立體幾何解答題的建系設(shè)點問題

1、立體幾何解答題的建系設(shè)點問題一、基礎(chǔ)知識：（一）建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸1、z 軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即z 軸要與坐標(biāo)平面 xOy垂直， 在幾何體中也是很直觀的， 垂直底面高高向上的即是， 而坐標(biāo)原點即為 z 軸 與底面的交點2、 x, y 軸的選取：此為坐標(biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：（ 1）盡可能的讓底面上更多的點位于x, y 軸上（ 2）找角： x, y 軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件底面兩條線垂直）（ 3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點能否存在軸對稱特點 解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個線

2、面垂直 這個過程不能省略。3、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：（ 1）線面垂直： 如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直 兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直 兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直 直棱柱：側(cè)棱與底面垂直（ 2）線線垂直（相交垂直）： 正方形，矩形，直角梯形 等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）2 2 2 菱形的對角線相互垂直 勾股定理逆定理：若AB 2 AC 2 BC 2 ，則 AB AC（二）坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點的坐標(biāo)，按照特點可以分為 3 類1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點1）

3、坐標(biāo)軸上的點，規(guī)律：在哪個軸上，那個位置就有坐標(biāo)，其余均為2）底面上的點：坐標(biāo)均為x, y,0 ，即豎坐標(biāo) z0 ，由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正確寫出坐11標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考2、空間中在底面投影為特殊位置的點：如果 A' xy z 在底面的投影為A x y ，那么 x1 x2, y12 , 2,0y2 （即點與投影點的橫縱坐標(biāo)相同）由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點時，可看下在底面的投影點，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點到底面的距離。以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點，但總還有一些特殊點，那么就要用到第三個方法：3、

4、需要計算的點 中點坐標(biāo)公式：x xA x1, y1,z1 ,B x2, y2 ,z2 ，則 AB 中點 M 1 2 2z z1 2 ，圖中的2H , I , E,F 等中點坐標(biāo)均可計算 利用向量關(guān)系進(jìn)行計算（先設(shè)再求） ：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值1. 如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AB CD ，AD DC CB 1, ABC 60 ，AB=2 ，CF 平面 ABCD ，且 CF 1，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點坐標(biāo)。（ 兩種方法 ）D 思路：本題直接有一個線面垂直，所

5、以只需在平面 ABCD 找過 C 的相互垂直的直線即可。由題意， BCD 不是直角。所以可以以其中一條邊為軸，在底面上作垂線即可構(gòu)造出兩兩垂直的條件，進(jìn)而可以建立坐標(biāo)系CA方案一：（選擇 BC 為軸），連結(jié) AC在 ADC 中可知 ADC1202AC2AD DC2 AD DC cos ADCAC 3D AC BC由 AC3, BC CF 平面1,ABCDABC60 可解得 AB CF AC ,CF2, ACBBC90以 AC ,CF ,BC為坐標(biāo)軸如圖建系：3 1 D C, D , ,0 ,F 0,0,12 2B 過 C 作 CD 的垂線 CM CF 平面 ABCD方案二（以 CD 為軸） A

6、B 0,1,0 , A 3,0,0CF CD ,CF CM以 CD ,CF ,CM 為坐標(biāo)軸如圖建系：同方案一）計算可得：CM3,AB 223,02,0 , D 0, 1,0 ,F 0,0,1 22.四邊ABCD滿足EA是BCD中 點 ，D將2B D 中點1BAE 翻折44思路：在處理翻折問題時，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變，這些都是作為已知條件使用的B AE 平題在翻折時， BAE 是等邊三角形，四邊形AECD 為 60 的菱形是不變的，尋找線面垂直時，根據(jù)平面面 AECD ，結(jié)合 B AE 是等邊三角形，可取AE 中點 M ，則可證B M 平面 AECD ，再在四邊形AEC

7、D 找一組過 M 的垂線即可建系解：取 AE 中點 M ，連結(jié) B 'MB AE 是等邊三角形AE平面AE平面 AECDD平面 AECD ，連結(jié) DMMDM四邊形 AECD 為 60 的菱形DM AEA ' ,B M MDBMME B MADE 為等邊三角形ME 兩兩垂直如圖建系，設(shè)AB 為單位長度2,0,0,E 2 ,0,0,D 0,2 ,0,C1, 2 ,0 ,B0,0, 2B D 中點30,3. 如圖，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，側(cè)棱 A1A 底面 ABCD , AB AC , AB =1 ,AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 , 且點

8、M 和 N 分別為 B1C和 D1D 的中點。建立合適的空間直角坐標(biāo)系并寫出各點坐思路：由 A A 底面 ABCD ， AB AC 可得 中1AA1, AB, AC 兩兩垂直，進(jìn)而以它們?yōu)檩S建立坐標(biāo)系，本題A1 ,B 1,C 1,D 1 均可通過投影到底面得到橫縱坐標(biāo)，圖中識進(jìn)行計算。解： 側(cè)棱 A A 底面 ABCD1A1 A AB, A1AACAB ACAB, AC, AA 兩兩垂直1以 AB, AC, AA 1 為軸建立直角坐標(biāo)系底面上的點： B 0,1,0 ,C 2,0,0D 點坐標(biāo)相對麻煩，可作出底面的平面圖再根據(jù)平面幾何知由 AD = CD = 5 可得 ADC 為等腰三角形，若A

9、C 中點，則為DP ACPDP2 2 2 AD APD 1,2,0可投影到底面上A1 00 B1 , 2,C10D1因為 M 和 N分別為B1C 和D1D 的中點1 的中點1M 1, ,12, N 1,2,1綜上所述： B0,1,0,C 2,0,0 ,D 1, 2,0, A 0,0,21,B10,1,2 ,C 2,0,2 ,D1 11, 2,2, N 1, 2,111, ,124. 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1, BCA 90 ,AC BC 2, A1在底面 ABC 上的射影恰為 AC 的中點 D ，又知BA AC ，E為 BB 靠近點 B 的三等分點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點

10、坐標(biāo)思路：本題建系方案比較簡單，1 1 1AD 平面 ABC ，進(jìn)而 AD 作 z 軸，再過 D 引 AC 垂線即可。難點有二：一是三 1棱柱的高未知，進(jìn)而無法寫出上底面點的豎坐標(biāo)；二是B 的投影不易在圖中作出（需要擴(kuò)展平面1ABC ），第一個問題可先將高設(shè)為 h ，再利用條件 BA AC 求解；第二個問題可以考慮利用向量計算得到。11C1解：過 D 作 AC 的垂線 DM ， AD 1平面 ABCA1D DC, A1DDM ，而 DM DC以 A1D, DC,DM 為軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ) 0, 1,0 ,C0,1,0 ,B 2,1,0 ，設(shè)高為 hA1ADA則 A1 0,0,h，設(shè) C1 x,

11、y,z則 AC0,2,0,A1C1x, y,z由 ACAC 可得：11x0y2Dzh0C1 0,2,BA1 AC1BA1 AC1 03h0 ，解得 h3A1 0,0, 3 ,C 10,2, 3設(shè) B1 x, y, 3A1B1 x, y,0x2而 AB 2,2,0 且AB AB11y2B1 2,2, 3綜上所述： A 0,1,0 ,C 0,1,0 ,B2,1,0, A1 0,0, 3,C 1 0,2, 32,B1 2,2, 3,AC1 0,3,hBA12, 1,h5. 如圖，在三棱柱 ABC AB C 中， H 是正方形 AA1B1B 的中心， AA11112 2,C1H平面 AA1B1B，C1

12、H5 ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并確定各點坐標(biāo)思路： C1H 平面 AA 1B1B ，從而C1 H可作 z 軸，只需在平面 AA 1B1B 找到過 H的兩條垂線即可建系 （兩種方案） ，對于坐標(biāo)只有 C 坐標(biāo)相對麻煩，但由CC AA 可以利用向量進(jìn)行計 算。1解：方案一： （利用正方形相鄰邊垂直關(guān)系建系）如圖建系：A1 2, 2,0 ,A 2,2,0 ,B1 2, 2,0B 2,2,0 ,C 0,0, 51設(shè)C x, y,z ，則 C1Cx, y,z 5A1A0,2A1A由 CC AA11可得：x0y 2 2C 0, 2 2, 5綜上所述：2,0A1 2,A 2, 2,0 ,B 12,2,0,BC1 0,0,方案二：如圖建系：5 ,C 0, 2 2, 5 （