第三節(jié) 誤差的估算

1、第三節(jié) 誤差的估算由于物理量的數(shù)值的獲得途徑有直接測量和間接測量兩種，無論直接測量，還是間測量都有誤差，誤差的計算也分兩種情況。廣義地講，兩種情況的處理都屬于誤差計算。然而，間接測量是由直測量決定的，以直接測量為基礎(chǔ)的，間接測量的誤差是由直接測量通過給定的函數(shù)關(guān)系確定的。因此，狹義地講，常把直接測量的誤差計算稱為誤差計算，而將間接測量的誤差計算叫誤差傳遞。此外，由于嚴(yán)格意義上的誤差是無法計算的，因而只能通過各種方法進行近似計算，故將誤差計算稱為誤差的估算，而且可有多種方法進行估算。下面就介紹幾種常用的誤差估算方法。一、直接測量的誤差估算1算術(shù)平均誤差在測量列Xi中，各次測量的誤差的絕對值的算術(shù)

2、平均值叫算術(shù)平均誤差。記為DX。按定義 DX=1nnni=1nXi-X 或 DX=DXi=1i其中n為測量次數(shù)，DXi=Xi-X。2.絕對誤差誤差的絕對值叫絕對誤差。狹義的絕對誤差，如上面的DXi，DX。而廣義的絕對誤差還有后面要討論的Sx，sx，s，Q等。3.相對誤差絕對誤差與平均值的百分比叫相對誤差，又叫百分誤差。記為Er。其估算方法為 DXX Er=100% 廣義地講，后面要討論的4.標(biāo)準(zhǔn)偏差 SxX、sX等都可叫相對誤差。按定義，標(biāo)準(zhǔn)誤差是測量列中各次誤差的方均根，記為sx。當(dāng)n時 sx=1n(Xii=1n-a) 2需要注意的是，上式是在測量次數(shù)很多時，測量列按正態(tài)分布時所得到的結(jié)果。

3、實際上，由于真值無法獲得，而測量次數(shù)也只能是有限的。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤差sx只能通過偏差進行估算。由統(tǒng)計理論可推導(dǎo)出，對有限次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx的計算公式為：Sx=1n-1(Xi=1ni-X)2即最后是用Sx代替sx。通常所說的標(biāo)準(zhǔn)誤差，實際上就是Sx。5.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差與測量列標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為 Sx=1nSx二、間接測量的誤差計算（誤差的傳遞） 上面所討論的誤差計算方法是對直接測量而言的，在此基礎(chǔ)上我們可以進一步討論間接測量的誤差計算問題。我們知道，間接測量是由直測量通過一定的函數(shù)關(guān)系決定相應(yīng)的間接測量的誤差，它們之間的這種關(guān)系叫誤差的傳遞，相應(yīng)的計算公式叫誤差傳遞公式。

4、下面我們首先討論誤差傳遞公式的一般形式，然后再將其運用于一些具體情況。1.誤差傳遞公式的一般形式設(shè)間接測量量f與彼此獨立的直接測量量x、y、z(只取3個)間的函數(shù)關(guān)系為 f=f(x,y,z)測量結(jié)果用平均值和絕對誤差表示為 x=xDxy=yDyz=zDz和 f=fDf其中,f=fx,y,z。將f(x,y,z)在x,y,z點按泰勒級數(shù)展開有ffff(x,y,z)=fx,y,zx-x+y-y+z-zyzx)()()()()() +(高階小量)將此結(jié)果與前面假定關(guān)系式f=fDf比較，忽略高階小量，并考慮到誤差傳遞中通過組合可能產(chǎn)生的最大值，取間接測量的絕對誤差為 Df=相對誤差為Dff=lnfxDx

5、+lnfyDy+lnfzDzfxDx+fyDy+fzDz根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義，由上述展開式，在考慮到x,y,z是彼此獨立的情況，可得標(biāo)準(zhǔn)差的傳遞公式的絕對形式為s=fxs22xff+ys22yf+zs22z相對形式為sff=lnfxsfx22xlnfs+ylnfx22ylnfs+z22z其中fx、lnfx分別為、在x,y,z點處的值。()為了較好地使用標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式，需要說明的是：(1)如果f由x,y,z按加(減)關(guān)系確定時，常用標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞的絕對形式計算。 (2)如果f由x,y,z按乘(除)關(guān)系確定時，常用誤差傳遞的相對形式計算。 (3)如果x,y,z彼此不獨立，還需計算相關(guān)系數(shù)(協(xié)方差)。例如：若f=xy，當(dāng)x=y（僅數(shù)值相等）時的誤差傳遞，與取x=y（x與y完全相關(guān)）后f=x的誤差2傳遞是不一樣的。因為，當(dāng)f=xy時有 sysf， =x+fxy再取x=y時，化為s22sff=2sxx。而當(dāng)f=x2時sff=2sxx?？梢?，前者在取x=y時，僅為數(shù)值上相等，而它們?nèi)允潜诵┆?/p>