2021第一輪復習放縮法技巧全總結

1、放縮法在數(shù)列不等式中的應用數(shù)列不等式是高考大綱在知識點交匯處命題精神的重要表達，在高考試題中占有重要 地位，在近幾年的高考試題中，多個省份都有所考查，甚至作為壓軸題。而數(shù)列不等式的求 解常常用到放縮法，筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn)學生在用放縮法處理此類問題時，普遍感到困難,找不到解題思路。現(xiàn)就放縮法在數(shù)列不等式求解過程中常見的幾種應用類型總結如下。1. 直接放縮，消項求解例1在數(shù)列an , bn中，印2,b1 4 ,且an.bn.3n 1成等差數(shù)列,bn,ani,bn!成等比數(shù)列n N*.(I)求a2.a3.a4及b2.b3.b4,由此猜測an , bn的通項公式.并證明你的結論；1a2b2an bn

2、 12分析：(I)數(shù)學歸納法。(n)本小題的分母可化為不相同的兩因式的乘積， 可將其放縮為等差型兩項之積，通 過裂項求和。(I)略解ann(n 1), bn (n1)2 .(n)115.n?2時，由(I)知 an bn(n 1)(2n 1)2(n 1)n .a1b1612故11. 1 111 1 .1a1b1a2b2anbn622 3 3 4n(n 1)11 1111 . 1 162 2334n n111 11115112綜宗上,原不等式成立.62 2n16412可考慮對其分母進行放縮，構造等差型點評：數(shù)列和式不等式中，假設數(shù)列的通項為分式型, 因式之積。再用裂項的方法求解。另外，熟悉一些常用

3、的放縮方法,如:2n1.2.1n(n 1)1 1 1 12n n(n 1) n 1 n例2設數(shù)列an滿足311,an 1 can1 c,c N*其中c為實數(shù)(I)證明：3n 0,1對任意n N*成立的充分必要條件是c 0,1;(U)設 0 c 1，證明：3n 1 (3c)n1,n N*;3分析：(I)數(shù)學歸納法證明(U)結論可變形為 1 3n (3c) n 1，即不等式右邊為一等比數(shù)2an 1 )3c(1 an 1)2 1 an 3c(1 an 1)(3c) (1a. 2) L列通項形式，化歸思路為對 1 an用放縮法構造等比型遞推數(shù)列，解：(I)解略。(n)設 0 c 1，3當n 1時，a1

4、0，結論成立，當n2時，.3.ancan 11c,.1an2c(1 an 1)(1an 1an 1)0 c,由3(1)知 an 10,1，所以 1 an 1an 13 且 1 an 1 0二 1 an3c(1an 1 )即 1 an c(1 an 1)(1an 1(3c)n1(1 aj (3c)n 1n 1* an 1(3 c)(n N)點評：直接對多項式放大后，得到的是等比型遞推數(shù)列，再逐項遞推得到結論。通過放縮得 到等比型遞推數(shù)列是求解數(shù)列不等式的另一個重要的類型。2. 利用根本不等式放縮例3數(shù)列an ， an0， a122?0，an 1 an 11 an (n N ?)，記 Sn印 a2

5、an ，11a11(1 aM a?)1(1a1 )(1 a?)(1an)求證：當n N ?時，(I) anan 1 ； (n) Snn 2; (m) 3分析：(I)在an 0的條件下，an an 1的等價形式為an2 an 12，要證an2 an 12，只需證2 2 an1 an 1 an1 0,即證an 1，可用數(shù)學歸納法證明(n)由 an 1 an 1 an 1累加及an 1可得(1 ak 1)1 ak2ak 1的分子分母次數(shù)不同，可用根本不等式將其化為等比型遞推數(shù)列(m)和式通項的分母由 1 an累乘得到的，條件中可有ak 1(1 ak 1) 1 a,得到，但(I)解略(U)解略(川)證

6、明：由ak 1 ak 1 1 ak?2ak，得ak 1ak 12ak(k 2,3,L , n所以1(1 a3)(1 a4)L (1 an)anf(a'3)于是(1 a2)(1 a3)L (1 an)an an2n 2(a2 a2)2n 2(n > 3),2n23，又因為T1 T2T3，所以Tn3 .1故當 n > 3 時，Tn 1 1 - L2點評：此題第三問，根本不等式的應用使構造等比型遞推數(shù)列成為可能，在公比q 1時，等比數(shù)列的前n項和趨向于定值，即前n項和有界，這為數(shù)列和式范圍的證明提供了思路。3. 利用數(shù)列的單調性放縮k例4數(shù)列an為非負實數(shù)列，且滿足：ak 2ak

7、 1 ak 2 0，ai 1，k 1,2,i 1、 2求證：0 ak ak 12(k 1,2, )k分析：有時數(shù)列不等式的證明可以在數(shù)列單調性的前提下進行放縮。證明：假設有某個ak ak 1，那么ak 1 ak ak 1 ak 2 ak 2，從而從ak起，數(shù)列an單調遞增,k和Sn a1 a2an會隨n的增大而趨向于無窮，與ai 1, k 1,2,矛盾，所以an是i 1單調遞減的數(shù)列，即akak 10，令bnak ak 1, k 1,2,由ak2ak 1 ak 2 0 得 ak ak 1 ak 1 ak 2 ,b12a2a3akb12b23a3akb12a23b3akbi2b23b3kbk(1

8、2 3k)bkk(k1)b2k即 bkbk 1,k 1,2,由于 1a1 a? ak故bk2 2 k(k 1) k2點評:又如,例3的第三問也可用單調性證明:anan 1,及 an0,(1aj(1Ja2)(1 an)_ 1(1a2)n 1 'Tn11 a111a2(1 a2)2(11 n 1 an)(TJ-)n1 a211 -1a21，要證Tn3,1 1 a2只要證11丄1a21即 a?,a?2,所以問題得證此題考慮了數(shù)列an，bn的單調性，然后利用放縮法進行證明。4. 放縮法在數(shù)學歸納法的應用數(shù)列不等式是與自然數(shù)有關的命題，數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有關的命題的重要方法。 應用數(shù)學歸納法證明時，通常要利用放縮法對條件進行適當?shù)霓D化， 才能實現(xiàn)由n k時成立 到n k 1時也成立的過渡。舉例略。綜合以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列不等式的求解過程中，通過放縮法的應用，主要使數(shù) 列不等式轉化為以下兩種類型：1可直接裂項的形式，再求和證明求解。等差型2 等比型遞推數(shù)列，|q 1時，數(shù)列前n項和有界。等比型數(shù)