相交線與平行線奧數(shù)培訓(xùn)

1、相交線與平行線奧數(shù)培訓(xùn)在競賽試題中，平行和垂直是做為基礎(chǔ)知識應(yīng)用在一些綜合性的題目之中，單獨(dú)出題的情況很少，但當(dāng)平行和垂直的性質(zhì)與實際情況結(jié)合時，往往也會被做為新題型來考查.    【例1】 請說明在同一平面內(nèi)三條直線的位置關(guān)系及交點個數(shù).    【思考與分析】 本題有多種分類，如以兩條直線的位置關(guān)系分類，再考慮第三條直線的位置；又如以三條直線交點的個數(shù)分類等.下面我們就第二種分類加以說明.    解： （1）如圖1，三條直線互相平行，此時交點個數(shù)為0；    （2）如圖2，

2、三條直線相交于同一點，此時交點個數(shù)為1；    （3）如圖3，三條直線兩兩相交且不交于同一點，此時交點個數(shù)為3；    （4）如圖4，其中兩條直線平行，都與第三條直線相交，此時交點個數(shù)為2.    綜上所述，平面內(nèi)三條直線的交點個數(shù)為0或1或2或3個.    （如果按第一種情況進(jìn)行分類研究，又該如何呢？請大家思考一下.）            反思：求解中（2）、（3）兩種情況稱為三條直

3、線兩兩相交.當(dāng)題目中圖形不全或不確定時，我們一定要注意分類.    【例2】 （1）請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡單說明畫法.    （2）能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能，請畫出一例，如果不能，請簡述理由.   【思考與分析】 “6條直線相交且任意3條都不共點”，要解決這個問題，我們可以首先畫出兩條相交直線，這樣可以發(fā)現(xiàn)若不出現(xiàn)3條直線共點可以出現(xiàn)平行線.對于（2）中所求，可以根據(jù)（1）得到的結(jié)

4、論先對其進(jìn)行推理，不要盲目的畫圖.    解：（1）在平面上任取一點A，過A作兩直線m1與n1.在n1 上取兩點B、C，在m1上取兩點D、G.過B作m2m1，過C作m3m1，過D作n2n1，過G作n3n1，這時m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四點，如圖所示.由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都恰與另3條直線相交.    （2）在平面上不能畫出沒有3線共點的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交.     理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相

5、交，因兩直線相交只有一個交點，又因沒有3條直線共點，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個不同的交點.根據(jù)直線去數(shù)這些交點，共有3×721個交點，但每個交點分屬兩條直線，被重復(fù)計數(shù)一次，所以這7條直線交點總數(shù)為因為這與交點個數(shù)應(yīng)為整數(shù)矛盾.所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來的.   【例3】 平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（      ）對.    A. 4對   B. 8對    C.

6、12對   D. 16對    【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線AB和CD 被直線EF所截”、“直線AB和CD 被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD 被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線EF所截”、“直線GH和CD 被直線EF所截”.每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16對，因此選擇D.    【小結(jié)】解這類問題，關(guān)鍵是如何用圖形分解法把圖形分成若干個“三線八角”.【例4】 有

7、10條公路（假設(shè)公路是筆直的，并且可以無限延伸），無任何三條公路交于同一個岔口，現(xiàn)有31名交警，剛好滿足每個岔口有且只有一名交警執(zhí)勤，請你畫出公路示意圖.    【思考與解】 我們可以把公路想象成直線，岔口想象成交點，由警察的人數(shù)及題意可知，10條直線剛好有31個交點.根據(jù)前面所學(xué)知識，平面上的10條直線，若兩兩相交，最多出現(xiàn)45個交點， 現(xiàn)在只要求出現(xiàn)31個交點，就要減去14個交點，這種情況下，通常采取兩種辦法：（1）多條直線共點；（2）出現(xiàn)平行線.根據(jù)題意，方法（1）不能實現(xiàn)，所以想到使用平行線.在某一方向上有5 條直線互相平行，則減少10個交點，若6條直線平

8、行，則可減少15個交點， 所以這個方向上最多可取5條平行線，這時還有4個點要去掉，換一個方向取3條平行線，即可再減少3個交點，這時還剩下2條直線與1個要減去的點，只須讓其在第三個方向上互相平行即可，如圖所示：    【小結(jié)】 本題考查我們對知識的綜合應(yīng)用能力，在做題時，要牢牢把握平行線的性質(zhì)，與圖形結(jié)合，從簡單的圖形推理找出問題的入手點.【例5】 把正方形ABCD邊AD平移得到EF， 作出平移后的正方形能有幾種作法？        【思考與分析】 據(jù)題意，平移是指正方形整體平移，只有一個.我們根據(jù)以前學(xué)過

9、的作圖方法和本周學(xué)的平移作圖，作法有如下幾個：     作法1： 過E作EF的垂線，截取EGEF，過G點作EF的平行線，截取GHEF（注意截取方向），連接FH就得到平移后的正方形.如圖（1）.    作法2： 過E、F分別作EF的垂線，截取EGEF，F(xiàn)HEF（注意截取方向），連接GH，就得到平移后的正方形.如圖（1）.     作法3： 過F作EF的垂線，截取FHEF，過H點作EF的平行線，截取GHEF（注意截取方向），連接EG就得到平移后的正方形.如圖（1）.    作法：

10、 過E作AC的平行線，過F作BD的平行線，截取EH=AC，F(xiàn)G=BD（注意截取方向）.連接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如圖（2）.    作法5： 連接EA，F(xiàn)D，過B點作EA的平行線，過C作FD的平行線.截取BG=EA，CH=FD（注意截取方向）.如圖（3）.連接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.       【例6】電腦游戲上有一種俄羅斯方塊的游戲，游戲規(guī)則：在所給各種各樣的方塊中，通過平移、旋轉(zhuǎn)的方式，羅列方塊使之排滿每一橫行，每排滿一行，便消去一行，得100分，依次類推（本題特殊

11、規(guī)定，只準(zhǔn)平移），小方塊在屏幕頂端居中出現(xiàn)（奇數(shù)列時居中偏左）現(xiàn)在電腦屏幕上顯示（如圖所示）.          （1） 若按規(guī)定，想得分，甲方塊需要怎樣平移，才可能直接得分或為以后打下得分基礎(chǔ)？乙方塊呢？     （2） 若你把甲方塊放到左側(cè)，發(fā)現(xiàn)屏幕已暗示出丙方塊為形狀，在這種情況下，丙方塊只需如何移動，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）    【思考與分析】 第（1）題觀察甲方塊與底部方塊的特點，我們可得出平移方式.第（2）題將

12、丙方塊通過平移嵌入空隙之中，即可得分.    解： （1） 甲方塊可左移3個單位，下移7個單位放到屏幕左側(cè)；乙方塊需向右平移3個單位，下移8個單位，放到屏幕右側(cè).（可用其他平移方式）    （2） 丙方塊下移7個單位，便可排滿2行，得200分.    【小結(jié)】 解本題的關(guān)鍵是將各個方塊通過平移嵌成一個長方形，需根據(jù)方塊和現(xiàn)有圖形選擇合理的平移方式.【例7】如圖1，已知直線l1l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，在C、D之間有一點P，如果P點在C、D之間運(yùn)動時，問PAC，APB，PBD之間的關(guān)系是否

13、發(fā)生變化.若點P在C、D兩點的外側(cè)運(yùn)動時（P點與點C、D不重合），試探索PAC，APB，PBD之間的關(guān)系又是如何？        【思考與分析】若P點在C、D之間運(yùn)動時，我們只要過點P作出l1的平行線即可知道APBPAC+PBD；若點P在C、D兩點的外側(cè)運(yùn)動時（P點與點C、D不重合），則可以分為如圖2和如圖3兩種情形，同樣分別過點P作出l1或l2的平行線，即有APBPBDPAC或APBPACPBD.    解：若P點在C、D之間運(yùn)動時，則有APBPAC+PBD.理由是：如圖1，過點P作PEl1，則APEPAC，又因為l1l2，所以PEl2，所以BPEPBD，所以APE+BPEPAC+PBD，即APBPAC+PBD.    若點P在C、D兩點的外側(cè)運(yùn)動時（P點與點C、D不重合），則有兩種情形：（1）如圖2，有結(jié)論：APBPBDPAC.理由是：過點P作PEl1，則APEPAC，又因為l1l2，所以PEl2，所以BPEPBD，所以APBBPE-APE，即APBPBDPAC.    （2）如圖3，有結(jié)論：APBPACPBD