計(jì)算方法第八章矩陣特征值和特征向量的計(jì)算

1、第八章1 引言2 乘冪法與反冪法3 Jacobi方法西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔矩陣特征值和特征向量的計(jì)算11 引言設(shè)A為n階方陣，若數(shù)滿足Ax=xx0稱為A的一個特征值。非零向量x稱對應(yīng)的特征向量。求A的特征值，可通過求det(AI)=0n個根得到；對應(yīng)的特征向量可通過求(AiI)x=0i=1,2,Ln的非零解向量得到。但將det(AI)=0展開為的多項(xiàng)式，未必得到精確的特征方程；且n增加，計(jì)算量迅速增加。計(jì)算矩陣特征值及特征向量的數(shù)值方迭代法和變換法西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔2則為與特征值的法：G1和G3交結(jié)在一起，它們的并集是例題中，一個連通區(qū)域（其中任意兩點(diǎn)可以用位于該區(qū)域內(nèi)的一條折線連接）

2、。交結(jié)在一起的蓋爾圓所構(gòu)成的最大連通區(qū)域稱為一個連通區(qū)域。孤立的一個蓋爾圓就是一個連通部分。本例題中有三個連通部分，即G1和G3的并集G2與G4各是一個連通部分。是一個連通部分，例題中，G2與G4中各有一個特征值，而G1和G3構(gòu)成的連通部分中有兩個特征值。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔3 Jocobi方法一Jacobi方法求矩陣全部特征值和特征向量?；舅枷耄簩?shí)對稱矩陣A經(jīng)一系列正交A的近似特征值，由各個正西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔相似變換約化為一個近似的對角陣，從而該對角陣的對角元就是交變換矩陣乘積的轉(zhuǎn)置可得對應(yīng)的特征向量。161 相關(guān)知識矩陣A與相似矩陣B=PAP1的特征值相同。若矩陣Q滿足QT

3、Q=I，則稱Q為正交矩陣。顯然Q1=QT，且正交陣的乘積仍為正交陣。若A為實(shí)對稱矩陣，則存在正交陣Q，使QAQT=diag(1,2,L,n)且QT的列是相應(yīng)的特征向量。實(shí)對稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)，且存在標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量系。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔17Givens 旋轉(zhuǎn)矩陣R(p,q,)是正交陣，其中1O1cosLLLsinM1MMOMM1MsinLLLcos1O1pR(p,q,)=qpqJacobi方法就是用這種旋轉(zhuǎn)矩陣對實(shí)對稱陣A作一系列旋轉(zhuǎn)相似變換，從而將A約化為對角陣。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔19說明經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換C=RART后，C的對角線元素平方和比A的對角線元素平方和增加了2a2pq。

4、而C的非對角元素平方和比A的非對角元素平方和減少了2a2pq。如果不斷地變換下去，則最后非對角元素可趨于0,即可通過一系列旋轉(zhuǎn)變換，使A與一對角陣相似。Remark某步化為零的元素在后續(xù)的步驟中可能又非零。但只要不斷重復(fù)化零過程，則當(dāng)k時，非對角元素必趨于0。D(C)=D(A)+2a2pqS(C)=S(A)2a2pq西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔25特征向量的計(jì)算A的特征向量可與特征值同時求得。k+1次變換結(jié)束后，由ATTT1=R1AR1,A2=R2A1R2,L,Ak+1=Rk+1AkRk+1得ATTTk+1=Rk+1AkRk+1=Rk+1RkAk1RkRk+1=LLLL=RRTTTk+1RkL2R

5、1AR1R2LRTkRk+1記HRTTTk+1=k+1RkLR1HTk+1=R1R2LRk+1則HTk+1,Hk+1為正交矩陣且limAk+1=limHTkkk+1AHk+1=diag(1,2,L,n)=D于是A(HT)H1DTk+1k+1即AHTk+1Hk+1D或A(HH12LHn)(H1H2LHn)diag(1,2,L,n)即AHiiHii=1,2,西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院L,n歐陽潔28TAHiiHi,i=1,2,L,n說明Hk+1的第i列就是A對應(yīng)i的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的近似值。計(jì)算過程開始時H0I。以后對A每進(jìn)行一次平面旋TTT轉(zhuǎn)交換，就將Hk+1HkRk+1。TH0=I即HTk+1=HRT

6、kTk+1(k=0,1,L)計(jì)算時，每一步僅改變HTk+1的第p列，第q列。T設(shè)hi,j為Hk+1在(i,j)位置的元素，則h=hcos+hsin(k+1)(k)(k)hiq=hipsin+hiqcos(k+1)(k)hhjp=ijij西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔(k+1)ip(k)ip(k)iqi=1,2,LHTk+1=RRLRT1T2Tk+129Ak+1的計(jì)算每一步僅改變Ak+1的第p, q行，第p, q列。(k+1)(k)(k)(k+1)apj=apjcos+aqjsin=ajp(k+1)(k)(k)(k+1)aqj=apjsin+aqjcos=ajq(k+1)pp(k)pp2(k)pqjp,q=acos+2asincos+asina(k+1)(k)2(k)(k)2=+aasin2asincosacosqqpppqqqa(k+1)pq(k)qq2=a(k+1)qp=0Ak+1=Rk+1AkR西北工業(yè)大