專題1：函數(shù)f(x)=lnx(x)的性質(zhì)

1、第8頁共5頁以函數(shù)f(x)”為背景的高考試題x、母題結(jié)構(gòu):已知函數(shù)f(x)ln x的定義域為:x(0,),則單調(diào)性：f (x)當 x 0時，f(x)時，f(x)0,x函數(shù)只有一個零點x 1,f (x), f(x)的變化情況如下表:e ,當x變化時,x(0,e)(e,)f (x)f(x)fy1有最大值fmax(x)f(e)3，令 21nx 3 0 , x e",當 x 變化凹凸性：在(0,e2)上為凸，在(e2,)上為凹.1 In x , 、 x(21n x 3)令 g(x) f (x) , g (x) 4xx時，g (x), g(x)的變化情況如下表:x3(0,e2)3(e2,)g

2、(x)g(x)33所以函數(shù)f (x)在(0,e2)上為凸，在(e2,)上凹.函數(shù)的圖像在(0,e)上任意一點x x0處的切線方程為：y kx m,則f(x) kx m ,當且僅當x x0時取等號.零點性質(zhì)：f (x) a有一個實根的充要條件為：a (,0U1, f(x)xeln x1 a有兩個實根的充要條件為：a (0,-).xe二、單調(diào)性的生成1 . (2014 全國卷文科)若a ln2, b理，c竺，則 235A. abc B. cba C. cab D. bac解析：設(shè)f(x) 叱，f(x)在(e,)上單調(diào)遞減，又a 叱叱，3 4 5, x24f(3) f (4)f(5),選 C.推廣：

3、n 3, nn1 (n 1)n.數(shù)列礪的最大項為我.ln x2 .當0 x 1時，f(x) ，則下列關(guān)系正確的是 xA.f(x)2 f(x2) f(x)B.f(x2) f(x)2f(x)2-2C. f(x) f(x ) f (x)2_2D.f(x )f (x) f (x)3 .已知 a 2.12.2, b 2.22.1 , clog2.22.1,貝U,A. a b c解析：設(shè)f (x)ln2.1 ln2.22.12.2B. cba C. cab D. a c b ln x，f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，f(2.1) f (2.2), x2.2ln 2.1 2.1ln2.2, 2.12.22.

4、22.1 , clog2.2 2.1 1 .選 B.4. (1983 全國卷)(I )已知a , b為實數(shù)，并且e a b ,其中e是自然對數(shù)的底，證明：ab ba.(n)如果正實數(shù)a, b滿足ab ba，且a 1,證明：a b.解析：(I )設(shè)f (x)ln x，f(x)在(e, x)上單調(diào)遞減，e a b , f(a) f(b),ln aaln b即 bln aalnb , ab ba.ba 1 ,于是0 b 1.另一方面(H)因為 0 a 1, b 0,所以 ab 1 ,即abab ba, bln a alnb,從而"a "b ,由于 f(x)在(0, e)上單調(diào)遞增

5、，a b. a b5. (2014 湖北卷文科)為圓周率，e 2.71828L為自然對數(shù)的底數(shù).(I)求函數(shù)f(x)加匕的單調(diào)區(qū)間.x(R)求e3, 3e, e3兀3這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).三、凹凸性的生成1 .設(shè)函數(shù)f(x) 皿的圖像在點(e2, f(e2)處的切線與直線yx平行，則xef (x)的極值點是.2 .已知函數(shù)f(x) 叱(x 0). x(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(H)已知函數(shù)y g(x)的圖象與函數(shù)y f(x)的圖象關(guān)于直線x e對稱，證明:當 x e時，f(x) g(x)；(田)如果 x1 x2，且 f(x1) f(x2),證明：x1 x2 2e.3 . (2

6、013北京卷理科)設(shè)l為曲線C: y !n)在點(1,0)處的切線. x(I)求l的方程；(n)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線1的下方.解析：(I ) y x 1.(II ) h(x) x 1In x, 1 1n x，h(x) 1 xx2x 1 In x2,x(x) x2 1 In x 在(0,)單調(diào)遞增,(1) 0,即h(0) 0.當x變化時,h(x), h(x)的變化情況如卜表:x(0,1)(1,)h(x)h(x)Z1n xh(x) h(1) 0 , x 1 ,當且僅當x 1時，取等方.x四、不等式的生成1.若不等式kx 1n x包成立.(I)求k的最小值為.1n 2 1n 3

7、, 1n n 15)求證：與r L 廠二23n eln x2.已知函數(shù)f (x) kx , g(x) x求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;若不等式f(x) g(x)在區(qū)間(0,)上包成立，求實數(shù)k的取值范圍;ln 2 ln3 ,ln n1(田)解析:求證：r L -.2434n4 2e(I)函數(shù)g(x) 股的單調(diào)增區(qū)間為(0,e),單調(diào)減區(qū)間為(e,). xln x . ln xln x121nxx 0, kx , k -2-. 令 h(x) 2- , h'(x) 3,xxxx令h'(x) 0,解得x 呢;當x變化時，h(x) , h(x)變化情況如下表:x(0,品)(Ve,)h (x

8、)h(x)增減故 h(x) h( Ve) L ,則 k 2e2e(田)由(H)知In x 12e，In x 1x4 2e1又一n111n(n 1) n 1 n1 22 In 2 2432 Lln33411T (；n1In n11)('2211不(1 一)2en3) L1.2e3.已知函數(shù)f(x) 1 .x(I)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(n )試證明：對任意n N ,不等式ln(- nn)en都成立(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).解析：(I )(略)(H)由(I )知當x(0,)時，f(x)max1.,一1,所以，在x (0,)e1 時，恒有f (x)e1 1 n 八 1 n為0,nnI

9、n x1,一xe,所以11 - en1,ln x1-,當且僅當x e,即 lnL)e ne時等號成立.因n N ,不等式 ln("n)e -n都成立.4.若函數(shù) f(x) ln x(ln x ax)2/ax (aR)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍A.(/ e e-1C (0F eA. 3,1) (0,1-)U(,1) e e eB . 4解析：In x(ln x ax) ax20,C()2x(- e.5ln xa ax) e e,) eD0有三個零點,.6令小xt2 at a 0 ,函數(shù) g(x)出的圖像與函數(shù)h(x)t的圖像有三個交點.根據(jù)函ln x數(shù)g(x)的圖像可知t1(1)x1時，代入t2 ex1(0,-)eat0 ,或 t2 (,0).于是tl(2)0時，代入t2at0,于是ti0,不滿足要求;1 e不滿足要求；p(0) 0(3)當 t2(,0)時，令 p(t)t2 at a,則(1)0,于是 0 e.、 1綜上，實數(shù)a的取值范圍是：(0,4). e