(完整word版)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)“任意、存在”型問題歸納,推薦文檔

1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)任意性和存在性問題探究導(dǎo)學(xué)語函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學(xué)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像切線、函數(shù)單調(diào)性、,若要更有效地徹底解決此類問題還必函數(shù)極值最值等問題的方法，僅可稱之為解決這類問題的“戰(zhàn)術(shù)”.常用戰(zhàn)略思想如下:須研究“戰(zhàn)略”，因為此類問題是函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目題型分類解析.單一函數(shù)單一 “任意”戰(zhàn)略思想一：“ xA, a()f(x)恒成立”等價于“當x A時，a)f(x)max”f(x)上限例1 :已知二次函數(shù)解：Q | f (x)| 1 , A, af(x)()f(x)恒成立”等價于“當x A時，a)f (x)min ”f(x)下限2 ax

2、x,若0,1時，恒有 | f (x)|求實數(shù)a的取值范圍.2 ax2 ax當x 0時，不等式顯然成立，aC R.當0 x 1時，由1 x ax21 x得:11、而(二 一)min 0 , a 0.xx1x1一) xmax112.，xx2, .a 2,14綜上得a的范圍是a 2,0.二.單一函數(shù)單一 “存在”型戰(zhàn)略思想二:)f(x)成立”等價于“當x A時，a()f(x)min”f(x)上限例2.已知函數(shù)f (x) aln x x2 ()f(x)成立”等價于“當x A時，a()f(x)max”af(x)下限a R),若存在x 1,e,使得 f(x)(a 2)x成立，求實數(shù)a的取值范圍.解析：f

3、(x) (a 2)x a(x In x) x2 2xx 1,e , ln x1 x且等號不能同時取，所以In x x,即 x In x0,2因而a-一絲x ln x1,e,人 x2 2xg(x) f1,e,又 g (x)(x 1)(x 22ln x)2，(x In x)當 x 1,e時，x0,ln x 1 , x2 2lnx 0,從而g (x) 0 (僅當x=1時取等號)，所以g(x)在1,e上為增函數(shù),故g(x)的最小值為g(1)1 ,所以a的取值范圍是1,).單一函數(shù)雙“任意”型戰(zhàn)略思想三：x R,都有f(xi)f(x)f(X2)f(Xi), f (X2)分別是f (X)的最小值和最大值，

4、| Xi X2I min是同時出現(xiàn)最大值和最小值的最短區(qū)間.f(x)f(X2)成立，則 |Xi X2 |X例3.已知函數(shù)f (x) 2sin( )若對 x R,都有f(x1) 25的最小值為解,對任意xC R,不等式f(x1)f (x)f(x2)恒成立, f(x), f(X2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)ysin x ,取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是即半個周期.又函數(shù)f(x)2sin(-)的周期為4, . | X1X2 |的最小值為2.戰(zhàn)略思想四:A x1 x2X1,X2 A, f (-2)2f(X1) f(X2)成立f (x)在A上是上凸函數(shù) f(x) 0X2 1時，使例

5、4.在y2、一 一 ，,2x, y log2 2x, y x , y cosx這四個函數(shù)中，當Xi“一A.0f(Xi) f(X2)2B.1恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()C.2D.3解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件f (六)f(X1)f (X2) _ ,r 一”的函數(shù)，應(yīng)是凸函 2數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知 y log2 2x符合題意;戰(zhàn)略思想五:x1, x2A,、)f(X2)0成立f(x)在A上是增函數(shù)XiX2例5已知函數(shù)f (X)定義域為1,1,f (1) 1 ,若 m, n1,1,m n 0時，都有f(m) f(n) 0,若 f(x) t2 2at1對所有x 1,1,1,1恒成立，求實數(shù)t

6、取值范圍.解：任取 1X1 X2 1 ,則 f (X1)f (X2)3fX1X1x2由已知上()一)(X1 x20 ,又 x1x20, f(X1) f(X2) 0,即f (x)在1,1上為增函數(shù).f(1) 1 , - x 1,1,恒有 f (x) 1 ；要使 f (x) t2 2at 1 對所有 x 1,1, a 1,1恒成立，22即要t 2at 1 1恒成立，故t 2at 0恒成立，令 g(a) 2at t2,只須 g( 1) 0且 g(1) 0,解得t 2或t 0或t 2.戰(zhàn)略思想六：x1,x2 A,|f(x1) f(x2)| t (t為常數(shù))成立 t=f(x)maxf(x)min431例

7、6.已知函數(shù)f(x) x 2x ,則對任意Lt ,2 (t1 t2)都有| f(t1)f(t2)| 恒2成立，當且僅當t1=, t2 =時取等號.解：因為 |f(X) f(x2)| |f(x)max f(x)mM 恒成立,由 f(x) x4 2x3,x 1,2,2易求得f(x)max f C|)烏，f(x)min f ()-)2162160至少有兩個實根1和1；. | f(x1) f(x2) 2.戰(zhàn)略思想七：x1，x2 A, |f(x1) f(x2)| 11 x1 x2 |3_Jlx| t |f(x)i t(t 0)例7.已知函數(shù)y f(x)滿足：(1)定義域為1,1； (2)方程f(x)(3

8、)過f(x)圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.(1)證明：|f(0)| 1;(2)證明：為:寸任意 x，x2 1,1,都有 | f (x1) f(x2)| 1 .證明略；(2)由條件(2)知( 1) f (1) 0,不妨設(shè)1x1x21,由(3)知 |f(x1)f(x2)|x1x2|x2x1,又 |f(x1) f(x2)| | f(x,)| | f(x2)| |f(x1) f( 1)| |f(x2) f(1)|x1 1 1 x2 2 (x2 X) 2 | f(x1) f(x2)|； . | f(x1) f(x2)| 1例 8.已知函數(shù)f(x) x3 axb，對于 x1,x2(0，x1x2

9、) 時總有 1f(x1)f(x2)|x1x21 成立，求實數(shù)a的范圍.32斛由 f(x) x ax b,得 f (x) 3x a,當 x (0)H, a f (x) 1 a, | f(xi) f(x2)|x x? |, 31f (xi) f(x2)|xi x2評注由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y f (x)圖像上任意兩點P(x1, y1),Q(x2, y2)連線的斜率ky1(x1 x2)的取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率(如果有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，可x2 x1以解決形如|f(x1) f(x2)| m|x1 x2|或|f(x1) f(x2)| m|x1 x2 |(m 0)型的不等式恒成立

10、問題四.雙函數(shù)“任意” + “存在”型:戰(zhàn)略思想八:X A, x2 B,使得 f(x) g(x2)成立x A, x2 B ,使彳# f(x1)gd)成立f (x)minf(x)max2例 9.已知函數(shù) f(x) 2x 5ln x, g(x) x2x mx 4 ,右存在 x1(0,1),對任息 x2 1,2,總有f (x1) g(x2)成立，求實數(shù) m的取值范圍解析：題意等價于 f (x)在(0,1)上的最大值大于或等于 g(x)在1,2上的最大值一 .2x2 5x 2.一 1 .f (x) 2，由 f(x) 0 得，x 或 x 2 ,x2-11當 x (0,一)時，f (x) 0,當 x (一

11、,1)時 f (x) 0,22所以在(0, 1)上，f(x)max f (1)3 5ln 2.1f( ) g(1)2,1f(-) g(2)23 5ln 25 m3 5ln 2 8 2m又g(x)在又2上的最大值為maxg(1),g(2),所以有m 8 5ln 21m 8 51n 2,m (11 5ln 2)2所以實數(shù)m的取值范圍是m 8 5ln2.戰(zhàn)略思想九： x1 A ,x2 B,使得 f(x1) g(x2)成立,g(x)上限f (x)上限f (x)的值域包含于.g(x)的值域”.f (x)下限g(x)下限例10.設(shè)函數(shù)f(x)(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè) a)1 ,函數(shù) g(x)

12、3_2x 3ax 2a. 右對于任息x10,1,總存在xo 0,1,使得f(x1) g(xo)成立，求a的取值范圍.解析：(1) f(x)225-r 225x - x 一，令 f(x)0,即 x - x - 0 ,解得:333355f(x)的單增區(qū)間為,1；單調(diào)減區(qū)間為(，和1,).33(2)由(1)可知當x 0,1時，f(x)單調(diào)遞增, .當 x 0,1時,f(x) f(0), f(1),即 f(x) 4, 3；又 g(x) 3x2 3a2,且 a)1, .當 x 0,1時，g(x) 0, g(x)單調(diào)遞減，.當 x 0,1時,g(x) g(1),g(0),即 g(x) 3a2 2a 1,

13、2a,又對于任意x1 0,1,總存在x0 0,1,2使得 f(x1) g(x0)成立4, 3 3a 2a 1, 2a,2日口 3a 2a 1 4 的/日 /3即，解得：1 & a & -3 2a21 a 例 11.已知函數(shù) f(x) ln x ax 1(a R)；x,1 (1)當a 時，討論f (x)的單調(diào)性；22 .1 .(2)設(shè) g(x) x 2bx 4,當 a 時，若對 x(0,2),x2 1,2,使 f(x1) g(xz),求實數(shù)4b的取值范圍；解：(1)(解答過程略去，只給出結(jié)論)當aW0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 , +OO)上單調(diào)遞增；當a=1時，函數(shù)f(x)

14、在(0, +)上單調(diào)遞減；2.11.1當0ag(x2)” 等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于 f(x)在(0,2)上的最小值f(1)= 1”.()2又 g(x)=(x b)2+4 b2, x C 1,2,所以 當b0,此時與赤)矛盾； 當be 1,2時，因為g(x) min=4b20,同樣與()矛盾； 當 be (2, +8)時，因為g(x) min=g(2)=8 4b.解不等式8-4b 1728綜上，b的取值范圍是且盧國).8五.雙函數(shù)“任意”+ “任意”型仙.戰(zhàn)略思想十：為 A, x2B,使得 f(x1) g(x2)成立f (x)ming(x)max一 ，一1 o o 49x c例

15、12.已 知函數(shù) f (x) -xx 3x , g (x) ,右 對任意 ，明 7 33=，21x，X2 2,2,都有 f(x1) g(x2),求 c的范圍.解：因為對任意的x1, x2 2,2,都有f(xjg(x2)成立，,、2- f (x) max g(x)min , f (x) x 2x 3,令 f (x) 0得 x 3,x 1x3 或 xv-1； f (x) 0得 1x3；f (x)在2, 1為增函數(shù)，在1,2為減函數(shù).18 c一 f( 1) 3, f (2)6,f(x)max 3,.-. 318c , c 24.2例 13.已知兩個函數(shù) f(x) 8x2 16x k,g(x) 2x3

16、 5x2 4x,x 3,3, k R;(1)若對 x 3,3,都有f(x) g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若x 3,3,使得f(x) g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若對 x1,x2 3,3,都有f(x1) g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍；32斛：(1)設(shè)h(x) g(x) f (x) 2x 3x 12x k,(1)中的問題可轉(zhuǎn)化為：x 3,3時，h(x) 0恒成立，即h(x)min 0.h(x) 6x2 6x 12 6(x 2)( x 1)；當x變化時，h(x), h(x)的變化情況列表如下:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h (x)+0一0+h(x)

17、k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)min k 45,故 k-450,得 k45,即 kC 45,+ 8).小結(jié)：對于閉區(qū)間I,不等式f(x)k對xC I時恒成立f(x) maxk對xC I時恒成立 f(x) mink, x C I.此題常見的錯誤解法：由f(x) maxW g(x) min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“f(x) maxWg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價 (2)根據(jù)題意可知，(2)中的問題等價于 h(x)= g(x) f(x) 0在x C -3,3時有解，故

18、h(x) max0.由(1)可知h(x) max= k+7 ,因此 k+7 0,即 kC 7,+oo).(3)根據(jù)題意可知，(3)中的問題等價于f(x) maxW g(x)min, x -3,3.由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得，x -3,3時，f(x) max=120 k.仿照(1 ),利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得 x -3,3時,g(x) min= 21.由 120-k- 21 得 k 141，即 kC 141,+ 8).說明：這里的Xi,X2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式一定要看清是對“X”恒成立，還是“ X”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量，然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件，千萬不要稀里糊涂的去猜.六.雙函數(shù)“存在”+ “存在”型上前戰(zhàn)略思想 H -:X1 A, X2B,使得 f(x1) g(X2)成立f (x)min g(x)max ；尺Xi A, X2 B ,使得 f(x) g(X2)成立f(x)max g(x)min .而,一 xx 3o例14 .已知函數(shù)