建立層次結(jié)構(gòu)模型案例

1、建立層次結(jié)構(gòu)模型將問(wèn)題包含的因素分層：最高層（解決問(wèn)題的目的）；中間層（實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施、必須考慮的準(zhǔn)則等。也可稱策略層、約束層、準(zhǔn)則層等）；最低層（用于解決問(wèn)題的各種措 施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達(dá)這些因素的 關(guān)系。例1購(gòu)物模型某一個(gè)顧客選購(gòu)電視機(jī)時(shí)，對(duì) 市場(chǎng)正在岀售的四種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù), 立層次分析模型如下：Ti價(jià)A電形4T2T5T4TS13、y3,按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān) 假設(shè)有三個(gè)干部候選人 yi、y2、y3,按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品例2選拔干部模型對(duì)三個(gè)干部候選人 yi、y系，構(gòu)成如

2、下層次分析模型： 德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型編輯權(quán)重a構(gòu)造成對(duì)比較矩陣比較第i個(gè)元素與第j個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì) 來(lái)描述。設(shè)共有 n個(gè)元素參與比較，則 人=(%)« X*】稱為成對(duì)比較矩陣。成對(duì)比較矩陣中 a j的取值可參考 中間取值。Satty的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在1-9及其倒數(shù)aij = 1，同；元素與元素對(duì)上一層次因素的重要性相aij = 3，元素比元素略重要;aij = 5，元素比元素重要;aij = 7，元素i比元素j重要得多;aij = 9，元素i比元素j的極其重要;aij = 2n, n=1,2,3,

3、4，元素i與j的重要性介于 a® = 2n-1 與 aij = 2n + 1 之間；=-巴 n=1,2,.,9 ，當(dāng)且僅當(dāng) aji = n。Ctij >偽 j N 1 J N成對(duì)比較矩陣的特點(diǎn)：為幾（備注：當(dāng)i=j時(shí)候，aij = 1）對(duì)例2，選拔干部考慮5個(gè)條件：品德xi，才能X2,資歷X3,年齡X4，群眾關(guān)系X5。某決 策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：1-41-31-3531753131/ai4 = 5表示品德與年齡重要性之比為5,即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。編輯作一致性檢驗(yàn)從理論上分析得到：如果 A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有aijajk = aiko但實(shí)際上在

4、構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成 對(duì)比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的步驟如下:計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比矩陣A （n >1階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI :廠、r（人）陀C J =其中 九X是矩陣A的最大特征值。注解從有關(guān)資料查岀檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI: RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) 有 關(guān)。按下面公式計(jì)算成對(duì)比較

5、陣A的隨機(jī)一致性比率CR :CP-C7幣。判斷方法如下：當(dāng)CRV0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣A具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否 則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣A,直到達(dá)到滿意的一致性為止。例如對(duì)例2的矩陣1 1-41-31-34 12 3To 153131/計(jì)算得到入=5.072, C/ = 丫 T 50 10-018，查得 Rl=1.12，這說(shuō)明A不是一致陣，但 A具有滿意的一致性， A的不一致程度是可接受的。此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個(gè)向量也是問(wèn)題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分

6、量都大于零，各分量之和等于1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087) Z。經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān) 系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語(yǔ)句求A的特征值：Y,D=eig( A)，Y為成對(duì) 比較陣的特征值，D的列為相應(yīng)特征向量。在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對(duì)成對(duì)比較陣 量的近似值。A=(a_ij)的最大特征值？max(A)和相應(yīng)特征向定義IJ = 口 如 j力?=1 力;=1

7、dij, U = (til，呦"y可以近似地看作 A的對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。計(jì)算"(AU)i = 1 十知Ui可以近似看作 A的最大特征值。實(shí)踐中可以由入來(lái)判斷矩陣A的一致性。編輯層次總排序及決策現(xiàn)在來(lái)完整地解決例 2的問(wèn)題，要從三個(gè)候選人yi,y2,y3中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對(duì)此，對(duì)三個(gè)候選人y = yi,y2,y3分別比較他們的品德(XI)，才能(X2)，資歷(X3)，年齡 (X4)，群眾關(guān)系(X5)。先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較陣1-UT-3 1經(jīng)計(jì)算，Bi的權(quán)向量Wxi(Y) = (0.082,0.244,0.674) z兒卿(艮

8、)=3.002,C/ = 0.001, =般 < 0.1故Bi的不一致程度可接受。3xi(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。類似地，分別比較三個(gè)候選人的才能，資歷，年齡,群眾關(guān)系得成對(duì)比較陣1 1-9T-52 1 1-211 11 1-31-3通過(guò)計(jì)算知，相應(yīng)的權(quán)向量為r/F) = (0.6060265,0.129 廣= 0.429,0.429,0.143)協(xié)4(丫)= (0 劇 6,0-185, (1179)墨B2,B3,B4,B5 的4応(丫)= 0.167,0.167,0.667)它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗(yàn)知 不一致程度均可接受。最后計(jì)算各候選人的總得分。yi的總得分伽)=E5j = 1 呼切伽)=057x0灰鮎 0.263xO6O6eO51x0429T 0.104從計(jì)算公式