一區(qū)域連通性的分類ppt課件

1、YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系一、區(qū)域連通性的分類一、區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D D為平面區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域, , 假設(shè)假設(shè)D D內(nèi)任一閉曲線所圍內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于成的部分都屬于D, D, 那么稱那么稱D D為平面單連通區(qū)域?yàn)槠矫鎲芜B通區(qū)域, , 否那么稱為復(fù)連通區(qū)域否那么稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系22221,001xyxxy 例例如如， 平平面面上上的的圓圓右右半半平平面面都都是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域, ,而而圓圓環(huán)環(huán)使使復(fù)復(fù)連連通通區(qū)區(qū)域

2、域. .注注： 單單連連通通區(qū)區(qū)域域是是不不含含有有 洞洞 甚甚至至不不含含有有 點(diǎn)點(diǎn)洞洞 的的區(qū)區(qū)域域. .YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系二、格林公式二、格林公式定理定理YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系連成連成與與由由21LLL組組成成與與由由21LLL邊境曲線邊境曲線L L的正向的正向: : 當(dāng)察看者沿邊境行走時(shí)當(dāng)察看者沿邊境行走時(shí), ,區(qū)域區(qū)域D D總在他的左邊總在他的左邊. .2LD1L2L1LDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系),()(),(21bxaxyxyxD 證明

3、證明(1)(1)若若區(qū)區(qū)域域D既既是是 X型型又又是是 Y型型,即即平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的直直線線和和L至至多多交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn).),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx Dc

4、CE)(1yx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 若區(qū)域若區(qū)域D由按段光由按段光滑的閉曲線圍成滑的閉曲線圍成. .如圖如圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個(gè)既是分成三個(gè)既是 X型又是型又是 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdy

5、PdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)LLLYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來來說說為為正正方方向向?qū)LLLYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系xyoL1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線

6、積分三、簡單運(yùn)用三、簡單運(yùn)用ABDBOABOAL YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系2. 2. 簡化二重積分簡化二重積分xyoAB11DYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 eYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的

7、聯(lián)系解解YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系L1DrlxyoLDyxo220 xdyydxxy YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (留意格林公式的條件留意格林公式的條件) drrr22222sincos 20YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 LDydxxdydxdy23. 3. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系解

8、解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANMYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANMYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系其中其中L L是曲線是曲線|x|+|y|=1|x|+|y|=1圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域D D的正向邊境。的正向邊境。11-1-1-1-1LDyxO格林公式的運(yùn)用格林公式的運(yùn)用 格林公式格林公式 從從 證明了：證明了： 練習(xí)練習(xí)1 1 計(jì)算積分計(jì)算積分 Lxxyyx

9、yyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxyxPd),(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系練習(xí)練習(xí)2 2求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11-1-1-1-1 DyxyPxQddYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積

10、分間的聯(lián)系重要意義：重要意義： 1.1.它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系它建立了二重積分與曲線積分的一種等式關(guān)系2.2.它提示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊境之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)它提示了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部與邊境之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)4.4.它的運(yùn)用范圍可以突破右手系的限制，使它的運(yùn)用它的運(yùn)用范圍可以突破右手系的限制，使它的運(yùn)用 3.3.從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式從它出發(fā)，可以導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理中的許多重要公式更加廣泛，而這只需求改動邊境的正向定義即可。更加廣泛，而這只需求改動邊境的正向定義即可。二二 高斯公式高斯公式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間

11、區(qū)域G, G, 假設(shè)假設(shè)G G內(nèi)任一閉曲面所圍成內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于的區(qū)域全屬于G, G, 那么稱那么稱G G是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 假設(shè)假設(shè)G G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G G的曲面的曲面, , 那么稱那么稱G G為空間一維單連通區(qū)域?yàn)榭臻g一維單連通區(qū)域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或高斯公式高斯公

12、式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系證明證明xyzo),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyDYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)三重積分的計(jì)算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxRYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系,),(,),(22 xyDdxdyyx

13、zyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是. 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzRYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得： RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系GaussGauss公式的本質(zhì)公式的本質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊境表達(dá)了空間閉區(qū)域上的

14、三重積分與其邊境曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP 2. 2. 簡單運(yùn)用簡單運(yùn)用: :YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 (利用柱面坐標(biāo)得利用柱面坐標(biāo)得)xozy113 301020)(sinrdzzrdrdYunnanUn

15、iversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系運(yùn)用運(yùn)用Guass公式時(shí)應(yīng)留意公式時(shí)應(yīng)留意:YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系xyzoh YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)補(bǔ)充充曲面曲面 不是封鎖曲面不是封鎖曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側(cè)，取上側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍圍成成空空間間區(qū)區(qū)域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 YunnanUniversity1. 各種積

16、分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其其中中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各

17、種積分間的聯(lián)系三、斯托克斯三、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式- 斯托克斯公式斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊境曲線正向邊境曲線 右手法那么右手法那么xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明如圖如圖YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系思緒思緒曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代代入入上上式式得得又又,c

18、oscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向曲線空間有

19、向曲線YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR 故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立.YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種方式另一種方式cos,cos,cos n其中其中便于記憶方式便于記憶方式Y(jié)unnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系StokesStokes公式的本質(zhì)公式的本質(zhì): : 表達(dá)了有

20、向曲面上的曲面積分與其邊境曲線表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊境曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形.1 , 0 , 0cos,cos,cos n此此時(shí)時(shí)，YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系1. 1. 簡單運(yùn)用簡單運(yùn)用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydzYunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系 dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦弦都都為為正正，的的法法向向量量的的三三個(gè)個(gè)方方向向余余由由于于 再由對稱性知：再由對稱性知：如圖如圖xyDdzyxdyzdx YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系解解那那么么1 , 1 , 131 nzxyo n YunnanUniversity1. 各種積分間的聯(lián)系各種積分間的聯(lián)系即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131