北京東城區(qū)2021-2022高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答案

1、北京市東城區(qū)20212022學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測 高 三 數(shù) 學(xué) 2022.1本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則（A） （B） （C） （D）（2）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（A） （B） （C） （D）（3）在等比數(shù)列中，若，則（A） （B） （C） （D）（4）在二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（A） （B） （C） （D）（5）在平面直角坐標(biāo)系

2、中，角的終邊過點(diǎn)，將的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與角的終邊重合，則= （A） （B） （C） （D） （6）人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從TB 級(jí)別躍升到PB，EB乃至ZB級(jí)別（1 TB1024 GB，1 PB=1024 TB，1 EB=1024 PB，1 ZB=1024 EB）由國際數(shù)據(jù)公司IDC的研究結(jié)果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：ZB）的散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)選項(xiàng)中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和時(shí)間 的函數(shù)模型是（A） （B） （C） （D）（7）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為， 為上一點(diǎn)，過作的垂線，垂足為.若，則（A）

3、（B） （C） （D）（8）已知直線：，為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)到直線距離的最大值為，當(dāng)最大時(shí)，的值為（A） （B） （C） （D）（9）已知點(diǎn),不共線， ，為實(shí)數(shù)，,則 “”是“點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （10）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且，對(duì)，與有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為（A）18 （B）20 （C）21 （D）23第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題 5小題，每小題5分，共25分 （11）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則 . （12）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則_；的離心率為_ _

4、.（13）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面. 寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題： _（14）函數(shù)（）的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為. 若，則_； _. （15）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn),，,并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去. 給出下列四個(gè)結(jié)論： 對(duì)于任意正整數(shù)，； 存在正整數(shù)，為整數(shù) ； 存在正整數(shù)，三角形的面積為2022； 對(duì)于任意正整數(shù)，三角形為銳角三角形.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_ 三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中， ，（）求

5、證為等腰三角形；（） 再從條件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的值條件：；條件：的面積為；條件：邊上的高為3.注：如果選擇的條件不符合要求，第（）問得0 分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（）若直線平面，求證：為的中點(diǎn)；（）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值. （18）（本小題13分）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.

6、” 做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和. 某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834 假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立.（）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（）從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以 X表示這2人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）從樣本中隨機(jī)抽取一名男生和一名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理

7、方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式. 直接寫出方差和的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不在軸上），為中點(diǎn)，過原點(diǎn)作的平行線，與直線交于點(diǎn).問：直線與斜率的乘積是否為定值？若為定值，求出該值；若不為定值，請(qǐng)說明理由.（20）（本小題15分）曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).（）當(dāng)時(shí)，求切線的方程；（）為坐標(biāo)原點(diǎn) ,記的面積為.求面積以為自變量的函數(shù)解析式，寫出其定義域，并求單調(diào)增區(qū)間.（21）（本小題15分）對(duì)于給定的正

8、整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)： ；對(duì)任意的,，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（）若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（）對(duì)于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)式；（）若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，不等式均成立.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）北京市東城區(qū)20212022學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測 高三數(shù)學(xué)參考答案 2022.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D （5）A （6）D（7）C（8）A（9）B （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（ 11 ）（12）1；（13

9、）若，則（答案不唯一）（14）2，（15）三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（）在中，設(shè)，其中.根據(jù)余弦定理，得.整理，得，因?yàn)?，解得，所?所以為等腰三角形. 7分（）若選擇條件：在中，由，得.所以.解得，即. 13分若選擇條件：在中，由邊上的高為3，得.由，得.解得. 13分（17）（共14分）APDCBMO解：（）如圖，連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)MO. APDCBMOAPDCBMO因?yàn)橹本€平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBMO APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，所以因?yàn)檎叫危?APDCBMO所以為的中

10、點(diǎn) 所以為的中點(diǎn)5分（）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，平面，所以AB，AD，AP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，可得， ，則設(shè)，則設(shè)為平面的法向量，則 即令，則，可得又，所以為平面的法向量，解得，所以. 14分（18）（共13分）解：（）依題意，參與調(diào)查的學(xué)生有200人，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人. 在樣本中，學(xué)生清楚垃圾分類后的處理方式的頻率為. 用樣本的頻率估計(jì)總體的頻率，可估計(jì)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率為. 3分（）X的所有可能取值為0，1，2. 記事件為“從樣本初中部學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式”，事件為“從樣本高中部學(xué)生

11、中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式”，則， . 由題設(shè)知，事件，相互獨(dú)立，所以； ； .所以X的分布列為X012P. 11分（）. 2分（19）（共15分）解：（）由題可知，則.故橢圓的方程為. 5分（）設(shè)，則，即.由為的中點(diǎn)，得，所以.因?yàn)橹本€的斜率，且，所以直線的方程為.令，得，則.因?yàn)?，所?所以.所以直線與斜率的乘積是為定值-1. 15分（20）（共15分）解：（）設(shè)函數(shù)，的定義域?yàn)? 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，即.所以切線的方程為，即. 5分 （）由（）知，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.令，得，所以.的定義域?yàn)?設(shè)， 則 . 令，解得，或. 即 ，或 . 當(dāng)，或時(shí)，. ，得 ，或.當(dāng)時(shí)，. ，得 .所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， . 15分（21）（