北京東城區(qū)2021-2022高三上學期數(shù)學期末試卷及答案

1、北京市東城區(qū)20212022學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測 高 三 數(shù) 學 2022.1本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，則（A） （B） （C） （D）（2）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（A） （B） （C） （D）（3）在等比數(shù)列中，若，則（A） （B） （C） （D）（4）在二項式的展開式中，含項的系數(shù)為（A） （B） （C） （D）（5）在平面直角坐標系

2、中，角的終邊過點，將的終邊繞原點按逆時針方向旋轉與角的終邊重合，則= （A） （B） （C） （D） （6）人類已進入大數(shù)據(jù)時代.目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從TB 級別躍升到PB，EB乃至ZB級別（1 TB1024 GB，1 PB=1024 TB，1 EB=1024 PB，1 ZB=1024 EB）由國際數(shù)據(jù)公司IDC的研究結果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：ZB）的散點圖.根據(jù)散點圖，下面四個選項中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和時間 的函數(shù)模型是（A） （B） （C） （D）（7）已知拋物線的焦點為，準線為， 為上一點，過作的垂線，垂足為.若，則（A）

3、（B） （C） （D）（8）已知直線：，為圓：上一動點，設到直線距離的最大值為，當最大時，的值為（A） （B） （C） （D）（9）已知點,不共線， ，為實數(shù)，,則 “”是“點在內(nèi)（不含邊界）”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （10）已知是各項均為正整數(shù)的數(shù)列，且，對，與有且僅有一個成立，則的最小值為（A）18 （B）20 （C）21 （D）23第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題 5小題，每小題5分，共25分 （11）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是，則 . （12）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則_；的離心率為_ _

4、.（13）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面. 寫出以之間的部分位置關系為條件（除外），為結論的一個真命題： _（14）函數(shù)（）的非負零點按照從小到大的順序分別記為. 若，則_； _. （15）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平面直角坐標系中，螺線與坐標軸依次交于點,，,并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去. 給出下列四個結論： 對于任意正整數(shù)，； 存在正整數(shù)，為整數(shù) ； 存在正整數(shù)，三角形的面積為2022； 對于任意正整數(shù)，三角形為銳角三角形.其中所有正確結論的序號是_ 三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中， ，（）求

5、證為等腰三角形；（） 再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的值條件：；條件：的面積為；條件：邊上的高為3.注：如果選擇的條件不符合要求，第（）問得0 分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動點（）若直線平面，求證：為的中點；（）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值. （18）（本小題13分）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.

6、” 做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和. 某校環(huán)保社團為了解本校學生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機抽取了200名學生進行調(diào)查，樣本調(diào)查結果如下表：高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834 假設每位學生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨立.（）從該校學生中隨機抽取一人，估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（）從樣本高中部和初中部的學生中各隨機抽取一名學生，以 X表示這2人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（）從樣本中隨機抽取一名男生和一名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理

7、方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式. 直接寫出方差和的大小關系.（結論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓過點，其右焦點為.（）求橢圓的方程；（）設為橢圓上一動點（不在軸上），為中點，過原點作的平行線，與直線交于點.問：直線與斜率的乘積是否為定值？若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由.（20）（本小題15分）曲線在點處的切線交軸于點.（）當時，求切線的方程；（）為坐標原點 ,記的面積為.求面積以為自變量的函數(shù)解析式，寫出其定義域，并求單調(diào)增區(qū)間.（21）（本小題15分）對于給定的正

8、整數(shù)和實數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)： ；對任意的,，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（）若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前10項和；（）對于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項式；（）若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對任意的正整數(shù)，不等式均成立.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）北京市東城區(qū)20212022學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學參考答案 2022.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D （5）A （6）D（7）C（8）A（9）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（ 11 ）（12）1；（13

9、）若，則（答案不唯一）（14）2，（15）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（）在中，設，其中.根據(jù)余弦定理，得.整理，得，因為，解得，所以.所以為等腰三角形. 7分（）若選擇條件：在中，由，得.所以.解得，即. 13分若選擇條件：在中，由邊上的高為3，得.由，得.解得. 13分（17）（共14分）APDCBMO解：（）如圖，連結BD，交AC于點O，連結MO. APDCBMOAPDCBMO因為直線平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBMO APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，所以因為正方形， APDCBMO所以為的中

10、點 所以為的中點5分（）因為底面為正方形，平面，所以AB，AD，AP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系. 設，可得， ，則設，則設為平面的法向量，則 即令，則，可得又，所以為平面的法向量，解得，所以. 14分（18）（共13分）解：（）依題意，參與調(diào)查的學生有200人，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有人. 在樣本中，學生清楚垃圾分類后的處理方式的頻率為. 用樣本的頻率估計總體的頻率，可估計從該校學生中隨機抽取一人，該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率為. 3分（）X的所有可能取值為0，1，2. 記事件為“從樣本初中部學生中隨機抽取1名學生，該學生清楚垃圾分類后處理方式”，事件為“從樣本高中部學生

11、中隨機抽取1名學生，該學生清楚垃圾分類后處理方式”，則， . 由題設知，事件，相互獨立，所以； ； .所以X的分布列為X012P. 11分（）. 2分（19）（共15分）解：（）由題可知，則.故橢圓的方程為. 5分（）設，則，即.由為的中點，得，所以.因為直線的斜率，且，所以直線的方程為.令，得，則.因為，所以.所以.所以直線與斜率的乘積是為定值-1. 15分（20）（共15分）解：（）設函數(shù)，的定義域為. 因為，所以. 當時，即.所以切線的方程為，即. 5分 （）由（）知，曲線在點處的切線方程為，即.令，得，所以.的定義域為.設， 則 . 令，解得，或. 即 ，或 . 當，或時，. ，得 ，或.當時，. ，得 .所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， . 15分（21）（