【2016屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第7章第3節(jié)簡單的線性規(guī)劃問題

1、第七章第三節(jié)一、選擇題1(文)若2x4y<4，則點(diǎn)(x，y)必在()A直線xy20的左下方B直線xy20的右上方C直線x2y20的右上方D直線x2y20的左下方答案D解析2x4y2，由條件2x4y<4知，2<4，x2y<2，即x2y2<0，故選D(理)(2013·衡水模擬)已知點(diǎn)P(2，t)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)P(2，t)到直線3x4y100距離的最大值為()A2B4C6D8答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)結(jié)合圖形可知，點(diǎn)A到直線3x4y100的距離最大由得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，故所求最大距離為dmax4.2在直角坐標(biāo)

2、系xOy中，已知AOB的三邊所在直線的方程分別為x0，y0,2x3y30，則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)為()A95 B91 C88 D75答案B解析由2x3y30知，y0時(shí)，0x15，有16個(gè)；y1時(shí)，0x13；y2時(shí)，0x12；y3時(shí)，0x10；y4時(shí)，0x9；y5時(shí)，0x7；y6時(shí)，0x6；y7時(shí)，0x4；y8時(shí)，0x3；y9時(shí)，0x1，y10時(shí)，x0.共有161413111087542191個(gè)3(2014·唐山市二模)設(shè)變量x，y滿足|x|y|1，則2xy的最大值和最小值分別為()A1，1B2，2C1，2D2，1答案B解析不等式|x|y|1表示的平面區(qū)域如

3、圖所示，作直線l0：2xy0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，2xy取最大值2，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，2xy取最小值2.4(文)(2014·邯鄲質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z2xy的最大值為()A4B6C8D10答案C解析依題意，畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線2xy0(圖略)，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(3,2)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z2xy取得最大值，最大值是2×328，選C(理)(2014·哈三中一模)若變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z3xy的最小值為()A4B0CD4答案B解析作出可行域如圖，作直線l0：3x

4、y0，平移l0當(dāng)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A(1，)時(shí)，z最大從而z取最小值zmin3×1.5(文)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镾，若A、B為區(qū)域S內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A2BC3D答案B解析在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形觀察不難得知，位于該平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)中，其間的距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)是(0,3)與(2,0)，因此|AB|的最大值是，選B(理)已知x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)zaxy只在點(diǎn)(1,1)處取最小值，則有()Aa>1Ba>1Ca<1Da<1答案D解析作出可行域如圖陰影部分所示由zaxy，得yaxz.只在點(diǎn)(1,1)處

5、z取得最小值，則斜率a>1，故a<1，故選D6(文)已知約束條件若目標(biāo)函數(shù)zxay(a0)恰好在點(diǎn)(2,2)處取得最大值，則a的取值范圍為()A0<a<BaCa>D0<a<答案C解析作出可行域如圖，目標(biāo)函數(shù)zxay恰好在點(diǎn)A(2,2)處取得最大值，故>3，a>.(理)(2014·石家莊市二檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為2，則實(shí)數(shù)m的值為()A0B2C4D8答案D解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由得作直線l0：xy0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(，)時(shí)，zxy取最小值2，2，m8.二、填空題7(文

6、)(2014·海南六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為_答案解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由，得.當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，1)時(shí)，直線OM的斜率取最小值.(理)(2014·豫東、豫北十所名校段測)已知變量x，y滿足約束條件，則的取值范圍是_答案(1，解析畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，3，1)，(1，點(diǎn)評數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃中的應(yīng)用：線性規(guī)劃問題的求解基本上是在圖上完成的，注意圖形要力求準(zhǔn)確規(guī)范另外還要記住常見代數(shù)式的幾何意義：(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0

7、)的距離；(2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；(3)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(4)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率等練習(xí)下列各題：變量x、y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)zx2y26x4y13，求z的取值范圍分析作出可行域，理清所求表達(dá)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解解析由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由，解得A.由，解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.(3)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)

8、到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|，2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,2)的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax8.16z64.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)yax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A(0,1)B(1,2)C2,4D2，)答案D解析作出可行區(qū)域，如圖，由題可知點(diǎn)(2，a2)應(yīng)在點(diǎn)(2,4)的上方或與其重合，故a24，a2或a2，又a>0且a1，a2.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且x2y2的最小值為m，當(dāng)9m25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

9、()A(2,5)B2,5C(2,5D(0,5答案B解析不等式組表示的可行域如圖中的陰影部分，x2y2的最小值m即為|OA|2，聯(lián)立，得A(，)由題知9()2()225，解得2k5.(2014·山東青島一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則w的最小值是()A2B2C1D1答案D解析畫出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D(2014·安徽池州一中月考)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)yax2的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A，B，9C(，9)D，9答案D解析題中可行域M如圖所示，yax2經(jīng)過

10、可行域M，則a>0，分別計(jì)算出經(jīng)過(3,8)，(1,9)點(diǎn)時(shí)a的值，則a1，a29，所以a的取值范圍為，9，故選D8(2014·北京西城一模)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(3,5)解析平面區(qū)域如圖中的陰影部分，直線2xy6交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交直線x1于點(diǎn)B(1,4)，當(dāng)直線xya與直線2xy6在線段AB(不包括線段端點(diǎn))時(shí)，此時(shí)不等式組所表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線xya的方程得a3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線xya的方程得a5，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,5)9(2014·吉林市二檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z2

11、xy的最大值為_答案5解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線l0：2xy0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2，1)時(shí)，z取最大值5.點(diǎn)評應(yīng)注意線性目標(biāo)函數(shù)zaxby當(dāng)b>0與b<0時(shí)最值的不同設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4xy的最大值為_答案11解析如圖，滿足條件的可行域?yàn)槿切螀^(qū)域(圖中陰影部分)，故z4xy在P(2,3)處取得最大值，最大值為11.三、解答題10(文)某公司準(zhǔn)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資每份由金融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進(jìn)取型組合投資每份由金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬元，

12、每份進(jìn)取型組合投資每年可獲利15萬元若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過180萬元，那么這兩種組合投資各應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？解析設(shè)穩(wěn)健型投資x份，進(jìn)取型投資y份，利潤總額為z(單位：10萬元，則目標(biāo)函數(shù)為zx1.5y(單位：10萬元)，線性約束條件為：即作出可行域如圖，解方程組得交點(diǎn)M(4,2)，作直線l0：x1.5y0，平移l0，當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)M時(shí)，z取最大值：zmax(43)×1070萬元答：穩(wěn)健型投資4份，進(jìn)取型投資2份，才能使一年獲利總額最多(理)(2013·山東諸城一中月考)為保增長、促發(fā)展，某地計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)

13、項(xiàng)目，根據(jù)市場調(diào)研，知甲項(xiàng)目每投資100萬元需要配套電能2萬千瓦時(shí)，可提供就業(yè)崗位24個(gè)，GDP增長260萬元；乙項(xiàng)目每投資100萬元需要配套電能4萬千瓦時(shí)，可提供就業(yè)崗位36個(gè)，GDP增長200萬元已知該地為甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目最多可投資3000萬元，配套電能100萬千瓦時(shí)，若要求兩個(gè)項(xiàng)目能提供的就業(yè)崗位不少于840個(gè)，問如何安排甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的投資額，才能使GDP增長的最多解析設(shè)甲項(xiàng)目投資x萬元，乙項(xiàng)目投資y萬元，增長的GDP為z萬元，則投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可增長GDP為z2.6x2y.依題意，知x、y滿足則此不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示把z2.6x2y變形為y1.3x0.5z，其在

14、y軸上的截距為0.5z.由圖可知當(dāng)直線y1.3x0.5z經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，其縱截距取得最大值，也即z取得最大值由得x2000，y1000，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2000,1000)，故當(dāng)甲項(xiàng)目投資2000萬元，乙項(xiàng)目投資1000萬元時(shí)，GDP增長得最多一、選擇題11(文)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，若點(diǎn)N(x，y)滿足不等式組則使·取得最大值的點(diǎn)N的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D無數(shù)個(gè)答案D分析點(diǎn)N(x，y)在不等式表示的平面區(qū)域之內(nèi)，U·為x，y的一次表達(dá)式，則問題即是當(dāng)點(diǎn)N在平面區(qū)域內(nèi)變化時(shí)，求U取到最大值時(shí)，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)解析如圖所示，可行域?yàn)閳D中陰影部分，而

15、3;2xy，所以目標(biāo)函數(shù)為z2xy，作出直線l：2xy0，顯然它與直線2xy120平行，平移直線l到直線2xy120的位置時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故2xy120上介于1x上所有點(diǎn)都能使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D(理)(2013·東北師大附中二模)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，若點(diǎn)N(x，y)的坐標(biāo)滿足則·的最大值為()AB2CD2答案B解析如圖，點(diǎn)N在圖中陰影部分區(qū)域內(nèi)，當(dāng)O，M，N共線，且|2時(shí)，·最大，此時(shí)N(，)，·(1,1)·(，)2，故選B12設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為12，

16、則的最小值為()ABCD4答案A解析由可行域可得，當(dāng)x4，y6時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zaxby取得最大值，4a6b12，即1，()·()2，故選A13(文)(2014·鄭州市質(zhì)檢)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組， 則x2y2的取值范圍是()A1,2B1,4C ,2D2,4答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，x2y2表示的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，x2y21,4(理)(2014·衡水中學(xué)五模)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a，b>0)的最大值是12，則a2b2的最小值是()ABCD答案D解析作出可行域如圖，zaxby的最大值為12，

17、a>0，b>0，當(dāng)直線zaxby經(jīng)過點(diǎn)A(4,6)時(shí)z取到最大值，4a6b12，2a3b6，原點(diǎn)到直線2x3y6的距離d，a2b2的最小值為.14(2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A31200元B36000元C36800元D38400元答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛，租金為z元，則，畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn))，則目標(biāo)函數(shù)z1600x2400y在點(diǎn)N(5,12)處

18、取得最小值36800，故選C二、填空題15(2013·濮陽模擬)已知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足則|·cosAOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值是_答案5解析|·cosAOP即為在上的投影，即求不等式組所表示的可行域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值由可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,2)，此時(shí)|·cosAOP取值最大，|·cosAOP的最大值為5.16(文)(2013·淮南第二次聯(lián)考)已知x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z2xy的最大值為_答案3解析畫出可行域如圖，易知y2xz過點(diǎn)C(2,1)時(shí)，zmax3.(理)(2014·湖北黃岡三月月考)已知實(shí)數(shù)x

19、，y滿足則的最小值是_答案4解析可行域如圖所示，令k，所以y.當(dāng)k<0時(shí)拋物線的開口向下，不合條件當(dāng)k>0時(shí)，有兩種可能情況：一是拋物線過點(diǎn)A(，)或C(3,2)所以的最小值是；二是當(dāng)拋物線y與直線xy10(<x<3)相切時(shí)，聯(lián)立方程組消掉y得到x2kxk0，k24k0，k4，此時(shí)的最小值是4.綜上可知的最小值是4.三、解答題17(文)某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7min，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10h.若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤3元(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤W(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解析(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100xy，所以利潤W5x6y