2012屆江蘇蘇教版學(xué)海導(dǎo)航高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第1輪)文數(shù)：第5章第34講 向量的應(yīng)用

1、平面向量與三角函數(shù)平面向量與三角函數(shù) (sin1)(cos2)(0)41/ /tan172,sin(2)841(2010南京期末卷)已知 ， ， 若，求的值；若求【例的值】ababa b 1/ /2sincostan.21717sin cos2,881sin2(0)44152(0)cos2,4422sin(2)sin2cos2422212152302424812aba b因為，所以，則因為，所以 ，因為， ，所以， ，所以【解析】 本題是以平面向量的知識為平臺，考查了三角函數(shù)的恒等變換及相關(guān)運算，向量與三角函數(shù)的結(jié)合，既符合在知識的“交匯處”命題，又加強了對雙基的考查 3,00,3(cossi

2、n )1/ /tan2113(0)ABCOOCABOAOCOBOC 【變式已知， 為原點若，求的值；練習(xí)】若，且，求與的夾角的大小 22(cossin )0,33,0(3,3)/ /3cos3sin0tan1.(3cossin )(3cos )sin131cos.212OCABOCABOA OC ，因為，所以【 ，所以因為 ，所以 ，所以解析】(0)3313sin,(,).2223 332cos.320.6COB OCOB OCOB OC 又，所以 ，則所以所以、 的夾角為 ，則又，所以 平面向量在幾何中平面向量在幾何中的應(yīng)用的應(yīng)用 【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上的一點

3、，四邊形PECF是矩形證明：(1)PAEF；(2)PAEF.122220,1()(1)(0)22222222(,1)(1).2222DDCxDPAPEFPAEF 以 為坐標(biāo)原點，所在的直線為 軸建立如圖【證明】所示的坐標(biāo)系設(shè)正方形的邊長為 ， ，則，于是，- 222222221212222121,22.2222()11()22222222110 0222212.PAEFPAEFPAEFPA EFPAEFPAEF 因為，所以,所以因為 ，所以，所以 向量是解決圖形問題的有力工具，而向量的坐標(biāo)運算又是為圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題創(chuàng)造了條件，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化本題中，由于四邊形ABCD是正方形，因此可以

4、用坐標(biāo)法解題用平面向量證明平面幾何問題時，要根據(jù)題目的條件選擇用基向量法還是用坐標(biāo)法【變式練習(xí)2】已知ABC中，C為直角，CACB，D是CB的中點，E是AB上的點，且AE2EB，求證：ADCE. 2222()()2 222 2203223220.33.aAD CEACCD CAAEAC CACD CAAC AECD AEaaaaaaaaADCE 設(shè)此等腰直角三角形的直角邊為 ，則 所以，【證明】平面向量在物理中的平面向量在物理中的應(yīng)用應(yīng)用 【例3】如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，ACW150，BCW120，求A和B處所受力的大小(忽略繩子的重量) 1212122110

5、.,.180150301801206090 .ABf fNffffCf fCFWECWCFf CEf CWfECWFCWFCECFW 設(shè) 、 處所受力分別為 、，的重力用 表示，則 以重力作用點 為 、的始點，作平行四邊形，使為對角線，則， 因為，所以所以平【行四邊形解析】3cos30105 3,21cos6010525 3N5 N.ECECWCECWAB 為矩形所以 ，所以 處受力為， 處受力為 利用向量的理論和方法可以有效地解決物理學(xué)中的合力、分力、運動學(xué)等許多問題，也為數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際開辟了新的途徑 0000001,00,1( 1,2)|( 21)32|32|.0PPQQPQtPQPQPQ

6、t 兩個動點 從開著勻線運動為動點 從發(fā)平面上有向量 ， 今有始沿與向量 相同的方向作速直，速度大??；另一 ， 出，沿與向量相同的方向作勻速直線運動，速度大小為設(shè) 、 在時刻 秒時，分別在、處，則當(dāng)時，時間 為多【變秒練】？習(xí)3少式1212121212eeeeeeeeee0000( 1,2)( 21)( 21) ( 1,2) ( 13)1,00,11,1|2323 1,02 0,13,2|32|13.( 1,2)1,1( 12)( 21)3,2( 2 31 2 )PQPQtPtttQtttPQ 依題意， ， ，則 ， ， ， ，所以，所以在時刻 時，點位置為 ， ，點位置為 ， ，所【解析】以

7、12121212eeeeeeee00( 2 312 ) ( 1,2)( 123)( 12 ) ( 1) ( 3) ( 3) 02.ttttttPQPQttt ， ， 又，所以 ，解得 1.2,2( 2cos2sin )OAABOB 已知， ，則的取值范圍是_22(22cos )(22sin )104 2(sincos )108sin()42| 3 2.OBOAABOB 故【解析】 2 3 2，2.點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v(4，3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位長度設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為(10,10)，則5秒后點P的坐標(biāo)為_【解析】5秒后點P的坐標(biāo)為(10

8、,10)5(4，3)(10，5)(10，5) 3.(21)0,108,0()ABCPOAt ABACtPR 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點 ， ，若動點滿足： OP，則點 的軌跡方程是_xy10 ()()(21)12,122121 0.1 12OPxyxytxttxyyt 【解設(shè) ， ，則 ， ， ，所以，消去 得 析】4.已知ABC的頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)(1)若c5，求sinA的值；(2)若A是鈍角，求c的取值范圍 22(34)(34)5(24)6161coscos,52 552 5sin1cos.5253(3)(4)0.321532)ABACccAC

9、AAC ABAAAAB ACccABACAc 因為 ， ， ， 當(dāng) 時， ， 所以若 為鈍角，則 ，解得顯然，此時和不共線故當(dāng) 為鈍角時， 的取【解析值范圍，】為 125.60 .()()12,3( 2,1);21xOyxOyPOPxyeexyPxyMNOMMNOxOy 如圖所示，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任意一點關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若其中 ，是分別與 軸、 軸同方向的單位向量，則點的坐標(biāo)為 ， 若，求與求以 為圓心， 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程12ee 222212222,323(23)412913 12cos601919.22(23)42( 42)216210MOMOMOMO

10、NMN ONOMMN 因為，所以，所以 ，所以又 ，所以 【解，故析】121212121212121212eeeeeeeeeeeeeeeeeeee82 7.MN ，所以 222222222().()211 0.21 0P xyOPxyOPOPxyxyxyxyxyxyxy 設(shè)圓上任意一點的斜坐標(biāo)為， ，則因為，所以 ，即 故所求圓的方程為 121212eeeeee 122112121 1()/ /(0)(0)0(0)2x yx yx xy y向量在幾何中的應(yīng)用 證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行 共線的充要條件：，且或 證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的充要條件

11、： 或 ababRaba b cos,| |34| 求夾角問題，往往利用向量的夾角公式求線段的長度或證明線段相等，可以用向量的模，向量的線性運算a ba bab 2向量在物理中的應(yīng)用 向量有著豐富的物理背景，如物理中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量力的做功是向量數(shù)量積的物理背景向量的加法運算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等與相應(yīng)的物理問題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成、速度的合成相聯(lián)系向量在解決相關(guān)物理問題中有重要作用 注意兩個方面的問題，一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方

12、面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象 (2cos2sin )(sincos ),6_1.OAOBOAB 已知向量， ，其中 為坐標(biāo)原點則門若(2010海期末卷)3答案：選題感悟：向量經(jīng)常會與其他數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，特別是與三角函數(shù)問題相聯(lián)系解答這類問題時，關(guān)鍵是要熟練地通過公式，將向量問題轉(zhuǎn)化為一般地數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解12()_2_ABCMBCAMPAMPAPMPAPBPC 在中，是的中點， ，點 在上且滿足，則無于錫等(2010期末卷)49答案： -PBPC 平面向量是高中的工具性知近年的高考在平面向量與三角形上的考查越越深入本求解的在于向量行合理的化，再用向量的量的算公式數(shù)學(xué)識來試題來題關(guān)鍵將進(jìn)轉(zhuǎn)運數(shù)積計選題感悟： 6(0)(cos5sin)0.251cos,;62sin(23(2011)4xOyAPPAPOPAPO 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，學(xué)調(diào)，其中若求證：若，求的值南京情研卷 2226(cossin)(cossin)56(cos )(cos )(sin)566coscossincos1.5515cos,01.6.PAPOPA POPA POPAPO 由題設(shè)知， ，所以因為所方以故法 ：【解析】25cos06211511sin,( ,).6661111511(,),()3066611511()()0.306.26PPAPOPA POPAPO 因為