xx大學《高等數學》d12_2常數項級數的審斂法

1、高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院二、交錯級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法常數項級數的審斂法 第十二章 高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數正項級數1nnu收斂收斂部分和數列部分和數列nS),2, 1(n有界有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數正

2、項級數 .單調遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院定理定理2 (比較審斂法比較審斂法) 設設,1nnu1nnv且且(1) 若級數1nnv則級數1nnu(2) 若級數1nnu則級數1nnv證證:的部分和收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .), 2 , 1(nvunn是兩個是兩個正項級數正項級數, （1）設級數 收斂于，則級數,1nnu1nnv即部分和數列Sn有界，由定理1知級數nnuuuS21nvvv21收斂.,1nnu高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院因為若級數由上面

3、已經證明的結論，將有級數必發(fā)散.（2）設級數 發(fā)散，則級數,1nnu1nnv收斂.1nnv也收斂，與假設矛盾.,1nnu), 2 , 1(nvunn高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院推論：推論：設設和1nnu成立，那么級數成立，那么級數)0( kkvunn都是都是正項級數正項級數, 收斂，且存在正整數收斂，且存在正整數N，使當，使當1nnv1nnv收斂；1nnu成立，那么級數成立，那么級數)0( kkvunn（2）如果級數）如果級數發(fā)散，且當發(fā)散，且當nN時有時有1nnv.1發(fā)散nnu（1）如果級數）如果級數nN時有時有級數的每一項同乘不級數的每一項同

4、乘不為零的常數為零的常數k不影響不影響級數的收斂性級數的收斂性.高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院例例1. 討論討論 p 級數級數pppn131211(常數常數 p 0)的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若, 1p這時級數的各項不小于調和級數的而調和級數11nn由比較審斂法可知 p 級數11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1對應項：高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院, 1p因為當nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮級數1121) 1(1ppnnn的部分和

5、n111) 1(11ppnkkkn故級數收斂 , 由比較審斂法知 p 級數收斂 .時,1) 1(11pn12) 若11111) 1(113121211pppppnn高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院調和級數與調和級數與 p 級數是兩個常用的比較級數級數是兩個常用的比較級數.對一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院證明級數證明級數1) 1(1nnn發(fā)散發(fā)散 . 證證: 因為n(n+1)(n+1)2，所以2) 1(1) 1(1nn

6、n),2, 1(11nn而級數111nn21kk是發(fā)散的.根據比較審斂法可知, 所給級數發(fā)散 .例例2.2.高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據極限定義, 0對,NN存在lnnvu)(l設兩正項級數滿足(1) 當 0 l 時,時當Nn 高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院

7、nnnvluvl)()(, l取由定理 2推論與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當l = 時,NN存在,時當Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當0 l 時,(2) 當l = 0時,由定理2 推論1nnv收斂 , 若.1也發(fā)散則nnu高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院2) 特別取,1pnnv 可得如下結論 :對正項級數,nu,1pl0lunnlimpn,1pl0發(fā)散nu收斂nu注注: 1) un , vn均為無窮小時, l 的值反映了它們不同階的

8、比較.,nunv是兩個正項級數正項級數, (1) 當 時,l0兩個級數同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 且 收斂時,0lnv(3) 當 且 發(fā)散時, lnv也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu,limlvunnn高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院nnn1lim例例3. 判別級數判別級數11sinnn的斂散性 . 解解: nlim sin1nn11根據比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nnnn1sin定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數同時收斂或發(fā)散 ;設兩正項級數滿足(1) 當 0 l 時

9、,高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院的斂散性的斂散性. 例例4. 判別級數判別級數1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nn)1ln(21n21n2n211lnn,limlvunnn兩個級數同時收斂或發(fā)散 .當 0 l 時,高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院知由nnnuu1lim定理定理4 . 比值審斂法比值審斂法 ( Dalembert 判別法判別法)設設 nu為正項級數為正項級數, 且且,lim1nnnuu則則(1) 當當1(2) 當1證證: (1),

10、1時當11nnuunnuu)(112)(nu1)(NnNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時時, 級數收斂級數收斂 ;或時時, 級數發(fā)散級數發(fā)散;,NN存在,時當Nn k)(由比較審斂法可知高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院,1時或, 0,NNuN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以級數發(fā)散.Nn 當時(2) 當nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: 當時時, ,級數可能收斂也可能發(fā)散級數可能收斂也可能發(fā)散. .例如例如, , p 級數:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但, 1p級數收斂 ;, 1p級數發(fā)

11、散 .從而高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院 limn例例5. 討論級數討論級數)0(11xxnnn的斂散性的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據定理4可知:,10時當 x級數收斂 ;,1時當 x級數發(fā)散 ;.1發(fā)散級數nn,1時當 x高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院例例6. 證明級數證明級數)!1收斂收斂.證明證明: : !)!1(limlim1nnuunnnn01limnn由定理4可知該級數收斂 .令,nnSSr則所求誤差為)!2(1)!1(1!1n

12、nnrn)2)(1(1111 ()!(1nnnn)111 (!12nnn)!1)(1(1111!1nnnn并估計以部分和并估計以部分和 Sn 近似代替和近似代替和 S 時所產生的誤差時所產生的誤差 . 高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院例例7. 判斷級數判斷級數nn10!10321102110132的收斂性的收斂性.解解: : !1010)!1(limlim11nnuunnnnnn由定理4比值審斂法可知該級數發(fā)散 .101limnn高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院發(fā)散，由調和級數11nn定理定理6 . 極限審

13、斂法極限審斂法 設設 nu為正項級數為正項級數, ,0limlnunn(1) 當當(2) 如果如果1p證證: (1)在極限形式的比較審斂法中，,1nvn取那么級數發(fā)散那么級數發(fā)散 ;而而那么級數收斂那么級數收斂.,limnnnu或或知結論成立;,0 ,limllunnpn,limlvunnn兩個級數同時收斂或發(fā)散 .當 0 l 時,高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院收斂，級數時，當1p11nnpp(2) 如果1p證證: (2)在極限形式的比較審斂法中，,1pnnv 取而那么級數收斂.知結論成立.,0 ,limllunnpn,limlvunnn兩個級數同

14、時收斂或發(fā)散 .當 0 l 1知，不趨向于0,nun從而，不趨向于0,nun因此級數1nnu發(fā)散.高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院例例9. 證明下列級數絕對收斂證明下列級數絕對收斂 :.e) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnnnn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院(2) 令,e2nnnu nnnuu1lim limn12e) 1(nnnne221e1limnnn1e1因此12e) 1(nnnn

15、12e) 1(nnnn收斂,絕對收斂.12e) 1()2(nnnn高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院內容小結內容小結2. 判別正項級數斂散性的方法與步驟必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1有極限部分和數列收斂. 1nnSu高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院3. 任意項級數審斂法為收斂級數1nnu設Leibniz判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數nnnu1) 1(收斂概念:,1收斂若n

16、nu1nnu稱絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂1nnu稱高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院 作業(yè)作業(yè) P271 1 (3), (5) ; 2 (2), (4) ; 4 (3), (5), (6) ; 5 (2), (5)高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院思考與練習思考與練習設正項級數1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .高等數學高等數學浙江師范大學數理與信息工程學院浙江師范大學數理與信息工程學院備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散 , 故原級數發(fā)散 .11npnp:級數不是 p級數(2)nlimnnn1lim