2020-2021上海中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)專項(xiàng)易錯(cuò)題

1、2020-2021上海中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)專項(xiàng)易錯(cuò)題一、旋轉(zhuǎn)1.（操作發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1, 4ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°）,旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/ DCE=30,連接AF,EF.求/ EAF的度數(shù)；DE與EF相等嗎？請說明理由；（類比探究）（2）如圖2, 4ABC為等腰直角三角形，/ACB=90,先將三角板的 90°角與/ACB重合，再將三角板繞點(diǎn) C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角大于0。且小

2、于45。），旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=45,°連接AF, EF.請直接寫出探究結(jié)果：/EAF的度數(shù)；線段AE, ED, DB之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1) 120° DE=EF； (2)90° AE2+DB2=DE2【解析】試題分析：(1) 由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC, /BAC=/ B=60。，求出ZACF=Z BCD,證明 AC陣BCD 得出 / CAF=/B=60 ;求出 Z EAF=Z BAC+Z CAF=120 : 證出/ DCE=Z FCE由SAS證明 DC電 F

3、CE得出DE=EF即可；(2) 由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC, /BAC=/B=45°,證出Z ACF=Z BCD,由SAS證明ACFBCD,得出 /CAF=/B=45 °, AF=DB,求出 Z EAF=Z BAC+Z CAF=90 °證出/DC&/FCE由SAS證明aDC9 FCE得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定 理得出AE2+AF2=EF?,即可得出結(jié)論.試題解析：解：(1)- ABC是等邊三角形，AC=BC,/ BAC= Z B=60 :/ DCF=60 ；/ ACF=Z BCD.在 4ACF 和 4BCD 中，/ AC=BC, Z

4、 ACF=Z BCD, CF=CD,AACFABCD (SAS),/ CAF=Z B=60 :/ EAF=Z BAG/ CAF=120DE=EF.理由如下： / DCF=60 : / DCE=30 :，/ FCE=60 - 30 =30 : ，/ DCE=Z FCE 在 DCE和 FCE 中， CD=CF, Z DCE=Z FCE CE=CE, DCE FCE (SA§ , . DE=EF；(2).一ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,，AC=BC,/BAC=/B=45： ./DCF=90；/ ACF=/BCD.在 ACF 和 ABCD 中，/ AC=BC,ZACF=

5、Z BCD, CF=CD,AACFA BCD (SAS , ，/ CAF=/B=45 ； AF=DB,/ EAF=Z BAC+Z CAF=90 -AE2+DB2=DE2,理由如下： / DCF=90 : D DCE=45 ; ：. / FCE=90 - 45 =45 : ：. / DCE=Z FCE 在 DCE和 FCE 中， CD=CF, /DCE=/FCE CE=CE, DCE FCE (SAS , ，DE=EF.在 Rt AEF中，AE2+aF2=eF?,又AF=DB, AE2+DB2=DE2.2 .請認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1:如圖1,在等腰直角三角形 A

6、BC中， ACB 90°, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B1 2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為一a2.（提示：過點(diǎn)D作BC2邊上的高DE,可證VABCVBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中， ACB 90°, BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請用含a的式子表示VBCD的面積，并說明理由.3探究3：如圖3,在等腰三角形 ABC中，AB AC , BC a,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過 程.1 2【答案

7、】（1）詳見解析；（2） VBCD的面積為一a ,理由詳見解析；（3） VBCD的面 2_ , 1 2積為a2.4【解析】【分析】1如圖1,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出 VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論；2如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn) E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE ,就有DE BC a.進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論;3如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,過點(diǎn)D作DE BC的延長線于點(diǎn)E,由等腰三角形DE,由1 的性質(zhì)可以得出 BF BC,由條件可以得出 VAFB且VBED就可以得出BF

8、 2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,過點(diǎn)D作DE CB交CB的延長線于E,BEDACB 90°，由旋轉(zhuǎn)知，AB AD , ABD 900,ABCDBE 90°，Q A ABC 90°,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE ,AB BDVABC VBDE AASBC DE a,Q SVBCD1一BC DE , 2SVBCD1a2;21 22 VBCD的面積為一a , 2理由：如圖2,過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E,BED ACB 90° ，Q線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,AB

9、 BD , ABD 900,ABC DBE 900,Q A ABC 900,A DBE , 在VABC和VBDE中，ACB BEDA DBE ,AB BDVABC VBDE AAS ,BCQ SVBCDSVBCDDE a,1 - BC DE ,21 2-a ;23如圖3,過點(diǎn)A作AF BC與F,過點(diǎn)D作DEBC的延長線于點(diǎn)E,c _1 一 1AFB E 90°, BF - BC -a, 22FABABF 900,Q ABD 900,ABFDBE 900,FAB EBD ,Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，AB BD , 在VAFB和VBED中,AFB E FAB EBD,AB BDV

10、AFB VBED AAS ,1 BF DE -a, 21 111 2Q SvbcdBC DE a a a ,2 2 24八 二二- 11 2VBCD的面積為一a .4【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性 質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運(yùn) 用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵 .3.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A (3, 0),點(diǎn)B (0, 4),把ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得AB。'，點(diǎn)B,。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 B； 0.(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，求BB的長；(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為120

11、°時(shí)，求點(diǎn)0'的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，邊 0B上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 P；當(dāng)O'P+AP取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果即可)【答案】(1) 5 亞；(2) 0' ( 9 ,還);(3) P' ( 27 , 63 ) 2255【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋轉(zhuǎn)判斷出 ABB是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；(2)先判斷出/HAO'=60：利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AH, 0H,即可得出結(jié)論；(3)先確定出直線 0'C的解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn) P的坐標(biāo)，再利用含 30度角的直角三角 形的性質(zhì)即可得出結(jié)論

12、.【詳解】(1) . A (3, 0) , B (0, 4) , .1.0A=3, 0B=4, ，AB=5,由旋轉(zhuǎn)知，BA=B'A,Z BAB'=90ABB'是等腰直角三角形，BB=亞 AB=5后；(2)如圖 2,過點(diǎn) 0'作 0'H，x 軸于 H,由旋轉(zhuǎn)知， 0'A=0A=3, Z 0A0'=120 °, / HAO'=60 Z HO'A=30 :AH=-A0'=- , 0H=V3AH=33,_ _9OH=OA+AH=-2，.O' ( 9,述)；22(3)由旋轉(zhuǎn)知，AP=AP,O'P+A

13、P=O'P+AP.如圖3,作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C,連接O'C交 y 軸于 P,. O'P+AP=O'P+CP=O'C,此日O'P+AP 的值最小.丁點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，C(-3, 0).O' ( 9,3/3), 直線O'C的解析式為 y=3x+3,令 x=0,，y=3Z3,，P(0,2253近),.O'P=OP=3V3 ,作 P'DO'H于 D.O'D=-O'P'=3- , 21055 / B'O'A=/ BOA=90 ； / AO'H=30 ；/ DP&

14、#39;O'=30 ,P'D=V3 O'D=, -DH=O'H- O'D=63 , O'H+P'D=-27 , . P 0 6Z3 ) 10555 ' 5圖3【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.4.如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AE,將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)90°,得到AF,連接EF,交對角線BD于點(diǎn)G,連接AG.(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；(2)判定AG與EF的位置關(guān)系并證明；(3)當(dāng)AB=3,

15、 BE=2時(shí)，求線段 BG的長.【答案】(1)見解析；(2)見解析;(3) 2 .2(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;(2)先判斷出 ADFABE,進(jìn)而判斷出點(diǎn) C, D, F共線，即可判斷出 DF8 HEG, 得出FG=EG即可得出結(jié)論；(3)先求出正方形的對角線 BD,再求出BH,進(jìn)而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)補(bǔ)全圖形如圖所示，(2)連接DF由旋轉(zhuǎn)知，AE=AF, / EAF=90 , 四邊形ABCD是正方形，AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 ,° / DAF=Z BAE, .ADFAABE (SAS , .DF=B

16、E /ADF=/ ABC=90 ,° / ADF+/ ADC=180 ,° 點(diǎn)C, D, F共線， .CF/ AB,過點(diǎn)E作EH/ BC交BD于H,/ BEH=Z BCD=90 ,° DF/ EH,/ DFG=Z HEG,.BD是正方形 ABCD的對角線，/ CBD=45 ； .BE=EH / DGF=Z HGE, .DFGAHEG (AAS), .FG=EG .AE=AF, AGXEF；(3) .BD是正方形的對角線， BD=、. 2 AB=3 2 ，由(2)知，在 RtBEH中，BH=V2bE=2&,.dg=bd-bh=、.2由(2)知，ADFGAHE

17、G,.DG=HG,HG= 1 DH=2，BG=BH+HG=2. 2【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性 質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.5.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) G與C D不重合），以CG為一邊在正方形 ABCD外作正方形CEFG連接BG, DE.（1） 猜想圖1中線段BG線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明； 將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到如圖2情形.請（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb （ah k&

18、gt;0）,第（1）題 中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理由.（3）在第（2）題圖4中，連接DG BE,且a=3, b=2, k=1 ,求BE2+DG2的值.2【答案】（1）BG，DE, BG=DE;BG，DE,證明見解析；（2） BG±DE,證明見解 析；（3） 16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到三角形 DCE,從而判斷兩條直線之間的關(guān)系； 結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù) SAS仍然能夠判定 BC8 4DCE,從而證明結(jié)論； （2）根據(jù)兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到(

19、1)中的位置關(guān)系仍然成立；(3)連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把 BH+DG2轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長、寬平方和. 詳解：(1) BG ± DE, BG=DE;四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，.BC=DQ CG=CE /BCD=/ ECG=90,°/ BCG=Z DCE.-.BCGADCEBG=DE, / CBGN CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；. BG± DE.(2) AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb,BCCGb一,DCCEa又 / BCG=Z DCE,.-.BCGADCE/ CBG=Z CDE又 /

20、CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；BGXDE.(3)連接 BE、DG.根據(jù)題意，得 AB=3, BC=2, CE=1.5, CG=1,BG± DE, / BCD=Z ECG=90 °BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+CE?+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理.6.如圖 1, 4ABC 中，CA=CB, Z ACB=90 °,直線 l 經(jīng)過點(diǎn) C, AFL 于點(diǎn) F, BEX l 于點(diǎn) E. (1)求證：4AC陣 CBE；

21、(2)將直線旋轉(zhuǎn)到如圖 2所示位置，點(diǎn) D是AB的中點(diǎn)，連接 DE.若AB=4J2 ,/CBE=30 :求 DE 的長.圄 11E【答案】(1)答案見解析；(2) J2褥【解析】試題分析：(1)根據(jù)垂直的定義得到 /BEG=/ACB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 /EBO/CAF,即可得到結(jié)論；(2)連接CD, DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BE=CF, CE=AF,證得 DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=&DE, EF=C&BE,進(jìn)而得至ij DE的長.試題解析：解：(1) BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°,

22、 / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點(diǎn) F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE與AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS)； BC AC(2)如圖 2,連接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BC&/ACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點(diǎn) F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE與ACAF中， EBC ACF ,ABCEACAF (AAS);BC ACB

23、E=CF. D 是 AB 的中點(diǎn)，CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BE CF/EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 BDE與CDF中， EBD FCD , BD CF.,.BDEACDF (SAS , ，/ EDB=/FDC, DE=DF. / Z BDE+ZCDE=90 ； / FDG/ CDE=90 ；即 / EDF=90 ；. EDF是等腰直角三角形，. EF= J5 DE,EF=CE+CF=CE+BE. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=4亞，. . BC=4 .又/ CBE=30°, .CE=1BC=2, BE=

24、 73 CE=2 V3 ,EF=CE+BE=2+273 ,DE=-EF =-23 = 72 + V6 .A點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形 斜邊上的中線的性質(zhì)，證得 BC9 4ACF是解題的關(guān)鍵.7.已知 RtDAB 中，/ADB=90°,扇形 DEF中，/ EDF=30；且 DA=DB=DE 將 RtADB 的 邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形 DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針方 向旋轉(zhuǎn)，得到扇形 DE F'設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 “ (0°< "V 1800)(1)如圖 2,當(dāng) 0°&l

25、t; “V 90°,且 DF'/ AB時(shí)，求“；(2)如圖 3,當(dāng) a =120；求證：AF' =BE【答案】(1) 15。； ( 2)見解析.【解析】試題分析：(1) ./ADB=90, DA=DB, . . / BAD=45 , . DF'/AB, / ADF 2BAD=45 ；a =45- 30 =15 ;(2) a =120°,，/ADE =120；，/ADF =120° +30° =150/ BDE =360- 90° -|rDA=DB120 =150 °, ./ADF' 2BDE',

26、在 ADF'和 BDE'中，NADF'=/EDE', W =DF'.ADFABDE； . . AF ' =BE'考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)； 全等三角形的判定和性質(zhì).8.如圖2,邊長為2的等邊 ABC內(nèi)接于。O, 4ABC繞圓心O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 r W, A'分別與AB、AC交于E、D點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為優(yōu)(0 ,工”360°).圖1圖2(1)當(dāng)R=_, A B,qABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中的第一次完全重合；(2)當(dāng)以=60°時(shí)(如圖1),該圖()A.是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形B.是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形C.既是軸對稱

27、圖形又是中心對稱圖形D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形(3)如圖2,當(dāng)當(dāng)父狀120', 4ADE的周長是否會發(fā)生變化，如會變化，說明理由，如 不會變化，求出它的周長.【答案】(1) 120° (2) C; (3)的周長不變.【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的中心角為120?？芍苯忧蠼?；(2)根據(jù)題意可知，當(dāng) 我=60°時(shí)，點(diǎn)A、小、B、E、C：為。的六等分點(diǎn)，所有的三 角形都是正三角形，由此可得到所有圖形即是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；(3)得到結(jié)論：周長不發(fā)生變化，連接根據(jù)弦相等，則它們所對的弧相等的性質(zhì)可得如二品，即招*國，再根據(jù)等弧所對的圓周角相等，

28、得由等角對 等邊的性質(zhì)可得 E/二附同理"二加7因此可求小四的周長+ FD + DAA + ED + DC = AC = 2 =【詳解】解：(1) 120°.如圖，可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得/ 0=120 ；C(3) 小DE的周長不變；理由如下：連接AA,T?國因昭局 ?，叼一融同理，DA = DC'曲 E的周長=EA + ED-DA即 E4+ED+DC. = AC = 2考點(diǎn)：正多邊形與圓，圓周角定理9.如圖所示，在 4ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE/ BC,如圖，然后將 ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖 ，然后將BD、C

29、E分別延長至M、N,使DM= ：BD, EN= =CE得到圖，請解答下列問題：(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系： 在圖 中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是 ；在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/ MAN與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜 想；(2)若AB= k AC(k> 1),按上述操作方法，得到圖 ，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/ MAN與/ BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】（1）BD=CE AM=AN , / MAN= / BAC理由如下：在圖中，DEBC, AB=AC .AD="AE."AR = AC, = £.CAEf.A

30、-A _ , AD - AE_在 ABD 與 AACE 中AABDAACE.BD=CE /ACE玄 ABD.在ADAM與 EAN中,11111 / AEN=Z ACE-+Z CAE,DMBD, ENCE, BD=CE，DM=EN, / ADM= / ABD+Z BAD,/ AEN=Z ADM.y.' AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN, / DAM=/EAN.，/ MAN= / DAE=/BAC.AM=AN, /MAN=/BAC.(2) AM=kAN, /MAN=/BAC.【解析】(1) 根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AE®4ADB,所以BD=CE; 根據(jù)題意可

31、知 Z CAE=BAD AB=AC, AD=AE,所以得到 BA4 4CAE,在 ABM和 ACN 中，11DM= BD, EN= CE：,可證ABM0ACN,所以 AM=AN ,即 / MAN= / BAC. 工人（2）直接類比（1）中結(jié)果可知 AM=k?AN, /MAN=/BAC.10.在AOB中，C, D分別是OA, OB邊上的點(diǎn)，將 4OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OC' D'(1)如圖1,若/AOB=90, OA=OB, C, D分別為 OA, OB的中點(diǎn)，證明： AC =BD; ACBD'(2)如圖2,若4AOB為任意三角形且 /AOB與，CD/ AB, AC與

32、BD交于點(diǎn)E,猜想ZAEB=程否成立？請說明理由.B【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析【解析】試題分析：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 OC=OC, OD=OD, /AOC±BOD),證出OC =OD由SAS證明AOC0BOD,得出對應(yīng)邊相等即可；由全等三角形的性質(zhì)得出 /OAC=/OBD,又由對頂角相等和三角形內(nèi)角和定理得出Z BEA=90即可得出結(jié)論；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 OC=O'C, OD=OD, /AOC 士 BOD),由平行線得出比例式=,得出 匕二=曳 證明AOCsBOD,得出/OAC 士 OBD再由對頂角相 oa oj m on等和三角形內(nèi)角和定理即可

33、得出/ AEB=).試題解析：(1)證明：.一OCD旋轉(zhuǎn)至ij 4OC 口 .OC=OC； OD=OD'，/AOC'/BOD； . OA=OB, C、D 為 OA、OB 的中點(diǎn)，.OC=OD, .OC' =Q D'；OA = OB= abod_ I在 AAOC和 ABOD 中，。匚二°口 ， .AOC 經(jīng)BOD' (SAS , .AC' =B D'延長AC'交BD'于E,交BO于F,如圖1所示： .AOC 經(jīng)BOD', / OAC' / OBD；又 / AFO=Z BFE, / OAC 廿 AFO

34、=90 , / OBD' / BFE=90 ,°/ BEA=90 ,° ACLBD'(2)解：/AEB7成立，理由如下：如圖 2所示：. OCD旋轉(zhuǎn)到 OC' ,D'.OC=OC； OD=OD； /AOCNBOD；1. CD/ AB,OC OD.ocf OD' -=，OA OB二OD, OB， 又/ AOC ± BOD, .AOCABOD/, / OAC' /OBD； 又 / AFO=Z BFE,/ AEB=Z AOB= Q考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).11.如圖1,正方形 ABC

35、D與正方形 AEFG的邊AB、AE (ABvAE)在一條直線上，正方形 AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 “在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、DG.(1)當(dāng)正方形 AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：BE=DG(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，連接FC,直接寫出/FCD的度數(shù)；(3)如圖3,如果=45°, AB =2, AEMx/2,求點(diǎn)G至U BE的距離.16小【答案】(1)證明見解析；(2) 45?；?35。； (3) S試題分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 AB=AD, AE=AG, / BAD=/ EAG=90 ,再求出/ BAE=

36、/ DAG,然后利用 邊角邊”證明 ABE和4ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等 證明即可.(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，據(jù)此求解即可1 1 1求解根據(jù)4*5赳由二產(chǎn)-釬4S廝七邛E二尸6卜=16 即可.試題解析：(1)如圖2,二四邊形ABCD是正方形，AB=AD, / BAE+/ EAD=90 .四邊形 AEFG是正方形，AE=AG, / EAD+Z DAG=90 :/ BAE=Z DAG.ABEAADG (SA§ .BE=DG.(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在直線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重合或G點(diǎn)C與重合，此時(shí)/FCD的度 數(shù)為45°或135°

37、;.5(3)如圖3,連接GR GE.由已知 a =45；可知/ BAE=45 .又GE 為正方形 AEFG 的對角線，ZAEG=45. AB/ GE.,/lK = 4V2, .GE =8.1 ,R A 口EG" - S 白 AEG = /正方= 16過點(diǎn)B作BHAE于點(diǎn)H.=.|/7E = 3V.7 = 2V.5.AB=2,.設(shè)點(diǎn)G至ij BE的距離為h.1 15 a beg * h = - X X /? = 1點(diǎn)G至ij BE的距離為E二 3考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4.平行的判定和性質(zhì)；5.勾股定理；6.分類思想的應(yīng)用.12. (1)問題

38、發(fā)現(xiàn)如圖1.4ACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一條直線上.填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為.(2)拓展探究如圖2QACB和4DCE均為等腰直角三角形，/ACB=/ DCE=90，請判斷AD,BE的關(guān)系，并說明 理由.解決問題如圖3,線段PA=3點(diǎn)B是線段PA外一點(diǎn)，PB=5連接AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線 段AC,隨著點(diǎn)B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1) AD=BE, AD_I_ BE. (2) AD=BE, AD_I_BE. (3) 5-32 & PCW 5+32 .【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*BCE

39、(SAS ,得AD=BE, / EBC=Z CAD,延長BE 交AD于點(diǎn)F,由垂直定義得 AD± BE.(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證 AC*4BCE (SAS , AD=BE, / CAD=/ CBE由垂直定義得/OHB=90 , AD± BE;(3)作 AE±AP,使得 AE=PA 則易證 APEACP, PC=BE 當(dāng) P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最大，最大值=PB+PE故5-3J2WBEW 5+32.【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖1中， ACB與 DCE均為等腰直角三角形, .AC

40、=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCECD=CE .ACDABCE (SA§ ,.AD=BE, /EBC4 CAD延長BE交AD于點(diǎn)F,BC± AD, / EBC-+Z CEB=90,° / CEB=AEF / EAD+/AEF=90 , ° ./AFE=90即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案為AD=BE, ADXBE.(2)結(jié)論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖2中，設(shè) AD交BE于H, AD交BC于O. ACB與 DCE均為等

41、腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=90 , .ACD=Z BCE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCE ,CD=CE .ACDABCEE (SAS , .AD=BE, /CAD=/ CBE / CAO+/ AOC=90 ； A AOC=Z BOH, / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ；ADXBE,.AD=BE, AD± BE.(3)如圖3中，作 AEXAP),使得 AE=PA則易證 APEACP .PC=BE圖3-1中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2 , 圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時(shí)，

42、BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2 , .5-3 拒 WBEW 5短，即 5-3 亞 & PCW 5+32 -13-1本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定 和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三 角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.13.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A (1, 7)、B (5, 5)、C (7, 5)、D (5,1) .(1)將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段 BE.當(dāng)BE與CD第一次平行時(shí)，畫出 點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑，并直接寫出點(diǎn) A運(yùn)動(dòng)的路徑長；(2)線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以 得到另一條線段，直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).【答案】（1）見解析；J5兀；（2）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為（3, 3）或（6, 6） .【解析】【分析】（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心即可得到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑為弧線，再運(yùn)用弧長計(jì)算公式即可解答；（2）連接兩對對應(yīng)點(diǎn)，分別作出它們連線的垂直平分線，其