)量結(jié)果與真值差別越大. 標(biāo)準(zhǔn)不確定度標(biāo)準(zhǔn)不確定度:用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示測(cè)量結(jié)果的不確定用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示測(cè)量結(jié)果的不確定度，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度度，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度.分為分為A類和類和B類類.（二）測(cè)量不確定度的分類（二）測(cè)量不確定度的分類26 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:在同一條件下多次重復(fù)測(cè)量時(shí)在同一條件下多次重復(fù)測(cè)量時(shí),由由一系列觀測(cè)結(jié)果用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度一系列觀測(cè)結(jié)果用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度,用用uA表示表示. B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:用其他方法用其他方法(非統(tǒng)計(jì)分析非統(tǒng)計(jì)分析)評(píng)定的標(biāo)評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度準(zhǔn)不確定度,用用uB表示表示. 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度:間接測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不