2019_2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊

1、5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 . 了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題.(重點)2 .實際問題抽象為三角函數(shù)模型.(難點)1 .通過建立三角模型解決實際問題，培 養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2 .借助實際問題求解，提升數(shù)學(xué)運算素 養(yǎng).自主預(yù)習(xí)*”新亞匚新知初探.-|1 .函數(shù)y = Asin( wx+() , A>0,>0中參數(shù)的物理意義-8 -2.解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗，作出結(jié)論.I初試身手P,11兀,，一 、 r 八 r , 口1

2、.函數(shù)y = 3sin 3x + £的周期、振幅、初相分別是 ()A. 3無，13'一1 *兀B. 6兀，3，6C. 3兀，3,-6B y=3sin 3X + -6-的周期T= 午=6兀，振幅為3,初相為-6.111 兀 兀1214V 2x 一石一石頻率為亍=百、，1兀 兀相位為XX-,初相為 . 2663 .如圖為某簡諧運動的圖象，則這個簡諧運動需要 s往返一次.八m4£F -一八心C0.8 觀察圖象可知此簡諧運動的周期T= 0.8 ,所以這個簡諧運動需要 0.8 s往返一次.4 .如圖所示的圖象顯示的是相對于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24 h內(nèi)的

3、變化情況，則水面高度 y關(guān)于從夜間0時開始的時間x的函數(shù)關(guān)系式為 .jnry = 6sin_6x 設(shè) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y= Asin( 3x+()(A>0, 3 >0),則 A= 6,_2兀 _兀T= 12,=.36當(dāng) X = 9 時，ymax= 6.w兀一兀.一故 6-X 9+ ()= + 2k % , k C Z.一，II兀取 k = 1 得 6 =兀，即 y= - 6sin -x.合作探究*> I是素養(yǎng)一.1ml-1ml必帆1/I三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】 已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間兀t(s)的變化規(guī)律

4、為s=4sin 2t + , t 0 ,+8).用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并 3回答下列問題.(1)小球在開始振動(t = 0)時的位移是多少？(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少?(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？思路點撥確定函數(shù)y=Asin( cox+6)中的參數(shù)A,，巾的物理意義是解題關(guān)鍵. 解列表如下：t兀兀兀7兀5兀一612"372兀2t +V30兀22兀3兀22兀.兀sin 2t + -301010s040一 40描點、連線，圖象如圖所示.r/rin兀兀,將t=0代入s=4sin 2t +,得s = 4sin = 2-/3,所以小球開始振動時的位

5、移是2 ：3 cm.(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4 cm和一4 cm.(3)因為振動的周期是兀，所以小球往復(fù)振動一次所用的時間是兀s.損律方屬在物理學(xué)中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數(shù)y = Asin cox+巾表示物體振動的位移 y隨時間x的變化規(guī)律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T=紅為周期，表示物3 _1 一一 體往復(fù)振動一次所需的時間，f = T為頻率，表本物體在單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)頌)躡蹤訓(xùn)縹交流電的電壓 E(單位：V)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用 E= 220，3sin 100兀t+看 來表示，求：(1)開始時電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的

6、時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間.解 當(dāng)t = o時，e= iio3(v),即開始時的電壓為 iioJ3 v.2兀 1-,、一,(2)T=同=50,即時間間隔為0.02 s.L兀 兀1(3)電壓的最大值為 220y3 V,當(dāng)100兀t+6 = 2,即t=300 s時第一次取得最大值.三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用4類帆2探究問題在處理曲線擬合和預(yù)測的問題時，通常需要幾個步驟？提示：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)給出散點圖.(2)通過考察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問

7、題進行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).【例2】已知某海濱浴場的海浪高度 y(米)是時間t (時)的函數(shù)，其中0WtW24,記y= f(t),下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù):t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，y = f (t)的圖象可近似地看成是函數(shù) y = Acos cot + b的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù) (1)的結(jié)論，判斷天內(nèi)的8: 00到20: 00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？思路點撥(1)根據(jù)y的最大值和最小值求 A,

8、b,定周期求 少.(2)解不等式y(tǒng)>1,確定有多少時間可供沖浪者活動.- 兀，解由表中數(shù)據(jù)可知，T= 12,，.又時，y=",，A+ b=1.5；t=3一，r 1 1 兀時，y = 1.0,得b=1.0,所以振幅為2,函數(shù)解析式為 y=-cos-6-t +1(0< t <24).(2)，y>1 時，才對沖浪愛好者開放，y =cos 5 t + 1>1, cos ± t >0,2 ku- < t26626兀 1-.，<2kTt 十 萬,即 12k-3<t<12k+3, (k Z).又 0W tW24,所以 0w t

9、<3 或 9v tv 15 或 21<t<24,所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9<t< 15.1.若將本例中“大于1米”改為“大于1.25米”，結(jié)果又如何？1 兀兀 1兀 兀兀解 由 y = 2cos t + 1 > 1.25 得 cos6t >2, 2k % - -3 v方t v 2k 兀 + 3 , k C Z,即 12k2vtv12k+2, kez.又 0WtW24,所以 0Wt V2 或 10vt v 14 或 22vtW24,所以在規(guī)定時間內(nèi)只有4個小時沖浪愛好者可以進行活動，即 10Vt<14.2.若本例中海濱

10、浴場某區(qū)域的水深y(米)與時間t(時)的數(shù)據(jù)如下表：t(時)03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用y = Asin 3 t + b刻畫水深與時間的對應(yīng)關(guān)系，試求此函數(shù)解析式.解函數(shù)y = Asin cot + b在一個周期內(nèi)由最大變到最小需93 = 6(h),此為半個周期,.函數(shù)的最小正周期為12 h ,因此紅=12, co =4.36又,當(dāng) t = 0時，y= 10;當(dāng) t=3 時，ymax= 13,.b= 10, A= 1310=3, ,一，_,.兀所求函數(shù)的解析式為y=3sin t +10(0< t<24).規(guī)

11、生白色解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟提醒：關(guān)注實際意義求準(zhǔn)定義域.1_|課堂小扇1 .曲線y = Asin ( cox+ 6 )的應(yīng)用實質(zhì)上是物理方面的知識.所以建立該類問題的數(shù)學(xué) 模型一定要結(jié)合物理知識進行.2 .解答三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟可分為四步：審題、建模、解模、還原評價.(1)構(gòu)建三角函數(shù)模型解決具有周期變化現(xiàn)象的實際問題.(2)對于測量中的問題歸結(jié)到三角形中去處理，應(yīng)用三角函數(shù)的概念和解三角形知識解決問題.當(dāng)堂達標(biāo)命9SB1 .思考辨析1 ,函數(shù)y=|sin x + |的周期為 兀.()(2)一個彈簧振子做簡諧振動的周期為0.4 s ,振幅為5 cm,則該振子在2 s內(nèi)通過的路程為

12、 50 cm.( )(3)電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I =5sin 100兀t+卷，則當(dāng)t=U s時,3200，、，5電流強度I為2 A.()一八，一一一1,提布(1)錯誤.函數(shù)y=|sin x + 2|的周期為27t.(2)錯誤.一個周期通過路程為20 cm,所以2 s內(nèi)通過的路程為 20X-2-= 100(cm).0.4(3)正確.答案(1)X (2) X (3) V2.在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為M和M的小球做上下自由振動.已知它們在時間兀，t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分另1J由s1=5sin 2t + , s2= 10cos 2t確定，則當(dāng)t

13、 = s時，s1與s2的大小關(guān)系是()A. s1 >s2C. s1 = s238. s1< s2D.不能確定當(dāng) t=3時，s1=5sin ? + ? =5sin U=5,336224兀 _1_當(dāng) t = -3-時，s2= 10cos-3-= 10X 2 =一5,故 Si = s2.3 . 一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位 移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s=3cos yjg. 十七,其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺 動的周期是1 s時，線長l =cm.,-2 兀 gg 2 . g由已知得廠=1,所以 卜=2兀,= 4兀，l = 4兀2.4 .如圖所示，某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)表達式；(其中t以年初以來的月為計量單位 )(2)估計當(dāng)年3月1日動物種群數(shù)量.解(1)設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于t的解析式為y=Asin( 3t+6)+b(A> 0,>0),則 -A+ b=700,A+ b=900,解得 A= 100, b=800.又周期 T= 2X（6 0） = 12,2兀 兀71w = -t-= ,y= 100si