橢圓基本知識(shí)（課堂PPT）

1、要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.橢圓的定義橢圓的定義 （1 1）第一定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)）第一定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距離的的距離的和等于常數(shù)（大于和等于常數(shù)（大于| |F F1 1F F2 2| |）的點(diǎn)的軌跡叫）的點(diǎn)的軌跡叫 . .這這兩定點(diǎn)叫做橢圓的兩定點(diǎn)叫做橢圓的 ，兩焦點(diǎn)間的距離叫，兩焦點(diǎn)間的距離叫做做 . . 集合集合P P=M M|MFMF1 1|+|+|MFMF2 2|=2|=2a a ，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c, ,其中其中 a a0,0,c c0 0，且，且a a，c c為常數(shù)：為常數(shù)：（1 1）若）若 ，則集合，則集合P P為橢

2、圓；為橢圓；8.1 8.1 橢圓橢圓基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)橢圓橢圓焦點(diǎn)焦點(diǎn)焦距焦距a ac c第八章 圓錐曲線（2 2）若）若 ，則集合，則集合P P為線段；為線段；（3 3）若）若 ，則集合，則集合P P為空集為空集. .a a= =c ca ac c3.3.橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì))0( 12222babyax)0( 12222babxay) 1 , 0(acecax2cay2基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 2倍，則橢圓的離倍，則橢圓的離 心率等于心率等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析

3、 設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為2 2a a、2 2b b, ,則則2 2a a=4=4b,b,31332123D.23242222bbbabaace2.2.設(shè)設(shè)P P是橢圓是橢圓 上的點(diǎn)上的點(diǎn). .若若F F1 1，F(xiàn) F2 2是橢圓是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的兩個(gè)焦點(diǎn)，則| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2| |等于等于 （ ） A.4 B.5 C.8 D.10A.4 B.5 C.8 D.10 解析解析 由橢圓定義知由橢圓定義知| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a=10.=10.1162522yxDC4.4.已知橢圓已知橢圓C C的短軸長(zhǎng)為的短軸

4、長(zhǎng)為6 6，離心率為，離心率為 ，則橢圓，則橢圓 C C的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為 （ ） A.9A.9 B.1 B.1 C.1 C.1或或9 9 D. D.以上都不對(duì)以上都不對(duì) 解析解析 由題意得由題意得 a a=5=5，c c=4.=4. a a+ +c c=9=9，a a- -c c=1.=1.54C,543acb5.5.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F F1 1、F F2 2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為A A， 且且 F F1 1AFAF2 2是頂角為是頂角為120120的等腰三角形，則此的等腰三角形，則此 橢圓的離心率為橢圓的離心率為

5、 . . 解析解析 由已知得由已知得AFAF1 1F F2 2=30=30，故，故cos 30cos 30= = ， 從而從而e e= .= .23ac23題型一題型一 橢圓的定義橢圓的定義【例例1 1】一動(dòng)圓與已知圓一動(dòng)圓與已知圓O O1 1：（：（x x+3)+3)2 2+ +y y2 2=1=1外切外切, ,與與 圓圓O O2 2：（：（x x-3-3）2 2+ +y y2 2=81=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌 跡方程跡方程. . 兩圓相切時(shí)兩圓相切時(shí), ,圓心之間的距離與兩圓圓心之間的距離與兩圓 的半徑有關(guān)的半徑有關(guān), ,據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿(mǎn)足的條件據(jù)此可以找到

6、動(dòng)圓圓心滿(mǎn)足的條件. .思維啟迪思維啟迪題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析解解 兩定圓的圓心和半徑分別為兩定圓的圓心和半徑分別為O O1 1(-3(-3，0),0),r r1 1=1=1；O O2 2(3,0)(3,0)，r r2 2=9.=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為設(shè)動(dòng)圓圓心為M M( (x x，y y),),半徑為半徑為R R，則由題設(shè)條件可得則由題設(shè)條件可得| |MOMO1 1|=1+|=1+R R，| |MOMO2 2|=9-|=9-R R. .|MOMO1 1|+|+|MOMO2 2|=10.|=10.由橢圓的定義知：由橢圓的定義知：M M在以在以O(shè) O1 1、O O2 2為焦點(diǎn)的橢圓上為焦點(diǎn)

7、的橢圓上, ,且且a a=5=5，c c=3.=3.b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=25-9=16=25-9=16，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為. 1162522yx探究提高探究提高 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1、F F2 2的距的距離之和等于常數(shù)離之和等于常數(shù)2 2a a，當(dāng)，當(dāng)2 2a a|F F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,動(dòng)點(diǎn)的軌跡動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)是橢圓；當(dāng)2 2a a=|=|F F1 1F F2 2| |時(shí)時(shí), ,動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F F1 1F F2 2；當(dāng)當(dāng)2 2a a|F F1 1F F2 2|

8、 |時(shí)，軌跡不存在時(shí)，軌跡不存在. . 已知圓（已知圓（x x+2+2）2 2+ +y y2 2=36=36的圓心為的圓心為M M，設(shè)設(shè)A A為圓上任一點(diǎn)，為圓上任一點(diǎn)，N N（2 2，0 0），線段），線段ANAN的垂直的垂直平分線交平分線交MAMA于點(diǎn)于點(diǎn)P P，則動(dòng)點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P P的軌跡是的軌跡是 （ ）A.A.圓圓 B.B.橢圓橢圓 C.C.雙曲線雙曲線 D.D.拋物線拋物線知能遷移知能遷移1 1解析解析 點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ANAN的垂直平分線上，的垂直平分線上，故故| |PAPA|=|=|PNPN| |，又，又AMAM是圓的半徑，是圓的半徑，|PMPM|+|+|PNPN|=|=|

9、PMPM|+|+|PAPA|=|=|AMAM|=6|=6| |MNMN| |，由橢圓定義知，由橢圓定義知，P P的軌跡是橢圓的軌跡是橢圓. .答案答案 B題型二題型二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例例2 2】已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，且在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，且 P P到兩焦點(diǎn)的距離分別為到兩焦點(diǎn)的距離分別為5 5、3 3，過(guò)，過(guò)P P且與長(zhǎng)軸垂直且與長(zhǎng)軸垂直 的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程. .思維啟迪思維啟迪)0( 1122222222baaybxbyax或.解解 方法一方法一 設(shè)所求的橢圓方程為設(shè)所求的橢圓方程為由已

10、知條件得由已知條件得 解得解得a a=4,=4,c c=2,=2,b b2 2=12.=12.故所求方程為故所求方程為),0( 1)0( 122222222babxaybabyax或,35)2(352222ca. 11216112162222xyyx或方法二方法二 設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為 兩個(gè)焦點(diǎn)分別為兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F F1 1，F(xiàn) F2 2. .由題意知由題意知2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=8,|=8,a a=4.=4.在方程在方程 中，令中，令x x= =c c得得| |y y|= ,|= ,在方程在方程 中，令中，令y y= =c c得得| |x

11、 x|= ,|= ,依題意有依題意有 =3=3，b b2 2=12.=12.橢圓的方程為橢圓的方程為)0( 12222babyax).0( 12222babxay或12222byaxab212222bxayab2ab2. 11216112162222xyyx或探究提高探究提高 運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即設(shè)法建立關(guān)于法建立關(guān)于a a、b b的方程組，先定型、再定量，若位的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時(shí)，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，置不確定時(shí)，考慮是否兩解，有時(shí)為了解題需要，橢圓方程可設(shè)為橢圓方程可設(shè)為mxmx2 2+ +nyny2 2=1 (=

12、1 (m m0,0,n n0,0,m mn n) )，由題目所給條件求出由題目所給條件求出m m、n n即可即可. .知能遷移知能遷移2 2 （1 1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸, ,且且 長(zhǎng)軸是短軸的長(zhǎng)軸是短軸的3 3倍，并且過(guò)點(diǎn)倍，并且過(guò)點(diǎn)P P（3 3，0 0）, ,求橢圓求橢圓 的方程；的方程； （2 2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng) 軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P P1 1( ( ，1)1)、P P2 2(- (- ，- )- )， 求橢圓的方程求橢圓的方程. . 解解 （1 1）若焦點(diǎn)在）若焦點(diǎn)在x x軸上，設(shè)方

13、程為軸上，設(shè)方程為 ( (a ab b0).0). 橢圓過(guò)橢圓過(guò)P P（3 3，0 0），）， 又又2 2a a=3=32 2b b,b b=1,=1,方程為方程為 63212222byax3, 1032222aba即. 1922 yx若焦點(diǎn)在若焦點(diǎn)在y y軸上，設(shè)方程為軸上，設(shè)方程為橢圓過(guò)點(diǎn)橢圓過(guò)點(diǎn)P P（3 3，0 0），）， =1, =1,又又2 2a a=3=32 2b b,a a=9,=9,方程為方程為所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為).0( 12222babxay222230ba. 198122xy. 1981192222xyyx或b b=3.=3.（2 2）設(shè)橢圓方程為）設(shè)橢圓方

14、程為mxmx2 2+ +nyny2 2=1(=1(m m0,0,n n0 0且且m mn n).).橢圓經(jīng)過(guò)橢圓經(jīng)過(guò)P P1 1、P P2 2點(diǎn)，點(diǎn)，P P1 1、P P2 2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則則 、兩式聯(lián)立，解得兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為所求橢圓方程為, 123, 16nmnm.31,91nm. 13922yx題型三題型三 橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)【例例3 3】已知】已知F F1 1、F F2 2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P P為橢圓上為橢圓上 一點(diǎn)，一點(diǎn)，F(xiàn) F1 1PFPF2 2=60=60. .（1 1）求橢圓離心率的范圍；）求橢圓離心率的范圍；

15、（2 2）求證）求證: :F F1 1PFPF2 2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān). . （1 1）在）在PFPF1 1F F2 2中，使用余弦定理和中，使用余弦定理和| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，可求可求| |PFPF1 1|PFPF2 2| |與與a a，c c的關(guān)的關(guān)系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求系，然后利用基本不等式找出不等關(guān)系，從而求出出e e的的范圍；范圍；（2 2）利用）利用 | |PFPF1 1|PFPF2 2|sin 60|sin 60可證可證. .思維啟迪思維啟迪2121PFFS（1 1）解解 設(shè)橢圓方程為

16、設(shè)橢圓方程為| |PFPF1 1|=|=m m,|,|PFPF2 2|=|=n n. .在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理可知，中，由余弦定理可知，4 4c c2 2= =m m2 2+ +n n2 2-2-2mnmncos 60cos 60. .m m+ +n n=2=2a a，m m2 2+ +n n2 2= =（m m+ +n n）2 2-2-2mnmn=4=4a a2 2-2-2mnmn，44c c2 2=4=4a a2 2-3-3mnmn, ,即即3 3mnmn=4=4a a2 2-4-4c c2 2. .又又mnmn （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)m m= =n n時(shí)取等號(hào)）時(shí)取等

17、號(hào)）, ,44a a2 2-4-4c c2 233a a2 2， ，即，即e e . .又又0 0e e1,1,e e的取值范圍是的取值范圍是 ),0( 12222babyax222anm22ac4121.1 ,21（2 2）證明證明 由（由（1 1）知）知mnmn= = mnmnsin 60sin 60= =即即PFPF1 1F F2 2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān). .,342b2121PFFS,332b探究提高探究提高 （1 1）橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角）橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的形，稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)

18、算或證明常利用正弦定理、余弦定理、計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，得到，得到a a、c c的關(guān)系的關(guān)系. .（2 2）對(duì)）對(duì)F F1 1PFPF2 2的處理方法的處理方法定義式的平方定義式的平方余弦定理余弦定理面積公式面積公式.sin21cos24)2()(2121222122221PFPFSPFPFPFPFcaPFPF知能遷移知能遷移3 3 已知橢圓已知橢圓 的長(zhǎng)、的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為短軸端點(diǎn)分別為A A、B B, ,從橢圓上一點(diǎn)從橢圓上一點(diǎn)M M（在（在x x軸軸 上方）向上方）向x x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)軸作垂

19、線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F F1 1， . .（1 1）求橢圓的離心率）求橢圓的離心率e e；（2 2）設(shè)）設(shè)Q Q是橢圓上任意一點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn) F1 1、F F2 2分別是左、右分別是左、右 焦點(diǎn)，求焦點(diǎn)，求F F1 1QFQF2 2的取值范圍的取值范圍. . 解解 （1 1）F F1 1（- -c c，0 0），則），則x xM M=-=-c c，y yM M= = ， k kOMOM=- .=- .k kABAB=- =- ， ， - =- - =- ，b b= =c c，故，故e e= =)0( 12222babyaxABOMab2acb2abOMABacb2ab.22ac（

20、2 2）設(shè)）設(shè)| |F F1 1Q Q|=|=r r1 1，| |F F2 2Q Q|=|=r r2 2，F(xiàn) F1 1QFQF2 2= = ，r r1 1+ +r r2 2=2=2a a，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c，cos =cos =當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)r r1 1= =r r2 2時(shí)，時(shí)，cos =0,cos =0,212212212122221242)(24rrcrrrrrrcrr, 01)2(12212212rrarra.2, 0題型四題型四 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系【例例4 4】（1212分）橢圓分）橢圓C C： 的兩的兩 個(gè)焦點(diǎn)為個(gè)焦點(diǎn)為F F1

21、1，F(xiàn) F2 2，點(diǎn)，點(diǎn)P P在橢圓在橢圓C C上，且上，且PFPF1 1F F1 1F F2 2， | |PFPF1 1|= |= ，| |PFPF2 2|= .|= .（1 1）求橢圓）求橢圓C C的方程；的方程；（2 2）若直線）若直線l l過(guò)圓過(guò)圓x x2 2+ +y y2 2+4+4x x-2-2y y=0=0的圓心的圓心M M，交橢圓，交橢圓 C C于于A A，B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且A A，B B關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M M對(duì)稱(chēng)，求直線對(duì)稱(chēng)，求直線l l的的 方程方程. .)0( 12222babyax34314 （1 1）可根據(jù)橢圓定義來(lái)求橢圓方程；）可根據(jù)橢圓定義來(lái)求橢圓方程；（2 2）

22、方法一：設(shè)斜率為）方法一：設(shè)斜率為k k，表示出直線方程，表示出直線方程, ,然后然后 與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐 標(biāo)公式求解；標(biāo)公式求解； 方法二：設(shè)出方法二：設(shè)出A A、B B兩點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)坐標(biāo), ,代入橢圓方程代入橢圓方程, ,作作 差變形差變形, ,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解（即點(diǎn)差利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解（即點(diǎn)差 法）法）. .思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）因?yàn)辄c(diǎn)）因?yàn)辄c(diǎn)P P在橢圓在橢圓C C上，上，所以所以2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=6|=6，a a=3.=3. 2 2分分 在在R Rt

23、 tPFPF1 1F F2 2中，中，故橢圓的半焦距故橢圓的半焦距c c= = ， 44分分 從而從而b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=4=4，所以橢圓所以橢圓C C的方程為的方程為 66分分 , 52212221PFPFFF5. 14922yx解題示范解題示范（2 2）方法一方法一 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A A, ,B B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為( (x x1 1, ,y y1 1),(),(x x2 2, ,y y2 2).).已知圓的方程為（已知圓的方程為（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5,所以圓心所以圓心M M的的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-2-2，1 1），從

24、而可設(shè)直線），從而可設(shè)直線l l的方程為：的方程為：y y= =k k( (x x+2)+1,+2)+1, 8 8分分 代入橢圓代入橢圓C C的方程得：的方程得：(4+9(4+9k k2 2) )x x2 2+(36+(36k k2 2+18+18k k) )x x+36+36k k2 2+36+36k k-27=0.-27=0.因?yàn)橐驗(yàn)锳 A，B B關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M M對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，所以所以 1010分分 所以直線所以直線l l的方程為的方程為y y= (= (x x+2)+1,+2)+1,即即8 8x x-9-9y y+25=0.+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方

25、程符合題意） 1212分分 ,98, 29491822221kkkkxx解得98方法二方法二 已知圓的方程為（已知圓的方程為（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5,所以圓心所以圓心M M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2-2，1 1），）， 88分分 設(shè)設(shè)A A，B B的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（x x1 1, ,y y1 1）,(,(x x2 2, ,y y2 2).).由題意由題意x x1 1x x2 2, , 由由- -得：得： 因?yàn)橐驗(yàn)锳 A，B B關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M M對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，所以所以x x1 1+ +x x2 2=-4,=-4,y y1 1+ +y y2 2=2,

26、=2,1492121yx1492222yx. 04)(9)(21212121yyyyxxxx代入代入得得即直線即直線l l的斜率為的斜率為 ， 1010分分 所以直線所以直線l l的方程為的方程為y y-1= (-1= (x x+2),+2),即即8 8x x-9-9y y+25=0.+25=0.（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意）. 12. 12分分 ,982121xxyy9898 探究提高探究提高（1 1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立）直線方程與橢圓方程聯(lián)立, ,消元后消元后 得到一元二次方程，然后通過(guò)判別式得到一元二次方程，然后通過(guò)判別式來(lái)判斷直來(lái)判斷直 線和橢圓相

27、交、相切或相離線和橢圓相交、相切或相離. . （2 2）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢 圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫(xiě)成兩根之和圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫(xiě)成兩根之和 與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ). . （3 3）若已知圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)）若已知圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo), ,可設(shè)出弦可設(shè)出弦 的端點(diǎn)坐標(biāo)的端點(diǎn)坐標(biāo), ,代入方程，用點(diǎn)差法求弦的斜率代入方程，用點(diǎn)差法求弦的斜率. .注注 意求出方程后，通常要檢驗(yàn)意求出方程后，通常要檢驗(yàn). .知能遷移知能遷移4 4 若若F F1 1、F F2 2

28、分別是橢圓分別是橢圓 （a ab b0 0）的左、右焦點(diǎn)，）的左、右焦點(diǎn)，P P是該橢圓上的一個(gè)是該橢圓上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)，且| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=4|=4，| |F F1 1F F2 2|=2 .|=2 . （1 1）求出這個(gè)橢圓的方程；）求出這個(gè)橢圓的方程； （2 2）是否存在過(guò)定點(diǎn)）是否存在過(guò)定點(diǎn)N N（0 0，2 2）的直線）的直線l l與橢圓與橢圓 交于不同的兩點(diǎn)交于不同的兩點(diǎn)A A、B B，使，使 （其中（其中O O為為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l l的斜率的斜率k k；若不存；若不存 在，說(shuō)明理由在，說(shuō)明理由. .122

29、22byax3OAOB解解 （1 1）依題意，得）依題意，得2 2a a=4=4，2 2c c=2 ,=2 ,所以所以a a=2,=2,c c= ,= ,b b= =橢圓的方程為橢圓的方程為（2 2）顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即）顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即x x=0=0時(shí)，不滿(mǎn)時(shí)，不滿(mǎn)足條件足條件. .設(shè)設(shè)l l的方程為的方程為y y= =kxkx+2,+2,由由A A、B B是直線是直線l l與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)設(shè)A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），由由 消去消去y y并整理，得并整理，得33. 122ca. 142

30、2 yx,21422kxyyx（1+41+4k k2 2）x x2 2+16+16kxkx+12=0.+12=0.=(16=(16k k) )2 2-4(1+4-4(1+4k k2 2) )12=16(412=16(4k k2 2-3)-3)0,0,解得解得k k2 2 . .x x1 1+ +x x2 2=- ,=- ,x x1 1x x2 2= = , =0 , =0， = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= =x x1 1x x2 2+(+(kxkx1 1+2)(+2)(kxkx2 2+2)+2)= =x x1 1x x2 2+ +k k2 2x x1 1x x2

31、 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+4= =（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+44324116kk.41122kOAOBOAOBOAOBk k2 2=4. =4. 由由可知可知k k= =2,2,所以，存在斜率所以，存在斜率k k= =2 2的直線的直線l l符合題意符合題意. ., 041)4(44411624112)1 (22222kkkkkkk方法與技巧方法與技巧1.1.橢圓上任意一點(diǎn)橢圓上任意一點(diǎn)M M到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F F的所有距離中，長(zhǎng)軸的所有距離中，長(zhǎng)軸 端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離

32、，端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離， 且最大距離為且最大距離為a a+ +c c, ,最小距離為最小距離為a a- -c c. .2.2.過(guò)焦點(diǎn)弦的所有弦長(zhǎng)中，垂直于長(zhǎng)軸的弦是最過(guò)焦點(diǎn)弦的所有弦長(zhǎng)中，垂直于長(zhǎng)軸的弦是最 短的弦，而且它的長(zhǎng)為短的弦，而且它的長(zhǎng)為 . .把這個(gè)弦叫橢圓把這個(gè)弦叫橢圓 的通徑的通徑. .3.3.求橢圓離心率求橢圓離心率e e時(shí)時(shí), ,只要求出只要求出a a, ,b b, ,c c的一個(gè)齊次的一個(gè)齊次 方程，再結(jié)合方程，再結(jié)合b b2 2= =a a2 2- -c c2 2就可求得就可求得e e (0 (0e e1).1).ab22思想方法思想方法 感悟提高感

33、悟提高4.4.從一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓（面）的反射，從一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓（面）的反射， 反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn). .5.5.過(guò)橢圓外一點(diǎn)求橢圓的切線過(guò)橢圓外一點(diǎn)求橢圓的切線, ,一般用判別式一般用判別式=0=0 求斜率，也可設(shè)切點(diǎn)后求導(dǎo)數(shù)（斜率）求斜率，也可設(shè)切點(diǎn)后求導(dǎo)數(shù)（斜率）. .6.6.求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷 是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：（是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：（1 1）中心是否）中心是否 在原點(diǎn)，（在原點(diǎn)，（2 2）對(duì)稱(chēng)軸是否為坐標(biāo)軸）對(duì)稱(chēng)軸是否為坐標(biāo)軸. .失誤與防范

34、失誤與防范1.1.求橢圓方程時(shí)，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)該盡可能求橢圓方程時(shí)，在建立坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)該盡可能 以橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸以便求得的方程為最簡(jiǎn)以橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸以便求得的方程為最簡(jiǎn) 方程方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2.2.求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要把兩曲線的方程聯(lián)求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要把兩曲線的方程聯(lián) 立求方程組的解立求方程組的解, ,根據(jù)解可以判斷位置關(guān)系，若根據(jù)解可以判斷位置關(guān)系，若 方程組有解可求出交點(diǎn)坐標(biāo)方程組有解可求出交點(diǎn)坐標(biāo). .3.3.注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某注意橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，特別是把橢圓上某 一點(diǎn)坐標(biāo)視為某一函數(shù)問(wèn)題求解時(shí)，求函數(shù)的單一點(diǎn)坐標(biāo)

35、視為某一函數(shù)問(wèn)題求解時(shí)，求函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間、最值時(shí)有重要意義調(diào)區(qū)間、最值時(shí)有重要意義. .4.4.判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的原則為：長(zhǎng)軸、短軸所在判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的原則為：長(zhǎng)軸、短軸所在 直線為坐標(biāo)軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)直線為坐標(biāo)軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn). .5.5.判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x x2 2與與 y y2 2的分母大小，若的分母大小，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母大，則焦點(diǎn)的分母大，則焦點(diǎn) 在在x x軸上，若軸上，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母小，則焦點(diǎn)在的分母小，則焦點(diǎn)在y y 軸上軸上. .6.6.注意橢圓的

36、范圍，在設(shè)橢圓注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓 上點(diǎn)的坐標(biāo)為上點(diǎn)的坐標(biāo)為P P（x x，y y）時(shí)，則）時(shí)，則| |x x|a a，這往往，這往往 在求與點(diǎn)在求與點(diǎn)P P有關(guān)的最值問(wèn)題中特別有用，也是容有關(guān)的最值問(wèn)題中特別有用，也是容 易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因. .)0( 12222babyax一、選擇題一、選擇題1.1.（20082008上海春招，上海春招，1414）已知橢圓已知橢圓 =1=1，長(zhǎng)軸在，長(zhǎng)軸在y y軸上，若焦距為軸上，若焦距為4 4，則，則m m等于（等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8A.4 B.5 C.7 D.8 解析解析 橢圓焦點(diǎn)在橢圓

37、焦點(diǎn)在y y軸上，軸上，a a2 2= =m m-2-2，b b2 2=10-=10-m m. . 又又c c=2=2，m m-2-2-（10-10-m m）=2=22 2=4.=4.m m=8.=8.定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)21022mymxD2.2.已知點(diǎn)已知點(diǎn)M M（ ，0 0）, ,橢圓橢圓 =1=1與直線與直線 y y= =k k( (x x+ )+ )交于點(diǎn)交于點(diǎn)A A、B B, ,則則ABMABM的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16A.4 B.8 C.12 D.16 解析解析 直線直線y y= =k k( (x x+ )+ )過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)N N(- ,0),(-

38、,0),而而M M、N N 恰為橢圓恰為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓定義知ABMABM的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4 4a a=4=42=8.2=8.3224yxB331422 yx33.3.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積 的最大值為的最大值為1 1，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為 （ ） A.1A.1B. B. C.2C.2D.2 D.2 解析解析 設(shè)橢圓設(shè)橢圓 ，則使三角，則使三角 形面積最大時(shí)，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短形面積最大時(shí)，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓短 軸端點(diǎn)，軸端點(diǎn)， S S= = 2 2c cb b

39、= =bcbc=1=1 a a2 22.2.a a . .長(zhǎng)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2 2a a2 2 ，故選，故選D.D.D22)0( 12222babyax21.22222acb224.4.（20092009浙江文，浙江文，6 6）已知橢圓已知橢圓 ( (a ab b0)0)的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為F F，右頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A A，點(diǎn)，點(diǎn)B B在在 橢圓上，且橢圓上，且BFBFx x軸，直線軸，直線ABAB交交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)P P. .若若 =2=2 ，則橢圓的離心率是，則橢圓的離心率是 （ ） A. A. B.B.C.C.D.D.12222byax21312223APPB解析解析 如圖，由于如圖，由于

40、BFBFx x軸，軸，故故x xB B=-=-c c, ,y yB B= ,= ,設(shè)設(shè)P P（0,0,t t）, , =2 =2 ，（- -a a, ,t t）=2=2a a=2=2c c,e e= =答案答案 Dab2APPB,2tabc.21ac5.5.已知已知F F1 1，F(xiàn) F2 2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F F1 1且與橢圓長(zhǎng)且與橢圓長(zhǎng) 軸垂直的直線交橢圓于軸垂直的直線交橢圓于A A、B B兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若ABFABF2 2是是 等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ） A.A.B.B.C.C.D. D. 解析解析 ABFABF

41、2 2是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|AFAF1 1|=|=|F F1 1F F2 2| |，將將x x=-=-c c代入橢圓方程代入橢圓方程 從而從而 即即a a2 2- -c c2 2=2=2acac, ,整理得整理得e e2 2+2+2e e-1=0,-1=0, 解得解得e e=-1=-1 , ,由由e e(0,1),(0,1),得得e e= -1.= -1.232212 2C),(122222abcAbyax得,22cab226.6.(2009(2009江西理江西理,6),6)過(guò)橢圓過(guò)橢圓 的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn)F F1 1作作x x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P P，F(xiàn) F2

42、 2為右焦為右焦 點(diǎn)，若點(diǎn)，若F F1 1PFPF2 2=60=60, ,則橢圓的離心率為（則橢圓的離心率為（ ） A.A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 由題意知點(diǎn)由題意知點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為F F1 1PFPF2 2=60=60, , 即即2 2acac= = b b2 2= (= (a a2 2- -c c2 2).). e e2 2+2+2e e- =0,- =0,e e= = 或或e e=- (=- (舍去舍去).).)0( 12222babyax33222131B,22abcabc或, 322abc3333333二、填空題二、填空題7.7.（20092009廣東理，廣東理，

43、1111）已知橢圓已知橢圓G G的中心在坐標(biāo)的中心在坐標(biāo) 原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x x軸上，離心率為軸上，離心率為 ，且，且G G上一點(diǎn)上一點(diǎn) 到到G G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,12,則橢圓則橢圓G G的方程的方程 為為 . . 解析解析 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a a，由，由2 2a a=12=12知知a a=6,=6, 又又e e= = ,= = ,故故c c=3 =3 ，b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為23ac233. 193622yx. 193622yx8.8.設(shè)橢圓設(shè)

44、橢圓 （m m0,0,n n0 0）的右焦點(diǎn)與拋）的右焦點(diǎn)與拋 物線物線y y2 2=8=8x x的焦點(diǎn)相同，離心率為的焦點(diǎn)相同，離心率為 ，則此橢圓的，則此橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 . . 解析解析 拋物線拋物線y y2 2=8=8x x的焦點(diǎn)是（的焦點(diǎn)是（2,02,0）,橢圓橢圓 的半焦距的半焦距c c=2,=2,即即m m2 2- -n n2 2=4,=4,又又e e= = m m=4,=4,n n2 2=12.=12. 從而橢圓的方程為從而橢圓的方程為12222nymx211121622yx,21222mmnm. 1121622yx9.9.B B1 1、B B2 2是橢圓短軸的兩端

45、點(diǎn)，是橢圓短軸的兩端點(diǎn)，O O為橢圓中心，過(guò)為橢圓中心，過(guò) 左焦點(diǎn)左焦點(diǎn)F F1 1作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于作長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P P, ,若若| |F F1 1B B2 2| |是是 | |OFOF1 1| |和和| |B B1 1B B2 2| |的等比中項(xiàng)，則的等比中項(xiàng)，則 的值是的值是 . . 解析解析 由已知由已知2 2bcbc= =a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2,b b= =c c= = 設(shè)設(shè)P P（x x0 0，y y0 0），則），則x x0 0=-=-c c，| |y y0 0|=|=|PFPF1 1|.|. 21OBPF22.22a.22.211, 1)(21

46、222222022022OBPFabacbybyac三、解答題三、解答題10.10.根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1 1）已知）已知P P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn) P P到兩焦點(diǎn)的距離分別為到兩焦點(diǎn)的距離分別為 ，過(guò)，過(guò)P P作長(zhǎng)作長(zhǎng) 軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)； （2 2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A A（0 0，2 2）和）和B B 解解（1 1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 或或532534和.3,2112222byax, 12222bxay則由題意知?jiǎng)t由題意知2 2a a=|=|

47、PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2 |=2 ，a a= .= .在方程在方程 中令中令x x= =c c得得| |y y|=|=在方程在方程 中令中令y y= =c c得得| |x x|=|=依題意并結(jié)合圖形知依題意并結(jié)合圖形知 = .= .b b2 2= .= .即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5512222byaxab212222bxayab2ab2532310. 11035110352222xyyx或（2 2）設(shè)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)）設(shè)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A A（0 0，2 2），），B B 的橢圓標(biāo)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為準(zhǔn)方程為mxmx2 2+ +nyny2 2=1=1，代入，代入A A、B B得得所求橢圓方程為所求橢圓方程為x x2 2+ =1.+ =1.3,21,411134114nmnmn42y11.11.（20082008遼寧文，遼寧文，2121）在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy 中，點(diǎn)中，點(diǎn)P P到兩點(diǎn)（到兩點(diǎn)（0 0，- - ）、（）、（0 0， ）的距）的距 離之和等于離之和等于4 4，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P P