第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、30/4/200906/ec/C180/黃山學(xué)院信息工程學(xué)院黃山學(xué)院信息工程學(xué)院自動(dòng)控制自動(dòng)控制第五章 頻率分析法第五章 頻率分析法 在工程實(shí)際中，人們常運(yùn)用頻率特性法來分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的性能。 頻率特性法是一種圖解分析法，主要是通過系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的圖形來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，因而可避免繁瑣復(fù)雜的運(yùn)算。來分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的性能。第一節(jié) 頻率特性 頻率分析法的數(shù)學(xué)模型是頻率特性。通過對(duì)系統(tǒng)頻率特性的分析來分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的性能。一、頻率特性的定義二、頻率特性的幾何表示法第五章 頻率分析法G(S)R(s)C(s) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖: 一 頻率特

2、性的定義設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 第一節(jié) 頻率特性特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反變換得變換得: c(t)=A1 e-j tej t+A2 ni=1esit+Bi 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系數(shù)求待定系數(shù): A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理:

3、-jG(j )G(-j )=|G(j )|e根據(jù)根據(jù) -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系統(tǒng)正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與系統(tǒng)正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，輸出與輸入的幅輸入同頻率的正弦信號(hào)，輸出與輸入的幅值之比為值之比為| |G(jG(j)|,)|,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入間的相位差為相位差為G(jG(j) )。 系統(tǒng)輸入輸出曲線系統(tǒng)輸入輸出曲線 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t

4、)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定義頻率特性為定義頻率特性為: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅頻特性：幅頻特性： )=|G(j )|A( 相頻特性：相頻特性： G(j ) ( )= 頻率頻率特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的特性表征了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。關(guān)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。第一節(jié) 頻率特性例 求圖所示RC電路的頻率特性，并求該 電路正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)。解解: 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 G(s)=Ts+11T=RC頻率特性頻率特性 電路的穩(wěn)態(tài)輸出電路的穩(wěn)態(tài)輸出: +-ucur+

5、-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一節(jié) 頻率特性0-80-60-40-200()12345TTTTTRC電路的頻率特性曲線 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT 頻率特性可表示為：頻率特性可表示為：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ( )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一節(jié) 頻率特性0ReIm=0

6、二 頻率特性的幾何表示法 頻域分析法是一種圖解分析法，常見的頻率特性曲線有以下兩種。 1幅相頻率特性曲線 幅相頻率特性曲線又幅相頻率特性曲線又稱奈魁斯特曲線稱奈魁斯特曲線 幅相頻率特性曲線 也稱極坐標(biāo)圖也稱極坐標(biāo)圖第一節(jié) 頻率特性-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12對(duì)數(shù)頻率特性曲線 對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖. 對(duì)數(shù)幅頻特性十倍頻程十倍頻程縱坐標(biāo)表示為：橫坐標(biāo)表示為： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 為方便只表示L( )=20lgA()單位為單位為 dB 斜率斜率

7、 對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性) ( 第一節(jié) 頻率特性第五章 頻率分析法第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)頻率特性 頻率特性法是一種圖解分析法，它是通頻率特性法是一種圖解分析法，它是通過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能過系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的性能,因而可因而可避免繁雜的求解運(yùn)算。與其他方法比較避免繁雜的求解運(yùn)算。與其他方法比較,它具它具有一些明顯的優(yōu)點(diǎn)有一些明顯的優(yōu)點(diǎn).一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)及其頻率特性1典型環(huán)節(jié)（1 1）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)）最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)(0)KK 1/(1)(0)TsT 1 1）比例環(huán)節(jié)）比例

8、環(huán)節(jié)2 2）慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)3 3）一階微分環(huán)節(jié)）一階微分環(huán)節(jié)4 4）振蕩環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié)5 5）二階微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)6 6）積分環(huán)節(jié)）積分環(huán)節(jié)7 7）微分環(huán)節(jié)）微分環(huán)節(jié)1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 1/ss第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性（2 2）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)）非最小相位系統(tǒng)環(huán)節(jié)(0)KK 1/ (1)(0)TsT 1 1）比例環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)2 2）慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)3 3）一階微分環(huán)節(jié)）一階微分環(huán)節(jié)4 4）振蕩環(huán)節(jié)）振蕩環(huán)節(jié)5 5）二階微分環(huán)節(jié)）二階微分環(huán)節(jié)1 (0)TsT 221/( /2/1)(0,01)

9、nnnss 22/2/1(0,01)nnnss 除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點(diǎn)的位對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點(diǎn)的位置。置。 由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)皆為由于開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，實(shí)數(shù)，可以將其分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式， 即即 NiisGsHsG1)()()(第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為)()()(ijiieAjG則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為則系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 )(11 )()()(N

10、iijNiieAjHjG系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為NiiNiiLAAL11)()(lg20)(lg20)(結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表現(xiàn)為組成開環(huán)系統(tǒng)的諸典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特典型環(huán)節(jié)頻率特性的合成；而系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的疊加這一性，則表現(xiàn)為諸典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的疊加這一更為簡(jiǎn)單的形式。更為簡(jiǎn)單的形式。2. 典型環(huán)節(jié)的頻率特性1)比例環(huán)節(jié)0KReIm (1) 奈氏圖 G(s)=K第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德圖 對(duì)數(shù)幅頻特

11、性：對(duì)數(shù)幅頻特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )對(duì)數(shù)相頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2)積分環(huán)節(jié) (1) 奈氏圖奈氏圖 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德圖伯德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性： =-20lgL( )=20lgA() 對(duì)數(shù)相頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：10.1100-9010.110-20dB/dec-90o ( )=1L( )=-20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系

12、統(tǒng)的頻率特性 3)微分環(huán)節(jié) (1) 奈氏圖奈氏圖 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德圖伯德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性： L( )=20lgA() =20lg 對(duì)數(shù)相頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性4)慣性環(huán)節(jié)G(s)=1Ts+11T+1j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏圖奈氏圖 根據(jù)根據(jù)幅頻特性和相頻特性幅頻

13、特性和相頻特性求出特殊求出特殊點(diǎn)，然后將它們平滑連接起來。點(diǎn)，然后將它們平滑連接起來。取特殊點(diǎn)：取特殊點(diǎn)： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=繪制奈氏圖近似方法繪制奈氏圖近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以證明：可以證明： 慣性環(huán)節(jié)的奈氏慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是以圖是以(1/2,jo)(1/2,jo)為圓為圓心，以心，以1/21/2為半徑的半為半徑的半圓。圓。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性： 轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率-20dB/decT110TdB L( )T)211+(

14、 )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T頻段，可頻段，可用用-20dB/dec漸近漸近線近似代替線近似代替兩漸近線相交點(diǎn)的為兩漸近線相交點(diǎn)的為轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率=1/T。 漸近線漸近線漸近線漸近線漸近線產(chǎn)生的漸近線產(chǎn)生的最最 大誤差值為：大誤差值為：21L=20lg =-3.03dB 精確曲線為精確曲線為精確曲線精確曲線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =00o ( )=1=T-90o ( )=-45o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 5)一階微分環(huán)節(jié)G(s)=1

15、+Ts(1) 奈氏圖奈氏圖 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣性環(huán)節(jié)成反比 , 所以它們的伯德圖對(duì)稱于橫軸。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性： T)21+( )=20lg L(漸近線漸近線相頻特性曲線：相頻特性曲線：T tg-1 ( )= 450 90=00o ( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 6)振蕩環(huán)節(jié)

16、 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏圖奈氏圖1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 將特殊點(diǎn)平滑連接起來，可得近似幅相頻率特性曲線。=0.4 幅相頻率特性曲線因值的不同而異。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 伯德圖伯德圖 對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L

17、(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精確曲線與漸近線精確曲線與漸近線之間存在的誤差與之間存在的誤差與值有關(guān)，值有關(guān)，較小，幅值出現(xiàn)了峰值。較小，幅值出現(xiàn)了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n諧振頻率諧振頻率諧振峰值諧振峰值精確曲線精確曲線=0.1=0.3=0.5相頻特性曲線：相頻特性曲線：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o ( )=-90o ( )= n=-180o ( )=不同，相頻特性曲線不同，相頻特性曲線的形狀有所不同：的形狀有所不同

18、：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性因?yàn)閷?shí)際對(duì)數(shù)幅頻曲線與阻尼比有關(guān)，誤差曲線因?yàn)閷?shí)際對(duì)數(shù)幅頻曲線與阻尼比有關(guān)，誤差曲線(,)L 為一曲線簇，如下圖，據(jù)此修正漸進(jìn)曲線而獲得準(zhǔn)確曲線。為一曲線簇，如下圖，據(jù)此修正漸進(jìn)曲線而獲得準(zhǔn)確曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性注意：注意：在實(shí)際分析對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線時(shí)，常在實(shí)際分析對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線時(shí)，常用的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的直線方程為：用的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的直線方程為：2121()()lglgaaLLk其中其中11,()aL22,()aL(/)k dB dec和和為直線上的兩點(diǎn)

19、，為直線上的兩點(diǎn)，為直線斜率。為直線斜率。7)時(shí)滯環(huán)節(jié)奈氏圖是一奈氏圖是一 單位圓單位圓(1) 奈氏圖奈氏圖1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德圖伯德圖L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 8非最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié)最小相位環(huán)節(jié): 最小相位環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)非最小相位環(huán)節(jié)來說，不存在這種關(guān)系。 開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有s右半平面上右半平面上

20、的極點(diǎn)和零點(diǎn)。的極點(diǎn)和零點(diǎn)。 開環(huán)傳遞函數(shù)中含有開環(huán)傳遞函數(shù)中含有s右半平面上右半平面上的極點(diǎn)或零點(diǎn)的極點(diǎn)或零點(diǎn)。非最小相位環(huán)節(jié)非最小相位環(huán)節(jié):第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 斜率斜率dB/dec 特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率1 =轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折頻率頻率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例積分積分重積分重積分慣性慣性比例微分比例微分振蕩振蕩常用典型環(huán)節(jié)伯德圖特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22n1+

21、 s第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性二、控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 頻率特性法的最大特點(diǎn)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能 , 這樣可以簡(jiǎn)化分析過程。所以繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線就顯得尤為重要。下面介紹開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線和對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般是由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的：節(jié)串聯(lián)而成的： 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)的階次系統(tǒng)的階次開環(huán)增益開環(huán)增益nm幅頻特性幅頻特性: 相頻特性相頻特性: 近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖近似繪制系統(tǒng)的奈氏圖: :先把特殊點(diǎn)找先把

22、特殊點(diǎn)找出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。出來，然后用平滑曲線將它們連接起來。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 繪制繪制概略開環(huán)幅相曲線概略開環(huán)幅相曲線的方法。反映開環(huán)頻率的方法。反映開環(huán)頻率特性的三個(gè)重要因素：特性的三個(gè)重要因素：（1 1）確定開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)）確定開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn) 0和終點(diǎn)和終點(diǎn)（2 2）確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)）確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)

23、軸的交點(diǎn)(,0)xIm()()0 xxG jHj()()();0. 1, 2,xxxG jH jkk 或或x為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實(shí)軸交點(diǎn)為為穿越頻率，開環(huán)幅相曲線曲線與實(shí)軸交點(diǎn)為Re()()()()xxxxG jH jG jH j（3 3）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。）開環(huán)幅相曲線的變化范圍（象限和單調(diào)性）。 (1) 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)= 0特殊點(diǎn)特殊點(diǎn): 系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A( 0o

24、( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(2) 型系統(tǒng)型系統(tǒng)=1系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: =1特殊點(diǎn)特殊點(diǎn): =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性(3) II型系統(tǒng)型系統(tǒng)=2n-m=2n-m=1n-m=3系統(tǒng)起點(diǎn)和終點(diǎn)系統(tǒng)起點(diǎn)

25、和終點(diǎn)=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅頻和相頻特性幅頻和相頻特性: ReIm0=0=2特殊點(diǎn)特殊點(diǎn): )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 開環(huán)系統(tǒng)奈氏曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的綜合情況如圖:=1=0=3=2奈氏曲線的起點(diǎn)奈氏曲線的起點(diǎn) 奈氏曲線的終點(diǎn)奈氏曲線的終點(diǎn)n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例1 試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖 系統(tǒng)的奈氏圖系統(tǒng)的奈

26、氏圖解：解：n-m=2I型系統(tǒng)型系統(tǒng)G(s)=Ks(Ts+1)特殊點(diǎn)特殊點(diǎn): =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系 統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o ( )

27、=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T 0o ( )=K=0K T =第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般由典型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成：環(huán)節(jié)串聯(lián)而成： 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性： G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)Gn(s)=Gi(s)ni=1對(duì)數(shù)幅頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性： 對(duì)數(shù)相頻特性：對(duì)數(shù)相頻特性： n)=Gi(ji=1G(j )=Ai(ni=1)e ji()=20lgAi(ni=1L( )=20lgAi(ni=1)=Li(ni=1 )= ( i(ni=1 ) 將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線相加，即

28、為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的一般步驟：1) 將開環(huán)傳遞函數(shù)化成典型環(huán)節(jié)的乘積。3) 將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻、相頻曲線相加。2）畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相 頻特性曲線；第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例 已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的已知開環(huán)傳遞函數(shù)，試畫出系統(tǒng)的 開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解：解： G(s)=(s+10)s(2s+1)G(s)=10(0.1s+1)s(2s+1)畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線數(shù)頻率特性曲線 G1(s)=10-20dBdec3142L1L3L2L41100.5-2

29、0020400-180 -9090-40dB/decG2(s)=1sG3(s)=0.1s+1G4(s)=2s+11 各環(huán)節(jié)曲線相加，各環(huán)節(jié)曲線相加，即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)即為開環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。頻率特性曲線。dB L( )-20dB/dec) ( 可知：可知： 低頻段幅頻特低頻段幅頻特性可近似表示為：性可近似表示為：)A( K)=20lgK-20lgL( 低頻段曲線的斜率低頻段曲線的斜率-20 dB/dec低頻段曲線的高度低頻段曲線的高度L(1)=20lgK第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的低頻段和各轉(zhuǎn)折頻率即可確定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線。實(shí)際的作圖過程可簡(jiǎn)化為：實(shí)際

30、的作圖過程可簡(jiǎn)化為：1) 將開環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化；2) 在坐標(biāo)中標(biāo)出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；3) 過=1 ，L()=20lgK 這點(diǎn)，作斜 率為-20dB/dec 的低頻漸近線；4) 每到某一環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處， 根據(jù)該環(huán)節(jié)的特性改變一次漸近線的斜率。5) 畫出對(duì)數(shù)相頻特性的近似曲線。第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 例例 試畫出系統(tǒng)的試畫出系統(tǒng)的伯德圖伯德圖 解：解： G(s)=100(s+2)s(s+1)(s+20)G(s)=10(0.5s+1)s(s+1)(0.05s+1)將式子標(biāo)準(zhǔn)化將式子標(biāo)準(zhǔn)化 各轉(zhuǎn)折頻率為：各轉(zhuǎn)折頻率為： 1-20dB/dec202-40dB/dec-20dB/dec0-18

31、0 -90-40dB/dec-2002040低頻段曲線：低頻段曲線：20lgK=20lg10=20dB相頻特性曲線：相頻特性曲線：=0=dB L( ) ( 1=12=2 3=20-90o ( )=-180o ( )=第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定三、傳遞函數(shù)的頻域?qū)嶒?yàn)確定 頻率特性具有明確的物理意義，可用實(shí)驗(yàn)的方法來確定它.這對(duì)于難以列寫其微分方程的元件或系統(tǒng)來說,具有很重要的實(shí)際意義。1 1、用實(shí)驗(yàn)法確定系統(tǒng)的伯德圖、用實(shí)驗(yàn)法確定系統(tǒng)的伯德圖2 2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1、用實(shí)驗(yàn)法確定系統(tǒng)的伯德圖 給系統(tǒng)加

32、不同頻率的給系統(tǒng)加不同頻率的正弦信號(hào)，測(cè)量出系正弦信號(hào)，測(cè)量出系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。相頻特性曲線。2. 用標(biāo)準(zhǔn)斜率的直線用標(biāo)準(zhǔn)斜率的直線近似被測(cè)對(duì)數(shù)幅頻特近似被測(cè)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，得曲線的漸性曲線，得曲線的漸近線。近線。-20020400-180 -90-270 dB L( ) ( 2-20dB/dec10-40dB/dec-60dB/dec第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性2、根據(jù)伯德圖確定傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為： 根據(jù)伯得圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增根據(jù)伯得圖確定傳遞函數(shù)主要是確定增益益 K ，轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)等參數(shù)

33、則轉(zhuǎn)折頻率及相應(yīng)的時(shí)間常數(shù)等參數(shù)則可從圖上直接確定。可從圖上直接確定。mG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性1. =0低頻漸近線為低頻漸近線為系統(tǒng)的伯德圖：系統(tǒng)的伯德圖：20lgK-40dB/dec0-20dB/dec=20lgK=K=1020即即dB L( )cL( )=20lgA( )A( )=K12第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性0dB L( )1-20dB/dec-40dB/dec低頻段的曲線與橫軸低頻段的曲線與橫軸相交點(diǎn)相交點(diǎn)的頻率為的頻率為: 2. =120lgK=1系統(tǒng)的伯德圖系統(tǒng)的伯德圖：因?yàn)橐驗(yàn)楣使?cL( )=20lgK

34、0lg20lgK=200-lg120lgK=20lg 0K=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性 -20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec13. =2系統(tǒng)的伯德圖：系統(tǒng)的伯德圖：=120lgK低頻段的曲線與橫低頻段的曲線與橫軸相交點(diǎn)軸相交點(diǎn)的頻率為的頻率為:因?yàn)橐驗(yàn)楣使蔰B L( )01c2L( )=20lgK0lg20lgK=400-lg120lgK=40lg 02K=0第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性r =1-2 2 n例例 由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作出系統(tǒng)的伯德圖如圖 所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。0.5-20dB/dec-40dB/de

35、c-60dB/dec24020-2003dB0-180 -90-270 解解: 由圖可得：由圖可得：20lgMr=3dBMr=1.41得：得：根據(jù)根據(jù)00.707得得dB L( ) ( =11- 2 2 01=0.922=0.38=0.38由頻率曲線得由頻率曲線得s210G(s)=(0.25s2+0.38s+1)(2s+1)=3.162=1002K=2n2T =0.381)2 T2=(=0.25n第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性例 已知采用積分控制液位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和對(duì) 數(shù)頻率特性曲線,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。K1sTs+1-hr(t)h(t)解解:將測(cè)得的對(duì)數(shù)曲線近似成漸近線:1-20dB/dec4

36、-40dB/dec(s)=1(s+1)(0.25s+1)=10.25s2+1.25s+1-2000-180 -90dB L( ) ( 第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與系統(tǒng)的頻率特性第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 19321932年，乃奎斯特年，乃奎斯特(Nyquist)(Nyquist)提出了另一種判提出了另一種判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，稱為乃奎斯特穩(wěn)定判乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)據(jù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱乃氏判據(jù)乃氏判據(jù)。這個(gè)判據(jù)的主要特點(diǎn)是利用。這個(gè)判據(jù)的主要特點(diǎn)是利用開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃開環(huán)頻率特性判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，乃氏穩(wěn)定判據(jù)還能夠指出穩(wěn)定的

37、程度，揭示改善系氏穩(wěn)定判據(jù)還能夠指出穩(wěn)定的程度，揭示改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據(jù)在頻率域統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。因此，乃氏穩(wěn)定判據(jù)在頻率域控制理論中有著重要的地位?？刂评碚撝杏兄匾牡匚?。 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)一、一、 奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1 1、輻角原理、輻角原理 設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為 )()()()()(2121nmpspspszszszsKsF式中，式中，s s+j+j為復(fù)變量，為復(fù)變量，F(xiàn) F( (s s) )為復(fù)變函數(shù)為復(fù)變函數(shù), , 記記F F( (s s)=)=U U+j+jV V。 如果在如果在s s平面畫一條封閉曲線平面畫一條封閉曲線, ,

38、 并使其不通過并使其不通過F F( (s s) )的任一的任一零、極點(diǎn)零、極點(diǎn), , 則在則在F F( (s s) )平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線, , 如圖如圖所示。所示。js1s2s30s平 面F(s)平 面jVF1(s)F2(s)F3(s)0U圖：圖：s s平面與平面與F F( (s s) )平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 若在若在s s平面上的封閉曲線是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的平面上的封閉曲線是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的, , 則則在在F F( (s s) )平面上的映射曲線的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的平面上的映射曲線的運(yùn)動(dòng)方向可

39、能是順時(shí)針的, , 也也可能是逆時(shí)針的可能是逆時(shí)針的, , 這取決于這取決于F F( (s s) )函數(shù)的特性。函數(shù)的特性。 我們感興趣的不是映射曲線的形狀我們感興趣的不是映射曲線的形狀, , 而是它包圍坐標(biāo)而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向, , 因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。相關(guān)。 根據(jù)式根據(jù)式(1)(1)，復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)F F( (s s) )的相角可表示為的相角可表示為 njjmiipszssF11)()()(第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)js平面q2p2j1z1q1p10j2z2sjVF(s)0UF(s)平面圖：封閉曲線包圍圖：封閉曲線

40、包圍z z1 1時(shí)的映射情況時(shí)的映射情況 同理：若同理：若s s平面上的封閉曲線包圍了平面上的封閉曲線包圍了F F( (s s) )的的P P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn), , 則當(dāng)則當(dāng)s s沿著沿著s s平面上的封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)平面上的封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí), , 在在F F( (s s) )平面平面上的映射曲線將按逆時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)上的映射曲線將按逆時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P P周。周。幅角原理幅角原理 設(shè)設(shè)s s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F F( (s s) )的的P P個(gè)極點(diǎn)和個(gè)極點(diǎn)和Z Z個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), , 并且此曲線不經(jīng)過并且此曲線不經(jīng)過F F( (

41、s s) )的任一的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn), , 則當(dāng)復(fù)變量則當(dāng)復(fù)變量s s 沿封閉曲線順時(shí)針方向沿封閉曲線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)移動(dòng)一周時(shí), , 在在F(sF(s) )平面上的映射曲線按逆時(shí)針方平面上的映射曲線按逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)( (P-Z P-Z ) )周。周。第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)2 2、復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)F(s)F(s)的選擇的選擇設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 1212()()()( )( )( )()()()KmnK szszszGsG s H sspspspmn 則系統(tǒng)的特征方程為則系統(tǒng)的特征方程為 121212121212

42、12()()()1( )( )( )1()()()()()()()()()()()()()()()()()()mnnmnnnK szszszG s H sF sspspspspspspK szszszspspspssssssspspsp 11()( )( )( )( )()niiniiszA sB sF sA ssp結(jié)論結(jié)論：*（1 1）輔助函數(shù)的零點(diǎn)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）輔助函數(shù)的零點(diǎn)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 輔助函數(shù)的極點(diǎn)是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)輔助函數(shù)的極點(diǎn)是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) （2 2）輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同）輔助函數(shù)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同 （3 3）F(s)F(s)與與G(s)H(s)G(s

43、)H(s)在復(fù)平面上的幾何關(guān)系在復(fù)平面上的幾何關(guān)系1ImjRe)0()0(1jHjG)0()0(jHjG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性, , 需要檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于是否有位于s平平面右半部的零點(diǎn)。為此可以選面右半部的零點(diǎn)。為此可以選擇一條包圍整個(gè)擇一條包圍整個(gè)s平面右半部平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的封閉曲的按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的封閉曲線線, , 通常稱為通常稱為奈奎斯特回線奈奎斯特回線, , 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱奈奈氏回線氏回線, , 如圖如圖所示。所示。 3 3、s s平面閉合曲線的選擇平面閉合曲線的選擇 圖 奈氏回線 js j j0C1RC2s平面第

44、三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 可取下圖所示的兩種形式可取下圖所示的兩種形式圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn)無虛軸上的極點(diǎn) 圖：圖：G(s)H(s)G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn)無虛軸上的極點(diǎn) 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)4 4、G(s)H(s)G(s)H(s)閉合曲線的繪制閉合曲線的繪制第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)5)5)、閉合曲線、閉合曲線 包圍原點(diǎn)圈數(shù)包圍原點(diǎn)圈數(shù)R R的計(jì)算的計(jì)算F根據(jù)半閉合曲線根據(jù)半閉合曲線可獲得可獲得包圍原點(diǎn)的圈數(shù)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R R。設(shè)。設(shè)N N為為GHFGH穿越穿越( 1, 0)j點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N表示正穿表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越

45、），越的次數(shù)和（從上向下穿越），N表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從表示負(fù)穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則下向上穿越），則22()RNNN第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)（圖（圖a a）1,0,22NNRN （圖（圖b b）0,0NNR（圖（圖c c）（圖（圖d d）（圖（圖e）1,0NNR11,12NNR 3,0,32NNR二、二、 奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 如果在如果在s s平面上平面上, , s s沿著奈氏回線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)沿著奈氏回線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí), , 在在F F( (s s) )平面上的映射曲線平面上的映射曲線F F圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)圈數(shù)圈

46、數(shù)R=R=P-ZP-Z=0=0周（周（P P為開環(huán)傳函位于為開環(huán)傳函位于s s平面右半部極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，平面右半部極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Z Z為閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)）時(shí)為閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)）時(shí), , 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：G G( (s s) )H H( (s s)=)=F F( (s s)-1)-1F F( (s s) )的映射曲線的映射曲線F F圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況, , 相當(dāng)于系統(tǒng)開環(huán)相當(dāng)于系統(tǒng)開環(huán)傳函傳函G G( (s s) )H H( (s s) )的封閉曲線的封閉曲線GHGH圍繞著圍繞著( (1, j0)1, j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況況

47、, ,結(jié)論結(jié)論：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=P-R=0Z=P-R=0，即，即R=PR=P。即：即：GHGH逆時(shí)針包圍（逆時(shí)針包圍（-1,j0-1,j0）點(diǎn)的圈數(shù)）點(diǎn)的圈數(shù)= =右半右半s s平面開平面開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。環(huán)極點(diǎn)數(shù)。第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)例例5 58 8 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍。值的范圍。 解解: : 如圖所示，開環(huán)幅相如圖所示，開環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)處穿越頻率分別為交點(diǎn)處穿越頻率分別為 ， (10,0,1)KP123

48、, 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳函系統(tǒng)開環(huán)傳函1( )( )KG sG ss由題設(shè)條件由題設(shè)條件101,lim( )1sG s知，和知，和1()();1,2,3iiiKG jGjij當(dāng)取當(dāng)取10K 時(shí)時(shí)123()2,()1.5,()0.5G jG jG j 若令若令()1iG j ，可得對(duì)應(yīng)的，可得對(duì)應(yīng)的K K值值1231111205,20123()10iKKKGjj對(duì)應(yīng)地，分別取對(duì)應(yīng)地，分別取 和和時(shí)，開環(huán)幅相曲線分別如圖所示，圖中按時(shí)，開環(huán)幅相曲線分別如圖所示，圖中按 補(bǔ)作虛圓補(bǔ)作虛圓弧得半閉合曲線弧得半閉合曲線 。 0 3KKG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)曲線根據(jù)曲線 計(jì)算包圍次數(shù)，并

49、判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性：計(jì)算包圍次數(shù)，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定； 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 綜上可得綜上可得, ,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)的系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍為值范圍為 和和 。當(dāng)當(dāng)K等于等于 和和20時(shí)，時(shí)， 穿過臨界點(diǎn)穿過臨界點(diǎn) ，且在這，且在這三個(gè)值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨三個(gè)值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。界穩(wěn)定。 G0,0,0,KK RZ,2,2,KRZ 23,1,0,0KKKNNRz3,1,2,2,2KKNNRz (0,5)20/3,205,20/3(

50、 1, 0)jG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)三、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)三、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可以推廣運(yùn)用奈氏判據(jù)，其關(guān)鍵問題是需要根據(jù)半對(duì)數(shù)可以推廣運(yùn)用奈氏判據(jù)，其關(guān)鍵問題是需要根據(jù)半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的坐標(biāo)下的GH曲線確定穿越次數(shù)曲線確定穿越次數(shù)NNN或或和和開環(huán)幅相曲線和開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時(shí)開環(huán)幅相曲線和開環(huán)系統(tǒng)存在積分環(huán)節(jié)和等幅振蕩環(huán)節(jié)時(shí)所補(bǔ)作的半徑為無窮大的虛圓弧。所補(bǔ)作的半徑為無窮大的虛圓弧。N的確定取決于的確定取決于( )1A穿越負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：穿越負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，建立如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：時(shí)時(shí)GH（1 1）穿越點(diǎn)確定）穿越點(diǎn)確定設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)c()()()1()2

51、0lg()0cccccAG jH jLA為截止頻率為截止頻率。 稱稱c第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸和開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性，當(dāng)取頻率為對(duì)于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸和開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性，當(dāng)取頻率為穿越頻率穿越頻率x時(shí)時(shí)()(21) ;0, 1,xkk 第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)對(duì)應(yīng)地，需從對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)應(yīng)地，需從對(duì)數(shù)相頻特性曲線()n 點(diǎn)起向上補(bǔ)作點(diǎn)起向上補(bǔ)作1180的虛直線至的虛直線至()n 處，處，( ) 曲線和補(bǔ)作的虛直線曲線和補(bǔ)作的虛直線構(gòu)成構(gòu)成（3 3）穿越次數(shù)計(jì)算）穿越次數(shù)計(jì)算正穿越正穿越負(fù)穿越負(fù)穿越半次正穿越半次正穿越半次負(fù)穿越半次負(fù)穿越第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定

52、判據(jù) 設(shè)設(shè)P P為開環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部的極點(diǎn)數(shù)，為開環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部的極點(diǎn)數(shù)，反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是()(21) ;0,1,2,ckk 和和 時(shí)，時(shí)， 曲線穿越曲線穿越 線的次數(shù)線的次數(shù)( )0L(21)kNNN 滿足滿足20ZPN對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同，其區(qū)別僅在對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同，其區(qū)別僅在于前者在于前者在 的頻率范圍內(nèi)依的頻率范圍內(nèi)依 曲線確定穿曲線確定穿( )0L越次數(shù)越次數(shù)N N。第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。) 11 . 0 (10

53、)()(sssHsG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖。解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖。 由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。所以閉環(huán)穩(wěn)定所以閉環(huán)穩(wěn)定002NNNP第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。)1002(300)()(2ssssHsG第三節(jié) 頻率域穩(wěn)定判據(jù)解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖 在 處振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻值為n120lg20lg2 0.1 142dB閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)不穩(wěn)定。202( 1)2ZPN閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為第三節(jié) 頻率域

54、穩(wěn)定判據(jù)第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 第四節(jié)、穩(wěn)定裕度 衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。一、相角裕度一、相角裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上幅值為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上幅值為1 1時(shí)所對(duì)應(yīng)的角頻率稱時(shí)所對(duì)應(yīng)的角頻率稱幅值穿越頻率或截止頻率，記幅值穿越頻率或截止頻率，記為為c1)()()(cccjHjGA，即，即定義定義相位裕度相位裕度為為)()(1800ccjHjG相角裕度相角裕度 的含義是，的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后 度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。定狀態(tài)。第四節(jié) 穩(wěn)定裕度二、幅值裕度二、幅值裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上相位

55、等于系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上相位等于-180-1800 0時(shí)所對(duì)應(yīng)的角時(shí)所對(duì)應(yīng)的角頻率稱為相位穿越頻率，記為頻率稱為相位穿越頻率，記為x，即，即0()()180 xxG jHj 定義定義幅值裕度幅值裕度為為1()()xxhG jH j幅值裕度的含義是，幅值裕度的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大開環(huán)幅頻特性再增大h h倍則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。倍則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，幅值裕度按下式定義：對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，幅值裕度按下式定義： 20lg()() ()xxhG jH jdB 第四節(jié) 穩(wěn)定裕度第四節(jié) 穩(wěn)定裕度例例5 512 12 已知單位反饋系統(tǒng)已知

56、單位反饋系統(tǒng)設(shè)設(shè)K分別為分別為4和和10時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：解： 可得可得K=4時(shí)時(shí) 3( )(1)KG ss2232322(13)(3)()3(1)(1)KjKG jarctg3x13()0.5,21611.233,()152.9 ,27.1xccG jhG j 第四節(jié) 穩(wěn)定裕度K=10 時(shí)時(shí)分別作出分別作出K=4和和K=10 的開環(huán)幅相曲線即閉合曲線的開環(huán)幅相曲線即閉合曲線 ，如圖，如圖所示。所示。由奈氏判據(jù)知：由奈氏判據(jù)知： K=4 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定， ； K=10 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定， 。 ()1.25,0.81

57、.908,()187.0 ,7.0 xccG jhG j G1,0h1,0h第四節(jié) 穩(wěn)定裕度例例5 51414 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)開環(huán)增益試確定系統(tǒng)開環(huán)增益K5和和K20時(shí)的相位裕度和幅值裕度。時(shí)的相位裕度和幅值裕度。 解：解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，轉(zhuǎn)折頻率為由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，轉(zhuǎn)折頻率為 ， 。按分段區(qū)間描述方法，寫出對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的表達(dá)式為按分段區(qū)間描述方法，寫出對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的表達(dá)式為 1110210,1 . 0lg20101 ,lg201,lg20)(KKKL) 11 . 0)(1()(sssKsG第四節(jié) 穩(wěn)定裕度本例本例

58、的伯的伯德圖德圖如左。如左。-20dB/decdBL/)(09001800270)/()(00.11100.11100002040-20-40-60dB/dec-40dB/decK=4K=16121h2h第五節(jié) 頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系第五章 頻率特性法 常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個(gè)頻段。一 、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段低頻段高頻段高頻段中頻段中頻段0第五節(jié) 頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系dB L( )c12 三個(gè)頻段分別與系統(tǒng)性能有對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面具體討論。1低頻段低頻

59、段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成： G(s)=sK對(duì)數(shù)幅頻特性為：對(duì)數(shù)幅頻特性為：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA( )K=20lg=20lgK-v20lg 根據(jù)分析可得如根據(jù)分析可得如圖所示的結(jié)果：圖所示的結(jié)果： 可知：可知： 曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。dB L( )第五節(jié) 頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系 2. 中頻段 穿越穿越頻率頻率c附近的區(qū)段為中頻段。附近的區(qū)段為中頻段。它它反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。 (1) 穿越頻率穿越頻率c與動(dòng)態(tài)性能

60、的關(guān)系與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系 可近似認(rèn)為整個(gè)曲線是一條可近似認(rèn)為整個(gè)曲線是一條斜率為斜率為 -20dB/dec的直線。的直線。設(shè)系統(tǒng)如圖設(shè)系統(tǒng)如圖:-20dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞開環(huán)傳遞 函數(shù)：函數(shù)：G(s) sK閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ts3T穿越頻率穿越頻率c 反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L( )c第五節(jié) 頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系(2) 中頻段的斜率與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)如圖設(shè)系統(tǒng)如圖:-40dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞開環(huán)傳遞 函數(shù)：函數(shù)：G(s) s2K閉環(huán)傳遞閉環(huán)傳遞 函數(shù)為：函數(shù)為： 處