(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí)第二章不等式2.5絕對值不等式講義(含解析)

1、§ 2.5 絕對值不等式取新考明考情考向分析1 .會解 |x+b|wc, | x+ b| > c, |xa|十|x b|>c, |xa|十|xb|wc 型不等式.2 . 了解不等式| a| - | b| < 1 a + b| < 1 a| +| b|.絕對值小等式的解法，利用絕對值小等式求 最值是考查的重點；高考中絕對值不等式和 數(shù)列、函數(shù)的結(jié)合是常見題型，解答題居多， 難度為中局檔.基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)阿Ml基毗知,訓(xùn)海星航眩目知識梳理1 ,絕對值三角不等式(1)定理1：如果a, b是實數(shù)，則|a+b| < |a| +| b| ,當(dāng)且僅當(dāng)ago時,等號成立

2、.(2)定理 2：如果 a, b, c是實數(shù)，那么 | a一 c| w | a b| +1 b c| ,當(dāng)且僅當(dāng)(a b)( b c) no 時，等號成立.2.絕對值不等式的解法 含絕對值白不等式| x|< a與| x|> a的解集：不等式a>0a= 0a<01 x1< a(a, a)?|x|>a(一巴a) U ( a, +0°)(巴 0) U (0 , +OO)R(2)| ax+ b| < c(c>0)和 | ax+ b| >c( c>0)型不等式的解法： I ax+ b| < c? cw ax+ bw c;I ax

3、+ b| >c? ax+bc 或 ax + bw c.:概念方法微思考】| xa| + |xb| rc(c>0)和|x a| + | xb| w c(c>0)型不等式有哪些解法?各體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？提示(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；(2)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.21基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1 .判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或“X”)(1)| x+2|的幾何意義是數(shù)軸上坐標(biāo)為x的點到點2的距離.(X(2)| x|> a 的解集是x| x>a 或

4、x< a. ( x )(3)| a+b| = | a| + | b| 成立的條件是 ab>0.( V )(4)若 ab<0,則 |a+b|<| a- b|.( V )(5)對一切 xCR,不等式 |xa| + |xb|>| a b| 恒成立.( x )題組二教材改編集為()B. (2,1 U (4,7D. -2,1) U (4,72. P20T7不等式 3<|5 -2x| <9A. -2,1) U 4,7)C. (-2, -1 U 4,7)答案 D|2x-5| <9,解析由題意得|2x-5|>3 ,一9W2 x一5W9,2x 5>3

5、或 2x 5< 3,2a xW 7,解得 一不等式的解集為x>4或x<1,3. P20T8不等式 | x1| |x5|<2A.(巴 4)C. (1,4)-2,1) U (4,7的解集是()B.(巴 1)D. (1,5)答案 A1 x (5 x)<2 ,.4<2,不等式恒成立，x< 1.當(dāng)1<x<5時，原不等式可化為 x-1-(5 -x)<2 ,. x<4, 1- 1<x<4,當(dāng)x>5時，原不等式可化為 x- 1-(x-5)<2 , ，4v2,此時無解.綜上，原不等式的解集為(8, 4).解析 當(dāng)x<

6、l時，原不等式可化為題組三易錯自糾4 . （2018 浙江源清中學(xué)月考）已知a, b R,則a+ b|03"是a| +| b| W3"的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 | a+ b| < | a| + | b| ,由 | a| 十 | b| w 3 可得 | a+ b| w 3,又當(dāng) a=-4, b=2 時，|a+b|03 成立，而| a| + | b| <3不成立，故a+ b| < 3"是“ | a| + | b| < 3"的必要不充分條件.5 .若存在實數(shù)x使|xa|+

7、| x 1|03成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. 2,4B. 1,2C. -2,4D. -4, -2答案 C解析 | x-a| + | x-1| >|（ x-a） -（x-1）| = | a- 1| ,要使 I xa| +|x-1|<3 有解,則| a 11 w3, 30 a 1 w3, 1 2w a=c4.0 16,若不等式|2x-1| + |x + 2| >a+-a+2對任意實數(shù) x恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是1答案 一1,萬解析設(shè) y= |2x- 1| +|x+2|-3x - 1, x< - 2,1_-x+3, -2< x13x+ 1, x>-當(dāng)

8、x<2 時，y= - 3x- 1>5;15當(dāng)一2<x<5時，-<y=- x+3<5;當(dāng) 時，y = 3x+1>|,5故函數(shù)y= |2 x- 1| + | x+ 2|的最小值為-因為不等式|2x 1|+|x+ 2|>a2+；a+2對任意實數(shù)x恒成立,所以a?+ 2a+ 2.解不等式 2> a + 2-a2,得1w aw2,1故實數(shù)a的取值范圍為 一1,2.題型分類深度剖析n時物/譙度別折王點用點至曾探究題型一絕對值不等式的解法自主演絳1 . （2018 浙江嘉興七校期中）不等式1W|2 x-1| <2的解集為（.1,3A. 2, 0 U

9、 1, 2-1.3C. -2, 0 U 1 , 2B.1 3 一2 2D. ( 8, 0 U 1 , +OO)答案 C解析 不等式等價于1W2x1<2或2<2x1W 1,.3 ,、1.解得 1Wx<2 或2<xW0.2.（2018 寧波北侖中學(xué)期中則實數(shù)a的取值范圍是（）若關(guān)于x的不等式|x1| |x 3|> a23a的解集為非空數(shù)集,A. 1<a<2C. a<1 或 a>2D. awi 或 a>2答案 B解析'' (| x 1| | x 3|) max= 2,.a23a<2,得3.不等式| x- 1| + |x

10、 + 2| >5的解集為 .答案x|xw 3 或 x>2解析 方法一 要去掉絕對值符號， 需要對x與-2和1進(jìn)行大小比較，-2和1可以把數(shù)軸 分成三部分.當(dāng) x<2時，不等式等價于一（x1） （x + 2）>5,解得 x< 3;當(dāng)一2Wx<1 時，不等式等價于一（x 1）+（x+ 2） >5,即3>5,無解；當(dāng)x>l時，不等式等價于 x- 1 + x + 2>5,解得x>2.綜上，不等式的解集為 x| xw3或x>2.方法二 | x 1| 十 | x+ 2|表示數(shù)軸上的點 x到點1和點一2的距離的和，如圖所示，數(shù)軸上 到點

11、1和點一2的距離的和為5的點有一3和2,故滿足不等式| x1| 十|x + 2| >5的x的取 值范圍為x<- 3或x>2,所以不等式的解集為x|xw3或x>2. 311一 L一 1-3-2-1 0 12-'31 一4,設(shè)不等式|x 2|<a(ae N)的解集為A,且,£ A, -?A<,則a =.答案 13.1斛析:/A,且2?a,13 一 一*解得 2<2忘5，又aeN,，a=1.思維升華解絕對值不等式的基本方法(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式.(2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方

12、法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式.(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.題型二利用絕對值不等式求最值師生共研例1 (1)(2018 浙江溫州十校聯(lián)考)對于任意實數(shù)a和b(bw0),不等式|a+b| + |a b| > I b|(| x1|+ |x2|)恒成立，則實數(shù) x的取值范圍是 .| a+ b| + | a b| a+ b| + | a b|解析 原不等式可化為1|61L >|x-1| +|x- 2|恒成立，令m= | :匹L.由| a+ b| + | a- b| >|( a+ b) (a b)| = 2| b| ,得 n>2,當(dāng)且僅當(dāng)(| a| + |

13、b|) (| a| 一.一 .一 一.一 15 | b|) <0,即| a| w | b|時，取等號，所以有| x-1| + |x-2| <2,解得WxW2,即實數(shù)x的取一 1 5值氾圍是2，2 .(2)(2018 溫州聯(lián)考 Emaxp, q=" 設(shè) Mx, y) = max| x2+y+1| , | y2-x + q, p<q,1|,其中x, ye R,則Mx, y)的最小值是 .3答案 ；4解析 由已知得 Mx, y) >I x2+y+ 1| , Mx, y) >I y2-x+ 1| ,則 2Mx, y) >I x2+y+ 1| +| y2 x

14、+ 1|>1( x2+ y+ 1) +(y2-x+ 1)| = | x2x+y2+y+2|1 2.,12.33=x-2 + y+2 +2 )2,L3則 Mx, y) >4.113當(dāng) x=, y= 2時,Mx, y) =4,一.一 .3所以Mx, y)的取小值為-.4思維升華求含絕對值的函數(shù)最值時，常用的方法有三種(1)利用絕對值的幾何意義.(2)利用絕對值三角不等式，即 | a| + | b戶| a± b| >| a| -| b|.(3)利用零點分區(qū)間法.跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2018 浙江金華一中模擬)若關(guān)于 x的不等式|x + t22| +|x+t2+2t 1&l

15、t;3t無解，則實數(shù)t的取值范圍是()A. -5 1B.(-巴 05C. (8, 1D. (8, 5答案 C解析 由題意，得當(dāng)two時，該不等式無解；當(dāng)t >0時，因為| x+ t2-2| + |x+t2+2t-1| >| x + t2-2-(x+t2+2t - 1)| =2t + 1,要使原不等式無解，則需 3tW2t+1,解得0<tW1.綜 上所述，實數(shù)t的取值范圍為(8, 1,故選C. x, x<y, 一, 一(2)(2018 浙江第二次聯(lián)盟校聯(lián)考)定義minx, y=已知x是不為2或8的y, x>y,，4 -21一，一一，實數(shù)，若S= min |x_2|

16、, x_8| ,則S的最大值為 .-1答案 221-2-1_2解析 由題意可得，因為 S= min . v , 1 丫 ,所以0<Sw"且0<S<-,得士| x 2| x 8| x2| x8| S>|x2| 且 |x8|,所以 I x2| 十 | x 8| >6.當(dāng)且僅當(dāng)(x 2) ( x8)<0 時等號成 SSr -1 一 一1立，得g2，所以S的最大值為2.題型三絕對值不等式的綜合應(yīng)用,師生共研例2(2018 浙江省杭州重點中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x) = x|x-a| -1.(1)當(dāng)a=1時，解不等式f(x)<x 1； (2)當(dāng)xe(0,

17、l時，f(x)w；x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解 當(dāng) a=i 時，f( x) = x| x- 1| - 1, 由不等式 f (x)<x1,得 x| x1|<x.當(dāng)x>l時，不等式化為x(x- 1)<x, 2即 x 2x<0,解得 1Wx<2.當(dāng)x<1時，不等式化為 x(1 -x)< x,即一x2<0,解得 x<1.綜上，不等式的解集是x| x<2.1 2(2)由題息得x| x- a| < 2x + 1當(dāng)xC (0,1時恒成立,所以| x- a| w ；x +1當(dāng)x e (0,1時恒成立, 2 x即:xw aw ?x+1

18、當(dāng) x C (0,1時恒成立.2 x 2 x令g(x)=1x J,則g(x)在(0,1上單調(diào)遞增, 2 x 1故 g(x)< g(1) =- 2.21°X-x+ ->22 x3 2x當(dāng)且僅當(dāng)-x =即x='-時等號成立, 2 x3一,1所以一2 0 aw(6, m所以實數(shù)a的取值范圍為 一2,。6 .例3(2018 湖州市五校模擬)已知對任意的 xC1,4,I x1| 十x+-m -x+ mc4 恒成 x立，則答案解析由xC1,4,可知x 1>0恒成立，可得x1+ x+- m -x+ me4,即 x+' m x' xm的取值范圍為9OO -，

19、2+ m- 1<4,令t =x + 4 4,5,即|t m+m- 1<4, tC4,5恒成立，由絕對值的幾何意 x所以Ma)=34-8a, 3< a<4, 2, a>4.、-一 99 一，.乂知，當(dāng)2時，11 m max= 5 m 即 5 mvF rn_1 w 4 怕成、/.,當(dāng) m>2時，11 m max= rn- 4,rrrr9 一“ 人"一即m-4+m-K4,即rmc/,不符合題息，9綜上m的取值范圍是me I思維升華(1)恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.(2)和絕對值有關(guān)的最值可以利用絕對值的性質(zhì)進(jìn)行改編或者化為分段函數(shù)解決.(3)和絕對

20、值不等式有關(guān)的范圍或最值問題，可利用絕對值的幾何意義或絕對值三角不等式進(jìn)行放縮.(4)利用特殊點的函數(shù)值可探求范圍；若函數(shù)解析式中含有絕對值，也可化為分段函數(shù).跟蹤訓(xùn)練 2(2016 浙江)已知 a>3,函數(shù) F(x) = min2| x-1| ,x2-2ax+ 4a2,其中 min p,P，pwq,q=q, P>q.(1)求使得等式F(x) =x .=a + 4a 2,所以，由F(x)的定義知n(a) = min f 1 , g a ,0, 3< a<2+J2,即m( a) =2廠a + 4a2, a>2 + 42.當(dāng) 0WxW2 時，F(xiàn)(x)<f(x)&

21、lt;maxf 0 , f 2 = 2 = F(2),當(dāng) 2<xW6 時，F(xiàn)(x) < g(x) wmaxf g 2 , g 6 =ma) 2, 34 8a = ma) F 2 , F 6 .當(dāng) a>4 時，348aw2；當(dāng) 3wa<4 時，348a>2,2ax+4a 2成立的x的取值范圍；(2)求F( x)的最小值 m a);求F(x)在區(qū)間0,6上的最大值M(a).解 (1)由于 a>3,故當(dāng) xwi 時，(x2-2ax+ 4a2) 2| x1| =x2+2(a 1)(2 -x) >0,2當(dāng) x>1 時，(x 2ax+4a 2) 2| x 1

22、| = (x- 2)( x- 2a).所以，使得等式 F(x) =x22ax+4a 2成立的x的取值范圍是2,2 a.2(2)設(shè)函數(shù) f(x) = 2|x 1|, g(x) =x 2ax+4a 2,貝 U f (x) min= f (1) = 0, g(x)min=g(a)課時作業(yè)力基礎(chǔ)保分練1 .不等式|2x-1|<3的解集是()A. (1,2)B. ( 1,2)C. (-2, - 1)D. (8, - 2) U (2 , i)答案 B解析 |2 x- 1|<3 ? -3<2x-1<3? - 1<x<2.2.不等式|2x-1| -|x-2|<0的解集

23、是()A. x| - 1<x<1B. x|x<1C. x|x>1D. x|x<1 或 x>1答案 A解析 方法一 原不等式即為|2 x-1|<| x-2| , ,224x 4x+ 1<x -4x+ 4, ,3x,1不等式組無解，由得 2<x<1,由得一1<xW2.綜上可得1<x<1,原不等式的解集為x|1<x<1.3.若集合 A= x| x-1| <1, B= 2, - 1,0,1,2,則集合 AH B 等于()A. 0,2B. -2,2C. 0,1,2D. -2, - 1,0答案 C 解析 由 |

24、x1|W1 得 0WxW2,所以集合 A= x|0<x<2,所以 An B= 0,1,2,故選 C. 4. (2018 嘉興市教學(xué)測試)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且38=1,則2| a9| +|310|的最小值為 ()A. 3B. 2C. 1D. 0答案 C<3, 1<x<1.方法二原不等式等價于不等式組x>2, 2x- 1 - x-2 <0或1 八2Vx<2,2x 1 + x- 2 <01x<,或 22x- 1 + x-2 <0.解析 記 y = 2| a9| + | ai0| ,設(shè)數(shù)列an的公差為 d,則 a9=i+d, ai

25、0=l + 2d,所以 y=2|1 + d| +|1 +2d|= |2 +2d|+ |1 +2d|河(2 + 2d)- (1 +2d)|= 1,當(dāng)且僅當(dāng)(2 + 2d)(1+2d)<0時，取等號，故選 C.5.(2018 浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x) = |2x 1| ,若不等式f(x) >|a+1|,-|2 a-11對| a|任意實數(shù)awo恒成立，則x的取值范圍是()A.(8, 1U3,)B.(8, 1U2,+8)C.(8, 3U1,+8 )D.(8,- 2 U 1 ,+8)答案 B解析 不等式f(x)>|a+1| -|2a-1| a|對任意實數(shù) awo 恒成立，|

26、a+1| 一|2 a1|Fa|max.因為 1a+"12aT1 = 1 + 1 2,<3, | a|a a '所以 f(x) >3,即 |2x-1| >3,即 2x-1>3 或 2x 1W 3,即x>2或xw 1,故選B.6 .已知 f (x) = 2x24x1,設(shè)有 n 個不同的數(shù) xi( i = 1,2 ,，n)滿足 0Wxyx2<v xn<3,則滿足 | f (x1) f (x2)| + | f(x2) f (x3)| + | f (xn 1) -f (xn)| WM的 M 的最小值是()A. 10B. 8C. 6D. 2答案

27、A解析 由二次函數(shù)的性質(zhì)得 f (x) = 2x2-4x-1在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，且 f (0) = - 1, f (1) = - 3, f (3) =5,則當(dāng) x1= 0, xn= 3,且存在 xi = 1 時，| f (x。一 f (x2)| 十 | f(x2) - f(x3)| + | f (xn 1) -f (xn)| 取得最大值，最大值為| f 國)一 f (Xi )| + | f (X ) f (xn)| = | 1 ( 3)| + | 3 5| =10,所以M的最小值為10,故選A.2cos -z-x. | x| w 1.7 . (2018 浙江聯(lián)盟校聯(lián)

28、考)設(shè)函數(shù)f(x)=2若|f(x)+f(x+l)x2-1, |x|>1.2| +|f(x)-f(x+ l )|>2( l >0)對任意白實數(shù)x都成立，則正數(shù)l的取值范圍為()A. (0,2 小)B. (2 時 +8)C. (0,2 幣D. 2+oo)答案 B解析 因為 | f (x)+f (x + l) 2| + | f(x) f (x+l )| >max|2 f (x) 2| , |2 f (x+l) 2|,所 以 12 f (x) 2|>2 或 12 f (x+ l) 2|>2 ,即 f(x)>2 或 f (x+ l )>2 的解集為 R,解

29、 f (x)>2 得 x<一班或 x>q3,當(dāng)小Vxv 3時，有 f（x+ l）>2,解得 x+l <（3或 x+l>q3,因為 l>0,所以由數(shù)形結(jié)合知一 d3+l>ql, l>2y3.所以正數(shù)l的取值范圍為（243, +8）.8 . （2018 金華十校調(diào)研）若a, b, cCR,且|a|w1, | b| <1, | c| w 1,則下列說法正確的是（）A.3 ab+bc+ ca + .B.3 ab+bc+ ca + -a-b2C.3 ab+bc+ ca + -D.以上都不正確答案 A解析由題意知，一1Wab+ bc+ca<

30、3,對于選項31 a 1A, ab+bc+ ca+- >2,/，顯然不等式成立，對a, b,c分別取特殊值，取 a=1, b=1, c=0,排除選項 B,取a=1,b= 0, c= 1,排除選項C,故選A.9 .若關(guān)于x的不等式|x|+|x+a|< b的解集為（一2,1）,則實數(shù)a=答案 1 3解析 由不等式與方程的關(guān)系知，一2,1恰為方程| x| + | x + a| = b的兩根，故有b= 3.| 2| + | a-2| =b, 解得|1| +| a+1| =b,10.已知 f(x)x + - axx ：a + 2x2a（x>0）的最小值為|,則實數(shù) a=答案4解析f (

31、x)=x- a +2x 2a xx + 1-axx-1- ax+ 2x- 2a=+ 2x 2a2八 =一十 2x 2a>2 xx - 2x-2a=4-2a.，2_ 一5 .經(jīng)馴證，當(dāng)x = 1, a=4時,x+ -axx-ax當(dāng)且僅當(dāng)一=2x,即x = 1時, x . 一 5由 4-2a=2，解得 a=7=x -|a - xaxx即兩處不等號取等條件相同.11. （2018 嘉興市基礎(chǔ)測試）當(dāng)1wxW3時，|3a+2b| |a2b|a| x+m+ 1對任意的實x數(shù)a, b都成立，則實數(shù) m的取值范圍是 .-9答案 t, 4解析 當(dāng)a=0時，不等式恒成立；當(dāng) awo時，原問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng) 1

32、wxw3時，x + m+ x1>|3a+2b| 一 | a2b|TO對任意的實數(shù)a, b都成立,因為|3a+ 2b| Ta2b|ra?4| a|a|=4,所以當(dāng) 1WxW3 時，x+ m> 3,即 x(3x)恒成立.設(shè) f (x) =x(3 x)( x C 1,3),易得 f(x)max x99.9=1，所以只需m f （x） max,即nB4.綜上，實數(shù) m的取值范圍是 不+ 00 .12. （2018 浙江十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試）對任意的 x, yC R |x1| 十|x| +|y1| 十|y+1|的最小值為x, y, z 滿足 x2 + 2y2+ z2= 1,則 t =3/3xy

33、 + 2yz + xz 的最大值是答案3 -26解析由絕對值不等式的性質(zhì)得|x-1|+|x| + |y-1| + |y+1|>|(1 x) +x| + |(1 y) +(1 +y)| =3,1 = x2 + 2y2+ z2=紀(jì)+ 3y2+ 2y21 21 21 2 c 上 c '3 c 6+ z +x +z >2X -3-xy + 2x-yz + 2xxz,當(dāng)且僅當(dāng)x=Wy = z時等號成立,2 .21316'3 、：32譽y+2遭yz+2與方1卷,即t = |V3xy +/yz + xz的最大值為力技能提升練13. （2018 金麗衢十二校模擬）設(shè)實數(shù)a, b,則

34、a b2| +| ba2| W1”是“1 b一 22 32 3” 的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A1 2123212132222斛析a 2 + b 2 w 2? a - a+b - b+4? a 一 a+b - bwi? b 一 a+a - bwi,令 b2-a= x, a2 b= y,I x| +| y| >| x+ y| >x+ y,I x| + | y| <1? x+y<l,而反之 x+ y< 1 ? | x| +1 y| < 1,故是充分不必要條件，故選 A.1一、14. (2018 浙江六校協(xié)作體聯(lián)考 )已知函數(shù)f(x)=x1,若|f(x)1| 十-a>0對|f x一1 |任意的xC R且xw2恒成立，則實數(shù) a的取值范圍為 ;不等式| f(2x)| <5- | f(2x1)|的解集為.-1 C答案(一8, 2)21解析 因為| f (x) 1| + | f x_