【精品】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高分點(diǎn)撥專題7.3超幾何分布(理科專用)(教師版)

1、第三講超幾何分布【套路秘籍】一千里之行始于足下 離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量，常用字母X, Y,己，T,表示，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.(2) 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為X1,X2,，Xi,，Xn,X取每一個(gè)值Xi(i=1,2, n)的概率P(X= Xi) = pi,則稱表XX1X2XiXnPp1p2pipn為離散型隨機(jī)變量 X的概率分布表.(3)離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)：pi > 0, i = 1,2 ,，n； P1+P2+ P+ Pn= 1.離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各

2、個(gè)值的概率之和.二.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的概率分布表為X01P1 pp其中0<p<1,則稱離散型隨機(jī)變量 X服從兩點(diǎn)分布.三.超幾何分布1 .概念：一般地，設(shè)有 N件產(chǎn)品，其中有 MW N)件次品.從中任取 n(nwN)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件CmCn-m廣品中次品的件數(shù)，那么 P(X= r)=-C7(r = 0,1,2 ,，l).即X01lPCMcN-m cnCcN： MCCn m其中 l =min(M, n),且 n< Nl, Mk N, n, M NC N*.如果一個(gè)隨機(jī)變量 X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.2 .超幾何分布描述的是不放回抽

3、樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是: 考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布四.離散型隨機(jī)變量的均值與方差1 .離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量 X的分布列為：XX1X2XXPPiP2PiPn(1)稱E(X) X1R X2P2XnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.n(2)稱D(X)(xi E(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量 X與其均值 日X)的平均偏離i 1程度，其算術(shù)平方根 JD(X)為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差.2 .均值與方差的性質(zhì)若丫= aX+ b,其中

4、a, b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且 E(aX+ b) =aE(X) + b；2D( aX+ b) = a D( X)【修煉套路】一為君聊賦今日詩(shī)，努力請(qǐng)從今日始考向一分布列性質(zhì)【例1】(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為下表，求 2X+ 1的概率分布.X01234P0.20.10.10.3m(2)若(1)中條件不變，求隨機(jī)變量y =|X-1|的概率分布.(3)若(1)中條件不變，求隨機(jī)變量y =X2的概率分布.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)由概率分布的性質(zhì)知，0. 2+0.1 +0.1 +0.3+m 1,得m 0.3.列表為X012342X+ 113579從而2X+ 1的概率分布為2X+ 1

5、13579P0.20.10.10.30.3(2)由(1)知m0.3 ,列表為X01234| X- 1|10123P( t =1) = P(X= 0) + P(X= 2) = 0.2+0.1 =0.3 ,P" =0) =P(X= 1) = 0.1 ,R 刀=2) =RX= 3) = 0.3 ,6P( Y = 3) = P(X= 4) = 0.3.故刀=| X1|的概率分布為0123P0.10.30.30.3(3)依題意知 P的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而X =乂的概率分布為【套路總結(jié)】1.利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保

6、證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).014916P0.20.10.10.30.3I 2.求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率時(shí)，根據(jù)概率分布，將所求范圍內(nèi)各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率相加即可，其據(jù)是互用王 3住加法公式【舉一反三】1 .設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X101P132 3q2 q【答案】3-年 26【解析】- +2 3q +q2= 1, . q23q + - = 0,解得 q='±Fp.又由題意知 0<q2<r, 1- q=l_T.33263262 k2.設(shè)隨機(jī)變量 七的概率分布為 P(己=k) = m- ( k= 1,2,3),則m的值為327【答案】38【解析】由概

7、率分布的性質(zhì)得P( E=1)+P(E =2)+ PH=3) = mx l+RTX 22 + mx 23=8m= 1, m= 27.3332 738考向二超幾何分布【例2-1】 某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有 7名同其中2人只會(huì)法語(yǔ)，2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ),現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn).求：(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；(2)在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的概率分布.4【答案】(1).(2)見(jiàn)解析_ dd 4【解析】(1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)，則 已丹=a=7.(2)由題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3C44P(X= 0)=*亞c4

8、c318P(X= 2)=c4d 12c7- = 3?RX= 1) =-CT = 3?C3 1rx=R二三，.x的概率分布為X0123P41812135353535【例2-2】為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策，鼓勵(lì)民眾不開車低碳出行，某甲乙兩個(gè)單位各有200名員工，為了了解員工低碳出行的情況，統(tǒng)計(jì)了 12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如下：(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求X;(2)現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取 4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩單位中各取2天)，記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為1,2,令

9、 =12,求 的分布列和期望.【解析】解得x(2)(1)8(1)8.10111214;(2)答案見(jiàn)解析.由題意105 107113 115 119 126 120 x 132 134 141，12210由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有 0,1,2,3,4.62)第45c7c3c6291第第 22522221111C3 c6C7C4C7c3c6c422C10C101-； 3211112C3 C6c4C7 c3c422CwC10225c；c： 2.225;的分布列為：01234P7911222452253225225 E八 7.91c 1。22/270123 4 4522532252255i【套

10、路總結(jié)】I超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)I超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題；,隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).| (2)超幾何分布的應(yīng)用條件Lp題類不必勺卷置.0s人二事上.一【舉一反三】1.某普通高中為了解本校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)一模考試數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，從中抽取了n名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(該校全體學(xué)生的成績(jī)均在60,150 ),按下列分組 60,70, 70,80,80,90 , 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 作出頻率分布直方圖，如圖1;樣本中分?jǐn)?shù)在 70,90內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2 :口班601，即du

11、i?| I123名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用表示所抽取的3名學(xué)生中為自招的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.頒網(wǎng) 60)80, 12D)加 j 150可能初錄取后梭層次?？票究谱哉?1)求n的值及頻率分布直方圖中的 x,y值；(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想， 以事件發(fā)生的頻率作為概率，若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取 2人，求此2人都不能錄取為專科的概率；(3)在選取的樣本中，從可能錄取為自招和?？苾蓚€(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取616 一.一【答案】(1) 0.014 ; (2) 院；(3)見(jiàn)解析625【解析】(1)由圖2知分?jǐn)?shù)在70,80的學(xué)生有4

12、名,一一 _、， 40.08又由圖1知，頻率為：0.008 10 0.08,則：n 500123P51533552046868204隨機(jī)變量的分布列為：50 100.01 ，10.04 2 0.08 2 0.1 0.12 0.16 0.24100.014(2)能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為：50 0.004 0.008 10 6人抽取的50人中，成績(jī)能被?？圃盒ｄ浫〉念l率是:635025從該校高三年級(jí)學(xué)生中任取1人能被?？圃盒ｄ浫〉母怕蕿?,25記該校高三年級(jí)學(xué)生中任取 2人，都不能被?？圃盒ｄ浫〉氖录锳則此2人都不能錄取為專科的概率：P A 1616(3)選取的樣本中能被?？圃盒ｄ浫〉娜藬?shù)為成績(jī)

13、能過(guò)自招線人數(shù)為：500.012 0.004又隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3256250.00810 12 人,C320C兔112 180 15C18816 204 'C138816 68'c6G22C38396 330;P816 680 3C6 C12204,15c33c552041236868204【運(yùn)用套路】一紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行X101Pabc,公差d的取值范圍是1.隨機(jī)變量X的概率分布如下:其中a, b, c成等差數(shù)列，則 R X|=1) =21133' 3【解析】. a, b, c成等差數(shù)列，2b=a+c.又 a+

14、 b+ c= 1,b=P(| X| = 1) = a+ c = .33-1.1.又 a= 3-d，c = 3+ d，1. 21. 2根據(jù)概率分布的性質(zhì)，倚 0 d , 0w.+ dw.,33331 1 一w d w -.33.2.若離散型隨機(jī)變量 X的分布列是X01Fcr -c3 Y c則常數(shù)c的值為. 1【答案】2【解析】由隨機(jī)變量的分布列知，9c2- O0, 3-800,11119c2 - c+3 - 8c= 1,c= $.故答案為：.032 68 90112 38 67212 3852330 47 63467 93737890803.我國(guó)城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別見(jiàn)下表:空

15、氣污染指數(shù)仝氣質(zhì)里空氣污染指數(shù)仝氣質(zhì)里0-50優(yōu)201-250中度污染51-100良251-300中度重污染101-150輕微污染>300重污染151-200輕度污染我們把某天的空氣污染指數(shù)在0-100時(shí)稱作A類天，101-200時(shí)稱作B類天，大于200時(shí)稱作C類天.下圖是某市2018年全年監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取的18天數(shù)據(jù)作為樣本做的莖葉圖：（百位為莖，十、個(gè)位為葉）(1)從這18天中任取3天，求至少含2個(gè)A類天的概率；(2)從這18天中任取3天，記X是達(dá)到A類或B類天的天數(shù)，求 X的分布列.23【答案】(1)硒；(2)見(jiàn)解析【解析】(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)有。2=。1七種,3

16、天中至少有2個(gè)A類天的取法種數(shù)有匚；5 +舄=，1種,p_ 23|所以這3天至少有2個(gè)A類天的概率- 40E；(2)才的一切可能的取值是3. 2. 1. 0,數(shù)學(xué)期望-+ 2 X -102102+ 1X +0X =當(dāng)W = 3時(shí)，*567P(X = 3) = = =,匾皿6m ；當(dāng)3=2時(shí)，小C%溫280 35PfX = 2)=，嗚機(jī)6 1。2當(dāng)N=1時(shí)，PH - %60.©,一 1J 一 一=-當(dāng)N 二 o時(shí)，P(X = O) = = = 816 34ie；的分布列為:X3210P,35115510210234344.在“五四青年節(jié)”到來(lái)之際，啟東中學(xué)將開展一系列的讀書教育活動(dòng).為

17、了解高二學(xué)生讀書教育情況，決定采用分層抽樣的方法從高二年級(jí)兒比二a四個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)抽取12名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查.已知各社團(tuán)人數(shù) 統(tǒng)計(jì)如下:杜IiI(：人故12*1(1)若從參加問(wèn)卷調(diào)查的 12名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2名，求這2名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中，從來(lái)自 比凡。三個(gè)社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取 3名，用*表示從工社團(tuán)抽得 學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.13【答案】(1)嬴；(2)見(jiàn)解根【解析】(1)幾口CD社團(tuán)共有學(xué)生9十12十6十9二36名，抽取12名學(xué)生，抽取比例為36=3.則抽取的12名學(xué)生中，H社團(tuán)3名，社團(tuán)4名，。社團(tuán)2名，歸社團(tuán)3名.+ C"

18、琮 13P =.則12名學(xué)生抽取2名學(xué)生，來(lái)自同一個(gè)社團(tuán)的概率為：嫌.(2) 12名學(xué)生中來(lái)自川日。三個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有 10名，若從中任取3名，抽取且社團(tuán)的人數(shù)X服從超幾何分布，W的取值為0L2.3舄357P(X = 0)= 一流24則以的分布列為在該超幾何分布中，-nM 3x39=所以數(shù)學(xué)期望5.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了 “冰雪答題王"冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參 加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)(滿分為1QO分)分為4組：4030，)，聞便)，仿0,70), IM0.80), MOSQ), M0JOQ,得到如圖所示的頻

19、率分布直方圖.（n）記只表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80分”， 估計(jì)力的概率；（出）在抽取的10。名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)?cè)?口。加）內(nèi)為“良好”.現(xiàn)采用分層抽樣的方法先從比賽成 績(jī)良好的學(xué)生中抽取11名學(xué)生，然后從這11名學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記比賽成績(jī)?cè)?090，）內(nèi)的學(xué)生人數(shù) 為或 求”的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（I） 口 = 0.025（ n） 03（ni）見(jiàn)解析【解析】（I）由題可得（0 005 + 0.010 + 0020 + 0.030 +。+0.010）x10 = 1,解得 口 二 0.025.（n ）由（I）知=0.02

20、E ,則比賽成績(jī)不低于GO分的頻率為（0.025 + 0,010） X 10=0,至，故從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于8。分的概率約為0JS.（出）在抽取的101.名學(xué)生中，比賽成績(jī)?cè)趞（70例）內(nèi)的學(xué)生有100% OSO黑L0=20名，比賽成績(jī)?cè)诰W(wǎng)外）內(nèi)的學(xué)生有I。X。-025 x 10= 2三名，采用分層抽樣的方法從比賽成績(jī)良好的學(xué)生中抽取H名學(xué)生，比賽成績(jī)1 6在7。田0內(nèi)的學(xué)生應(yīng)抽取30 + 25名，比賽成績(jī)?cè)诘?D0：內(nèi)的學(xué)生應(yīng)抽取11-6 = 5名.由題可知，因的所有可能取值為0, 1, |2, 3, 4,則P(X = 3)=17|01|4|

21、網(wǎng)得10335111 -1 -故的分布列為所以訊用=0冥，+110233II20x + 2 x + 3 x + 4 X =G66一某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有IV人參加，現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為純，四,30工30郃)，3*0), 40,45), 4&皿，|50馬)等七組，其頻率分布直方圖如圖所 示，已知2530)這組的參加者是6人.(1)根據(jù)此頻率分布直方圖求該校參加秋季登山活動(dòng)的教職工年齡的中位數(shù)；(2)已知口5,40)和4。,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的

22、概率；(3)組織者從4555)這組的參加者(其中共有4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)選取 3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為用，求用的分布列和均值.【答案】(1) 35; (2)另；(3)見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)矩形在|網(wǎng)3G的高為,.(0-01 + 0.03 + X 十 n,04 + 003 + 0.(12 +001)x5 = 1,：由01 + 0,0?+ 006)x5 = 05,中位數(shù)為35.(2)記事件必為“從年齡在35,40)和40.45之間選出的2人中恰有1名數(shù)學(xué)教師”，年齡在35川)之間的人數(shù)為8,年齡在4也45：之間的人數(shù)為6,P=浮鄉(xiāng)與2f點(diǎn)Cl cl cl cl 工弓

23、(3)年齡在1(45.55：之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人,的可能取值為1, 2, 3,冽3=2) = =- 05匕4 1P(Jf = 3) = - = -N 5的分布列為:w12311PI5I1illEX = lx- + 2x- + 3x- = 2 5ss7. 2021年，遼寧省將實(shí)施新高考，2018年暑期入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3 3模式，其中語(yǔ)文、數(shù)外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各 150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專 業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化生物6門科目中自選3門參加考試（6選3）,每科目滿分100分.為了應(yīng)

24、對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.（1）已知抽取的n名學(xué)生中含女生 45人，求n的值及抽取到的男生人數(shù)；（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選 課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到 n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科 目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2 2列聯(lián)表：選擇“物理”選擇“地理”總計(jì)男生10女生25總計(jì)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；（3）在抽取到的

25、45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生，了解女生對(duì)“歷史”的選課意向情況，在這9名女生中再抽取 4人，設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為 X ,求X的分布列及期望.2P(K2 k)0.0500.010k3.8416.6352, 2附：kn(ad bc)(a b)(c d )(a c)(b d)【答案】(1) n=100；男生55人(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析n 45【解析】(1)由題意得： ，解得n=100,1000 450男生人數(shù)為：5501°°_=55人.1000K2100 45 20 25 10 255 45 70 308.1289 6.635(2) 2X2列聯(lián)表為:選擇“物理”選擇“地理”總計(jì)男生451055女生252045總計(jì)7