2019-2020學(xué)年浙江省紹興市諸暨市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

1、2019-2020學(xué)年浙江省紹興市諸暨市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1 .以點(diǎn)2, 3為圓心，3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()2 222A.(x 2)(y3)3B.(x2)(y3)9C.(x 2)2(y3)23D.(x2)2(y3)29B由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義，即得解 .解：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案為 (x 2)2 (y 3)2 9故選：B點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知 x, y R , “ x 0且 y 0” 是 “ xy 0” 的()A.充分不必要B.必要不充分C.充要條件D.既不充分也不必要A利用不等式的性質(zhì)，由x 0且y 0,可證明

2、xy 0,反之若xy 0 ,也可以推出x 0且y 0 ,即得解.解：若x 0且y 0,顯然xy 0 ,但是若xy 0,也可以推出x 0且y 0,故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了充分必要條件，考查了學(xué)生綜合分析，邏輯推理的能力，屬于基礎(chǔ)題.13.平行于直線y x且過(guò)2,1的直線方程為()2A. 2x y 3 0B. 2x y 5 0C. x 2y 0D. x 2y 4 0兩直線平行，若斜率存在，則斜率相同，根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得解 解：1兩直線平行，若斜率存在，則斜率相同，故 k -,2，、r）1，根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得 y 1-（x 2）,化簡(jiǎn)得x 2y 4 0故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查了過(guò)定點(diǎn)與已知直線平行的直

3、線方程,考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線m , n ,平面,則下列說(shuō)法：m m n m ; m/m/n;m/n m/ ；其中正確的個(gè)數(shù)（）A. 1B. 2C. 3D. 4本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系，x5.若實(shí)數(shù)x , y滿足約束條件 xyA. 8B. 4C畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化 z x 3y為y時(shí)，z x 3 y取得最小值，聯(lián)立求出根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判定,根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷，根據(jù)線面平行的性 質(zhì)可判斷，根據(jù)線面平行的判定可判斷解： 對(duì)于根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知正確；對(duì)于根據(jù)線面垂直的判定必須是平面外一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直才能判定線面垂直故錯(cuò)；對(duì)于根

4、據(jù)線面平行的性質(zhì)，線與面平行不能推出與任意一條直線平行故錯(cuò)；對(duì)于根據(jù)線面平行的判定，可知正確故選：B 點(diǎn)評(píng): 考查了學(xué)生概念理解，邏輯推理能力，屬于中檔題2y 2 0y 2 ，則z x 3y的最小值（）2C. 2D. 01 e -x z,可知當(dāng)直線與可行域相交，且截距最小3C點(diǎn)坐標(biāo)即得解.解: 如圖，畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化 z x 3y為y1 x z3z x 3 y取得最小值.由圖像可知，經(jīng)過(guò) C點(diǎn)時(shí)，取得最小值聯(lián)立x 2y 2x y 20C(2,0)可知當(dāng)直線與可行域相交，且截距最小時(shí)，故 Zmin 2 3 0 2故選：C 點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力

5、，屬于基 礎(chǔ)題.6.雙曲線y_ x2 1,則焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為（）3A. 1B.、2C.、.3D. 2A由雙曲線方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式即得解.解：2雙曲線方程：£ x2 1,3可得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,2 ,漸近線方程為y J3x 0 ,由點(diǎn)到直線的距離公式可得 d -11 （故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的基本性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（)D. 3由三視圖可知，該幾何體為三棱柱 ABCABC1中割掉一個(gè)三棱錐 A ADE得到的幾何體，用割補(bǔ)法V VABC A1B1C1 VA

6、 ADE 可得解.解:如下圖所示,該幾何體為三棱柱 ABCAB1ci中割掉一個(gè)三棱錐ADE得到的幾何體11一,3VVABC ABG VA A1DE故選：A 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問(wèn)題，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.8 .如圖兩正方形 ABCD, CDFE所在的平面垂直，將 EFC沿著直線FC旋轉(zhuǎn)一周,則直線EC與AC所成角的取值范圍是（）B.712,12C.,12 2D.可證得AF AC故 ACF一周， CEAECFFCA,且3，CEFECF 4ACF,當(dāng) EFC沿著直線FC旋轉(zhuǎn)ECF ,結(jié)合線線角的取值范圍即得解.解:如下圖所示,£連接

7、AF,因?yàn)檎叫?ABCD和CDFE ,則ADFD CD , AD DC DF又因?yàn)槊鍭BCD面 CDFE ,面 ABCDI 面 CDFE則AD面 CDFE因止匕ADDF .因此AF2 AD2DF2，AC2 AD2 DC2 , CF 2CD2DF 2,則 AF ACCF因此ACF因?yàn)镋CF則當(dāng)EFC沿著直線FC 旋轉(zhuǎn)一周， CEA ECFFCA12CEF ACFECF ,12當(dāng) CEF為銳角或直角時(shí)，直線 EC和AC所成角的等于 CEF當(dāng) CEF為鈍角時(shí)，直線EC和AC所成的角等于 CEF的補(bǔ)角因此直線EC和AC所成的角的取值范圍是,故選：C12 2點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中直線與直線的夾角，考查

8、了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.9 .正方體ABCD ABiGDi中，在 AB）內(nèi)部（不含邊界）存在點(diǎn) P ,滿足點(diǎn)P到平面ACCA的距離等于點(diǎn)P到棱BBi的距離.分別記二面角P AD B為，P AC B為 ，P BC A為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.確C如圖連接PE , PF , PG ,記C.D.以上說(shuō)法均不正PFQ ,因此tan PQ, QEtanPQ, tan QGPQ，比較長(zhǎng)度關(guān)系即得解QF解:如圖所示,因此 PB1 PG1,作PQ 面ABCD于Q ,作QEAD 于 E , QF BC 于 f , QG AC 于 G ,連PE, PF , PG ,則 PEQ

9、 , PGQ , PFQ .因此tanPQQE 'tanPQQG 'tanPQQF作 PE1 入口1于£1, PF1 B1cl 于 F1, PG1 1于61,PB1即點(diǎn)P到棱BB1的距離,PGi即點(diǎn)P到平面ACC1A1的距離，因?yàn)?QF PF1 PB1 PG1 QG ,因此 tan tan ,因?yàn)?QG PG1 PE1 QE ,因此tan tan綜上有：tan tan tan ,即，故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何法研究二面角的大小，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題 .2210 .已知雙曲線與_y2 1 (a 0,b 0),過(guò)雙曲線的左焦

10、點(diǎn)F c,0的直線 a bx J2y c交雙曲線的漸近線與 A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M 2c,0滿足MA | MB ,則雙曲線的離心率eA. 3.4B 3.2D. 38. 2聯(lián)立直線與兩條漸近線，得到 A, B點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn) M在線段AB的中垂線上，可得b21 口丘彳 1,即得解.a28解:聯(lián)立直線xc與兩漸近線方程 yx聯(lián)立方程5、2y 2by - xa、. 2ac5b .2a、/2bc5b、2a聯(lián)立方程、,2ac5b 2aJ2bc5b2ax 5J2y c2by-xa.2ac 2bc5b . 2a , 5b 2a2ac 、. 2bc5b 2a,5b J2a從而AB的中點(diǎn)為N2a2c5、2b2c2

11、5b2 2a2,25b2 2a2由于點(diǎn)M在線段AB的中垂線上，從而直線 MN的斜率為，即5、. 2b2c25b2 2a252a2c2c 2-2_2/c故bya33/22.2425b 2a1-，從而a :b :c 8:1:9 ,故雙曲線的離心率為 8故選：A 點(diǎn)評(píng): 本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能 力，屬于中檔題.二、填空題11 .已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為 2的正方形，則圓柱的側(cè)面積為 .4試題分析：由已知圓柱的高為2,底面半徑為1,所以圓柱的側(cè)面積為 2 2 4.【考點(diǎn)】1.圓柱的側(cè)面積；12 .已知拋物線C:x2 4y ,點(diǎn)P 3,m在拋物線上，

12、則該拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為;點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為.(0,1)-429由拋物線C:x2 4 y可得F點(diǎn)坐標(biāo)，代入 P坐標(biāo)可解得m -,運(yùn)算即可得解點(diǎn) P到4準(zhǔn)線的距離.解:焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,1 ,9點(diǎn)P 3,m在拋物線上，則 m E4 913從而點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為9 1 44,小，、13故答案為：（0,1）, 134點(diǎn)評(píng)： 本題考查了拋物線的方程和基本性質(zhì)，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.13.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著 九章算術(shù)商攻 中，闡述：“斜解立方，得兩堵.其一為陽(yáng)馬，一為鱉月需.陽(yáng)馬居二，鱉月需居一”.若稱為“陽(yáng)馬”的某四棱錐如圖所示，ABCD為矩形，PD 面ABCD,PD AD

13、3, AB 4,則PA與BC所成的角 PB與平面PDC所成角的正弦值 .3.344534PA與BC所成的角等于PA與AD所成的角，根據(jù)題設(shè)條件即得解，因?yàn)?BC ±平面PDC ,則PB與平面PDC所成角為 BPC ,根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系即得解.解：PA與BC所成的角等于PA與AD所成的角，即PAD 45;因?yàn)锽C ±平面PDC ,則PB與平面PDC所成角為 BPC ,所以BC 33.34sin BPC .PB . 3434故答案為:45,3x3434點(diǎn)評(píng):本題考查了空間中的線線角，線面角，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能 力，屬于中檔題.14 .過(guò)原點(diǎn)O有一條直線l ,它

14、夾在兩條直線li：2x y 2 0與l2：x y 3 0之間的線段恰好被點(diǎn) O平分，則直線l的方程為.4y 5xa, b,得到A點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)兩交點(diǎn)分別為 A(a,2a 2) , B(b, 3 b),利用中點(diǎn)為原點(diǎn)求解即得解.解：設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(a,2a 2), B(b, 3 b),a b 02a 5 b5 a3故點(diǎn)A 5,4,53 34x.5b 3所以直線l的方程為y一一一 4故答案為：y x5點(diǎn)評(píng): 本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于中檔題.15 .已知直線l：(3k 1)x (1 k)y 4k 4 0 ,圓C的方程為：x2 y2 6x 8y 0 ,則直

15、線l恒過(guò)定點(diǎn) ;若直線與圓相較于 A,B兩 點(diǎn)，則弦 ab|長(zhǎng)度的最小值 ；2,24.5轉(zhuǎn)化直線為(3x y 4)k x y 4 0,恒過(guò)定點(diǎn)，因此3x y 4 0且x y 4 0聯(lián)立即得定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線與 CM垂直時(shí)，弦 AB最短，利用勾股定理 即得解.解：Q (3k 1)x (1 k)y 4k 4 0,(3x y 4)k x y 4 0,3x y 4 0 x 2x y 4 0 y 2所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)M 2,2 ._22_22_Qx y 6x 8y 0 (x 3) (y 4)25 C(3,4), r 5當(dāng)直線與CM垂直時(shí)，弦AB最短，AB最小值2jr2 CM2 2后飛4痣故答案為：2,2

16、, 4J5.點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16 .如圖，正三棱柱 ABC AB1C1中，各棱長(zhǎng)均等于2, M為線段BBi上的動(dòng)點(diǎn)，則平面ABC與平面AMCi所成的銳二面角余弦值的最大值為 空2如圖建立空間坐標(biāo)系，求解平面 ABC與平面AMC1的法向量，利用二面角的向量公式 即得解.解： 如圖建立空間坐標(biāo)系,則 A(點(diǎn),0,0) , M(0,1,t), Ci(0, 1,2),uuur uurAC1J3, 1,2 , C1M(0,2,t 2),r 設(shè)平面AMCi的法向量為ni (x,y,z),uuuv rACi ni 0, 3x y

17、2z 0muuV rCiM ni 0 2y (t 2)z 0J t 2 c - 取 ni=,2 t,2 ,3r 平面ABC的法向量為n2 (0,0,i),cos2(2。2 3二(ti)2 62故答案為:點(diǎn)評(píng): 本題考查了向量法求解二面角，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬 于中檔題.217 .已知曲線C：L y2 i (m 0) , A 0,i , B 0, i , P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng) mP與A, B重合時(shí)，PA, PB的斜率之積為 ； | PB| 2恒成立，則 m的取值范圍是i0 m 2m設(shè)P(x,y),用點(diǎn)坐標(biāo)表示kPA kPB ,利用橢圓方程化簡(jiǎn)即得解；轉(zhuǎn)化 | PB|

18、 2為Jx2 (y 1)2 2，用橢圓方程替換x,可得m，結(jié)合y ( 1,1)即得解.解：設(shè) P(x,y)則y 1 y 1kPA kPBx x|PB| ,x2-(y-1)2' ,m1 y2 .22.所以m 1y(1y)4在y所以 m 1y2(1y)24在 y(4 (1 y)2 y 32m 2- 1 在1 y y 1 y 12所以m 1 2,y 1 . min故0 m 21故答案為：一，0 m 2m點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓中的定值和取值范圍問(wèn)題, 能力，屬于中檔題.y 12xy2 1m1；22x x m(y 1)2 2在y 1,1上恒成立，1,1上恒成立，顯然當(dāng) y1時(shí)成立,1,1)上恒成立

19、,y ( 1,1)上恒成立，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算三、解答題18 .已知原命題是“若x2 x 6 0則x2 2x 8 0” .(1)試寫(xiě)出原命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷所寫(xiě)命題的真假；(2)若“(x a)(x 2) 0”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù) a的取 值范圍.(1)逆命題：“若x2 2x 8 0則x2 x 6 0"，假命題；否命題：“若x2 x 6 0 則x2 2x 8 0"，假命題；逆否命題：“若x2 2x 8 0則x2 x 6 0 "，真命 題；(2) a 3(1)根據(jù)逆命題，否命題，逆否命題的定義，可得逆命

20、題，否命題，逆否命題，求解對(duì)應(yīng)不等式的范圍，以及原命題，逆否命題同真假，逆命題否命題同真假，可得解；(2)若"(x a)(x 2) 0”是 2 x 6 0 ”的必要不充分條件，則不等x2 x 6 0的解2 x 3構(gòu)成的集合為(x a)(x 2) 0的解集的真子集.分a 2, a 2, a 2三種情況討論即得解.解：(1)根據(jù)逆命題，否命題，逆否命題的定義，逆命題：“若x2 2x 8 0則x2 x 6 0”；否命題：“若x2 x 6 0則x2 2x 8 0”；逆否命題：“若x2 2x 8 0則x2 x 6 0” .x2 x 6 0即：2x3;x2 2x 8 0 即：2x4可得：原命題“

21、若x2 x 6 0則x2 2x 8 0”是真命題，逆命題“若x2 2x 8 0則x2 x 6 0”是假命題，根據(jù)原命題，逆否命題同真假，逆命題否命題同真假，可得：逆否命題為真，否命題為假.(2)若“(x a)(x 2) 0”是“x2 x 6 0 ”的必要不充分條件，則不等式x2 x 6 0的解2 x 3構(gòu)成的集合為(x a)(x 2) 0的解集的真子集.(x a)(x 2) 0對(duì)應(yīng)方程的根為xi a,x22若a 2 ,不等式的解為x2,不成立；若a 2,不等式的解為a x 2,不成立；若a 2 ,不等式的解為 2 x a,若2 x 3構(gòu)成的集合是 2 x a構(gòu)成的集合的真子集，則 a 3.綜上

22、：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 3.點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的四種形式以及充分必要條件，考查了學(xué)生綜合分析，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，分類(lèi)討論的能力，屬于中檔題.19 .如圖，空間幾何體 ABCDEF中，四邊形 ABCD, CDEF是全等的矩形，平面CDEF 平面ABCD ,且BC 2, AB 1 , M , N分別為線段AE , AD的中點(diǎn).(1)求證：MN/平面BCF;(2)求證：FM BN(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析(1)(2)由平面CDEF平面ABCD ,可證得FC 面ABCD , MN /FC ,所以MN面ABCD,可得MN BN,勾股定理可證明 BN CN ,故BN 平面MNCF ,即得證.解

23、:(1)由M , N分別為線段AE , AD的中點(diǎn),可證得MN / /ED ,又ED/FC ,由傳遞性得到 MN /FC即得證;MN /ED,又 ED/FC ,所以 MN /FC ，F(xiàn)C 平面BCF ,且MNMN /平面 BCF(2)證明：Q平面CDEF平面ABCD,平面CDEF I平面ABCDFC CD , FC 面 CDEF ,FC 面 ABCD ,MN / /FC ,所以 MN 面 ABCD , BN 面 ABCDMN BN在 BCN 中，bn CN 72，BC 2,所以 BN CN , MN CN N從而B(niǎo)N 平面MNCF ， FM平面MNCFFM BN .點(diǎn)評(píng):本題考查了空間中的平行

24、垂直關(guān)系，考查了學(xué)生空間想象， 邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于中檔題.20 .已知拋物線y2 4x,與圓F：(x 1)2 y2 1 ,直線MN : x my 4與拋物線相 交于M , N兩點(diǎn).(1)求證：OM ON .(2)若直線MN與圓F相切，求 OMN的面積S.(1)證明見(jiàn)解析；(2) 16J322(1)直線與拋物線聯(lián)立，可得 yy216 , x1x2 里 至 16,可證得4 4uum uurOM ON xx2 y1y2 0，故得證；(2)由直線MN與圓F相切，可求得 m利用弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線距離公式，可求得MN ,d° mn ,即得解.解：2y 4my 16 0,x my 4(

25、1)設(shè) M x1,y1 , N x2，y2 聯(lián)立 丫2 4x22y1y 216 Q x1 x2 "16 ,4 4uuuu uurOM ONx1x2 y1y2 0,即 OM ON .(2) Q直線MN與圓相切，d2-m 8,原點(diǎn)到直線MN的距離MN v1 m21 y1 y2|mTcy!y2)24yly2 24®,1 14-S -MN dO MN 24.3 16.3.2 2 3點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能 力，屬于中檔題.21 .如圖，斜三棱柱ABC ABC1中，ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)Ai在底面ABC上的射影為BC

26、的中點(diǎn)O, G在線段AO上，AG 2GO, H為OCi與BiC的交點(diǎn),若BBi與平面ABC所成角為一.4(1)求二面角Bi OCi A的余弦值；(2)求直線GH與平面ABC所成角的正弦值.(i)立；(2)變 44(i)以O(shè)C, OA, OA為x, y, z軸建立空間坐標(biāo)系，分別求解平面 BQCi ,平面AOCi的法向量，利用二面角的向量公式即得解.(2)求解平面 ABC的法向量，利用線面角的向量公式即得解解：(i)由于點(diǎn)A在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)O, ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形,故OC, OA, OAi兩兩垂直。以O(shè)C , OA, OA為x, y , z軸建立空間坐標(biāo)系,可得 A(0,

27、百,0), A(0,0,m), Ci(1 也#), B( i,蟲(chóng)圾,uuur_ _ujir_ _uuir=OCi (i, J3,J3), OB ( i, J3,J3), OA(0,0, v3)r設(shè)平面BQCi的法向量f (x,y,z),則r uuuvf OCi 0 r uuuvf OBi0x . 3y 3z 0x . 3y 3z 0rf (0,1,1)；設(shè)平面AOCri的法向量n(x, y,z),貝Ur uuvn OCi 0 r ULivn OA 0x 、3y、3zcos n, T3zr tn ft J|n| |f |(后,0);面角Bi(2)易知Gi2.2OCiAi的余弦值為設(shè)平面ABC的法向量為易知,由圖象知二面角為銳角, 4,3 .33 , 3ULUT GH(0,0,1)，r uuur sin | cos v, GH |UUL