2014挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題(第七版精選)(共95頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2013年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線yax2bx（a0）經(jīng)過點A和x軸正半軸上的點B，AOBO2，AOB120（1）求這條拋物線的表達式；（2）連結OM，求AOM的大??；（3）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標圖1 滿分解答（1）如圖2，過點A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH所以A因為拋物線與x軸交于O、B(2,0)兩點，設yax(x2)，代入點A，可得 圖2所以拋物線的表達式為（2）由，得拋物

2、線的頂點M的坐標為所以所以BOM30所以AOM150（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此當點C在點B右側時，ABCAOM150ABC與AOM相似，存在兩種情況：如圖3，當時，此時C(4,0)如圖4，當時，此時C(8,0) 圖3 圖4考點伸展在本題情境下，如果ABC與BOM相似，求點C的坐標如圖5，因為BOM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角為30的等腰三角形，ABAC，根據(jù)對稱性，點C的坐標為(4,0)圖5例2 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C（1）

3、點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設點P的坐標為(x, x)如圖3，聯(lián)結OP所以S四邊

4、形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以OA、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么OQCQOA當，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以OC為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90。因此OCQQOA當時，BQAQOA此時OQB90所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應

5、成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例3 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）

6、將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當H落在線段EC上時，BHEH最小設對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標為（4）如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當，即時，BCEFBC設點F的坐標為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2

7、，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例4 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當S=36時點A1的坐標；（

8、3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）（3）設直

9、線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例5 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點

10、（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得DCA的面積最大，求出點D的坐標,圖1滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側時，x4，解方程，得此時點P的坐標

11、為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左側時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設點D的橫坐標為（m，n），那么由于，所以例6 2008年蘇州市中考第29題圖1滿分解答（1），（2）由

12、拋物線的解析式，得點M的坐標為，點N的坐標為因此MN的中點D的坐標為（2，0），DN3因為AOB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點E的坐標為E1（2，3）或E2（2，3）將E1（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為將E2（2，3）代入，求得此時拋物線的解析式為如果DN為斜邊，那么點E的坐標為E3或E4將E3代入，求得此時拋物線的解析式為將E4代入，求得此時拋物線的解析式為 圖2 圖3對于點E為E1（2，3）和E3，直線NE是相同的，ENP45又OBP45，PP，所以POBPGN因此對于點E為E2（2，3）和E4，直線NE是相

13、同的此時點G在直線的右側，又，所以考點伸展在本題情景下，怎樣計算PB的長？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC，PF，PA，所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且PDQ90（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所

14、以，（2）如圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不

15、存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展如圖6，當CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例2 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B

16、(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當A

17、MAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例3 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOB

18、C中，BOC30，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30，ODA120例4 2011年鹽城市中考第28題如圖1，

19、已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點

20、B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ

21、時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA上，QPQA時，也可以用來求解例5 2010年南通市中考第27題如圖1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常數(shù)），BC8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）連結DE，作EFDE，EF與射線BA交于點F，設CEx，BFy（1）求y關于x的函數(shù)關系式； （2）若m8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應為多少？圖1滿分解答(1)因為EDC與

22、FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因為CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y關于x的函數(shù)關系為(2)如圖2，當m8時，因此當x4時，y取得最大值為2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，只存在EDEF的情況因為DCEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入，得m6（如圖3）；將xy 6代入，得m2（如圖4） 圖2 圖3 圖4考點伸展本題中蘊涵著一般性與特殊性的辯證關系，例如：由第（1）題得到，那么不論m為何值，當x4時，y都取得最大值對應的幾何意義是，不論AB邊為多長，當E是BC的中點時，BF都取得最大值第（2）題m8是第（1）題一般性結論的一個特殊性再

23、如，不論m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因為方程總有一個根的第（3）題是這個一般性結論的一個特殊性例 6 2009年江西省中考第25題如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點，過點E作EF/BC交CD于點F，AB4，BC6，B60（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PMEF交BC于M，過M作MN/AB交折線ADC于N，連結PN，設EPx當點N在線段AD上時（如圖2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN的周長；若改變，請說明理由；當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足

24、條件的x的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2 圖3滿分解答（1）如圖4，過點E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以點E到BC的距離為（2）因為AD/EF/BC，E是AB的中點，所以F是DC的中點因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當點N在線段AD上時，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過點N作NHEF于H，設PH與NM交于點Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因為PM與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，PH2，所以PN在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長為4 圖4 圖5當

25、點N在線段DC上時，CMN恒為等邊三角形如圖5，當PMPN時，PMC與PNC關于直線PC對稱，點P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此時M、P分別為BC、EF的中點，x2如圖6，當MPMN時，MPMNMC，xGMGCMC5如圖7，當NPNM時，NMPNPM30，所以PNM120又因為FNM120，所以P與F重合此時x4綜上所述，當x2或4或5時，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點伸展第（2）題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，以B為原點，直線BC為x軸建立坐標系，設點M的坐標為（m，0），那么點P的坐標為（m，），MNMC6m，點N的坐標為（，）由兩點間的

26、距離公式，得當PMPN時，解得或此時當MPMN時，解得，此時當NPNM時，解得，此時1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BD

27、Q為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點P的坐標為(m, 0)，可得，所以MQ當MQDC8時，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(2,0)，(6,4)考點伸展第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為如圖3，當DBQ90時， 所以解得x6此時Q(6,4)如圖4，當BDQ90時， 所以解得

28、x2此時Q(2,0)圖3 圖4例1 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對

29、稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點D的坐標為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)

30、過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C例3 2012年杭州市中考第22題在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點A(1,k)和點B(1,k)（1）當k2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當k2時，

31、反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當k0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線 圖1所以當k0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，當OQOAOB時，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關

32、于直線yx對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例4 2011年浙江省中考第23題設直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線（1）已知直線；和點C(0，2)，則直線_和_是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與

33、l2的解析式 圖1答案（1）直線和是點C的直角線（2）當APB90時，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當OP6時，l1：， l2：y2x6如圖3，當OP1時，l1：y3x1， l2：圖2 圖3例5 2010年北京市中考第24題在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上（1）求點B的坐標；（2）點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側作等腰直角三角形PCD（當點P運動時，點C、D也隨之運動）當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求

34、OP的長；若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動）過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動）若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1滿分解答(1) 因為拋物線經(jīng)過原點，所以 解得，（舍去）因此所以點B的坐標為（2，4）(2) 如圖4，設OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點C的坐標為(3t, 2t)當點C落在拋

35、物線上時，解得如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合此時3t10解得如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時解得如圖3，當兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時解得 圖1 圖2 圖3考點伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值如圖5，當P、Q重合時，兩圓內(nèi)切，如圖6，當兩圓外切時， 圖4 圖5 圖6例6 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成ABC，設（1）

36、求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當或時，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設，ABC的面積為S，則如圖2，若點D在線段AB上，則移項，得兩邊平方，得整理，得兩邊平方，得整理，得所以（）當時（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時綜合得，ABC的最大面積為考點伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設，例如在圖2中，由

37、列方程整理，得所以因此例 7 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關系式； 設點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角三角形時，求t的值圖1滿分解答（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）RtBOC中，OB3，O

38、C4，所以BC5點A的坐標是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當M在AO上時，OM2t，此時定義域為0t2如圖3，當M在OB上時，OMt2，此時定義域為2t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負值）因此，當點M在線段OB上運動時，存在S4的情形，此時如圖4，當OMN90時，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當OMN90時，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當或者時，MON為直角三角形 圖4 圖5考點伸展在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當ON

39、/AC時，t3；如圖7，當MN/AC時，t2.5 圖6 圖7例8 2008年河南省中考第23題如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關系式； 設點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角三角形時，求t的值圖1滿分解答（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點

40、C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點A的坐標是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當M在AO上時，OM2t，此時定義域為0t2如圖3，當M在OB上時，OMt2，此時定義域為2t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負值）因此，當點M在線段OB上運動時，存在S4的情形，此時如圖4，當OMN90時，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當OMN90時，N與C重合，不存在ONM90的可能所以，當或者時，MON為直角三角形 圖4 圖5考點伸展在本題情景下，如果MON的

41、邊與AC平行，求t的值如圖6，當ON/AC時，t3；如圖7，當MN/AC時，t2.5 圖6 圖71.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標圖1 滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如圖2，

42、過點A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設點M的坐標為，點N的坐標為，那么當四邊形MNCB是平行四邊形時，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因為x3在對稱軸的右側（如圖4），所以符合題意的點M的坐標為（如圖3）圖3 圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標那么求點M的坐標要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點M有4個：，圖5例2 2012年福州市

43、中考第21題如圖1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD/BC，交AB于點D，聯(lián)結PQ點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動的時間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長圖1 圖2滿分解答（1）QB82t，PD（2）如圖3，作ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ/AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形過點P作P